Nullstellen berechnen: So findest du alle Schnittpunkte mit der x-Achse

Stell dir vor, du wirfst einen Ball in die Luft. Er steigt, erreicht seinen höchsten Punkt und fällt dann wieder herunter. Irgendwann landet er auf dem Boden. Genau dieser Moment – wenn der Ball den Boden berührt – entspricht in der Mathematik einer Nullstelle. Der Boden ist wie die x-Achse in einem Koordinatensystem. Und die Flugbahn des Balls? Das ist deine Funktion. Nullstellen zu finden bedeutet also: Wo trifft deine Funktion auf den “Boden”? Diese Fähigkeit brauchst du nicht nur in der Schule, sondern auch in der Physik, Wirtschaft und Technik. Lass uns gemeinsam herausfinden, wie du diese wichtigen Punkte berechnest.

Vom Ballwurf zur Mathematik: Was sind Nullstellen?

Erinnere dich an den Ball, der durch die Luft fliegt. Seine Höhe über dem Boden verändert sich ständig. Wenn wir die Zeit auf der x-Achse und die Höhe auf der y-Achse abtragen, erhalten wir eine Kurve – den Graphen einer Funktion.

Der Ball startet auf dem Boden (Höhe = 0), steigt auf und landet wieder auf dem Boden (Höhe = 0). Diese beiden Momente – Start und Landung – sind die Nullstellen der Funktion. An diesen Stellen hat der y-Wert den Wert Null.

Mathematisch ausgedrückt: Eine Nullstelle ist ein x-Wert, bei dem der Funktionswert $f(x)$ gleich Null ist. Der Graph schneidet oder berührt dort die x-Achse.

Schauen wir uns das an einem konkreten Beispiel an:

$x$	$f(x) = x^2 - 4$
-3	5
-2	0
-1	-3
0	-4
1	-3
2	0
3	5

Bei $x = -2$ und $x = 2$ ist der Funktionswert gleich Null. Das sind die Nullstellen dieser Funktion. Der Graph schneidet die x-Achse an genau diesen beiden Punkten.

Nullstellen berechnen: Deine Schritt-für-Schritt-Anleitung

Um Nullstellen zu finden, setzt du den Funktionsterm gleich Null und löst die entstehende Gleichung nach $x$ auf. Das klingt abstrakt, ist aber mit der richtigen Methode gut machbar.

Dein Vorgehen in 3 Schritten:

1. Gleichung aufstellen: Setze $f(x) = 0$.
2. Methode wählen: Entscheide je nach Funktionstyp, welche Lösungsmethode passt.
3. Gleichung lösen: Berechne alle x-Werte, die die Gleichung erfüllen.

DEFINITION

Eine Nullstelle einer Funktion $f$ ist ein x-Wert $x_0$, für den gilt: $f(x_0) = 0$. Geometrisch ist eine Nullstelle der x-Wert eines Schnittpunkts des Graphen mit der x-Achse. Eine Funktion kann keine, eine, mehrere oder unendlich viele Nullstellen haben.

Methoden zur Nullstellenberechnung

Je nach Art der Funktion brauchst du unterschiedliche Werkzeuge. Hier lernst du die wichtigsten Methoden für die 9. Klasse kennen.

Lineare Funktionen: Einfaches Umstellen

Bei linearen Funktionen der Form $f(x) = mx + b$ gibt es höchstens eine Nullstelle. Du findest sie durch einfaches Umstellen.

Vorgehen:

1. Setze $mx + b = 0$
2. Subtrahiere $b$ auf beiden Seiten
3. Dividiere durch $m$

Die Nullstelle liegt bei:

$x_0 = -\frac{b}{m}$

Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt.

Quadratische Funktionen: Die Mitternachtsformel

Quadratische Funktionen der Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ können keine, eine oder zwei Nullstellen haben. Das wichtigste Werkzeug ist die Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt):

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Der Ausdruck unter der Wurzel heisst Diskriminante: $D = b^2 - 4ac$

• $D > 0$: Zwei verschiedene Nullstellen
• $D = 0$: Genau eine Nullstelle (doppelte Nullstelle)
• $D < 0$: Keine Nullstelle (die Parabel schneidet die x-Achse nicht)

Ausklammern: Wenn ein Faktor $x$ vorkommt

Hat deine Funktion die Form $f(x) = x \cdot g(x)$, kannst du ausklammern. Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

Beispiel: $f(x) = x^2 - 3x = x(x - 3)$

Hier ist $f(x) = 0$, wenn $x = 0$ oder $x - 3 = 0$, also $x = 3$.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Die Diskriminante vergessen zu prüfen Bevor du die Wurzel ziehst, prüfe immer, ob $D = b^2 - 4ac$ grösser oder gleich Null ist. Eine negative Diskriminante bedeutet: Es gibt keine reellen Nullstellen. Schreibe dann als Antwort: “Die Funktion hat keine Nullstellen.”

Fehler 2: Beim Ausklammern die Nullstelle $x = 0$ übersehen Wenn du $x$ ausklammerst, ist $x = 0$ immer eine Nullstelle! Viele Schüler vergessen diese und finden nur die anderen Nullstellen.

Fehler 3: Plus-Minus-Zeichen ignorieren Die Mitternachtsformel enthält $\pm$. Das bedeutet: Du musst zwei Rechnungen durchführen – einmal mit Plus, einmal mit Minus. So erhältst du beide möglichen Nullstellen.

Fehler 4: Vorzeichen beim Einsetzen verwechseln Achte besonders auf negative Koeffizienten. Wenn $b = -5$, dann ist $-b = -(-5) = +5$. Klammere negative Zahlen beim Einsetzen immer ein.

Beispiele

Beispiel 1: Lineare Funktion

Aufgabe: Bestimme die Nullstelle von $f(x) = 3x - 12$.

Lösung:

Schritt 1: Gleichung aufstellen

$3x - 12 = 0$

Schritt 2: Nach $x$ auflösen

$3x = 12$

$x = \frac{12}{3}$

$x = 4$

Antwort: Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x_0 = 4$.

Probe: $f(4) = 3 \cdot 4 - 12 = 12 - 12 = 0$ ✓

Beispiel 2: Quadratische Funktion mit zwei Nullstellen

Aufgabe: Bestimme die Nullstellen von $f(x) = 2x^2 - 10x + 8$.

Lösung:

Schritt 1: Koeffizienten ablesen

$a = 2, \quad b = -10, \quad c = 8$

Schritt 2: Diskriminante berechnen

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 100 - 64 = 36$

Da $D = 36 > 0$, gibt es zwei Nullstellen.

Schritt 3: Mitternachtsformel anwenden

$x_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 2} = \frac{10 \pm 6}{4}$

$x_1 = \frac{10 + 6}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$x_2 = \frac{10 - 6}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Antwort: Die Funktion hat zwei Nullstellen bei $x_1 = 4$ und $x_2 = 1$.

Beispiel 3: Quadratische Funktion ohne Nullstellen

Aufgabe: Bestimme die Nullstellen von $f(x) = x^2 + 2x + 5$.

Lösung:

Schritt 1: Koeffizienten ablesen

$a = 1, \quad b = 2, \quad c = 5$

Schritt 2: Diskriminante berechnen

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$

Da $D = -16 < 0$, können wir keine Wurzel ziehen.

Antwort: Die Funktion hat keine Nullstellen. Die Parabel liegt vollständig oberhalb der x-Achse.

Beispiel 4: Ausklammern nutzen

Aufgabe: Bestimme die Nullstellen von $f(x) = x^3 - 4x$.

Lösung:

Schritt 1: Gemeinsamen Faktor $x$ ausklammern

$x^3 - 4x = x(x^2 - 4)$

Schritt 2: Den zweiten Faktor weiter faktorisieren (3. binomische Formel)

$x(x^2 - 4) = x(x + 2)(x - 2)$

Schritt 3: Jeden Faktor gleich Null setzen

$x = 0 \quad \text{oder} \quad x + 2 = 0 \quad \text{oder} \quad x - 2 = 0$

$x_1 = 0, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = 2$

Antwort: Die Funktion hat drei Nullstellen bei $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ und $x_3 = 2$.

Beispiel 5: Anwendungsaufgabe

Aufgabe: Ein Sportgeschäft verkauft Tennisbälle. Der Gewinn in CHF lässt sich durch die Funktion $G(x) = -2x^2 + 120x - 1000$ beschreiben, wobei $x$ die Anzahl der verkauften Dosen ist. Ab welcher Verkaufsmenge macht das Geschäft Gewinn?

Lösung:

Das Geschäft macht Gewinn, wenn $G(x) > 0$. Zuerst suchen wir die Nullstellen (Gewinnschwellen).

$-2x^2 + 120x - 1000 = 0$

Wir teilen durch $-2$, um die Rechnung zu vereinfachen:

$x^2 - 60x + 500 = 0$

Koeffizienten: $a = 1$, $b = -60$, $c = 500$

Diskriminante:

$D = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 500 = 3600 - 2000 = 1600$

Mitternachtsformel:

$x_{1,2} = \frac{60 \pm \sqrt{1600}}{2} = \frac{60 \pm 40}{2}$

$x_1 = \frac{60 + 40}{2} = 50$

$x_2 = \frac{60 - 40}{2} = 10$

Da die Parabel nach unten geöffnet ist (wegen $a = -2 < 0$), ist der Gewinn zwischen den Nullstellen positiv.

Antwort: Das Geschäft macht Gewinn, wenn es zwischen 10 und 50 Dosen verkauft.

Spezialfälle und Besonderheiten

Doppelte Nullstellen

Manchmal berührt der Graph die x-Achse nur, ohne sie zu schneiden. Das passiert bei einer doppelten Nullstelle. Die Diskriminante ist dann gleich Null.

Beispiel: $f(x) = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

Diese Funktion hat bei $x = 3$ eine doppelte Nullstelle. Der Graph berührt die x-Achse an diesem Punkt und kehrt dann um.

Nullstellen und Vorzeichen

Die Nullstellen unterteilen die x-Achse in Abschnitte. In jedem Abschnitt hat die Funktion ein einheitliches Vorzeichen – entweder durchgehend positiv oder durchgehend negativ. Das ist nützlich, wenn du wissen willst, wo eine Funktion grösser oder kleiner als Null ist.

Das Wichtigste in Kürze

• Eine Nullstelle ist ein x-Wert, bei dem $f(x) = 0$ gilt. Der Graph schneidet dort die x-Achse.
• Bei linearen Funktionen findest du die Nullstelle durch einfaches Umstellen: $x_0 = -\frac{b}{m}$.
• Bei quadratischen Funktionen verwendest du die Mitternachtsformel: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
• Die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ verrät dir, wie viele Nullstellen existieren.
• Beim Ausklammern wird $x = 0$ oft vergessen – achte besonders darauf!

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Was ist eine Nullstelle einer Funktion?

Lösung anzeigen

Eine Nullstelle ist ein x-Wert $x_0$, für den der Funktionswert Null ist: $f(x_0) = 0$. Geometrisch ist es der x-Wert eines Schnittpunkts des Graphen mit der x-Achse.

❓ Frage: Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^2 - 5x + 6$.

Lösung anzeigen

Mit $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$:

$D = 25 - 24 = 1$

$x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2}$

$x_1 = 3$ und $x_2 = 2$

Die Nullstellen sind $x_1 = 2$ und $x_2 = 3$.

Alternative: Faktorisieren zu $(x-2)(x-3) = 0$.

❓ Frage: Die Funktion $f(x) = x^2 + 4$ hat wie viele Nullstellen? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

Die Funktion hat keine Nullstellen.

Begründung: $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -16 < 0$

Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Lösungen. Anschaulich: Die Parabel ist nach oben geöffnet und ihr Scheitelpunkt liegt bei $(0, 4)$, also oberhalb der x-Achse.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Handwerkszeug, um Nullstellen zu finden. Das ist ein zentraler Baustein der Funktionsuntersuchung. Im nächsten Schritt wirst du lernen, wie du Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) einer Funktion bestimmst. Dafür brauchst du die Ableitung – ein spannendes neues Werkzeug, das dir verrät, wo eine Funktion steigt, fällt oder ihre Richtung wechselt.

Ausserdem werden Nullstellen später wichtig, wenn du Funktionen skizzierst oder Ungleichungen löst. Denn die Nullstellen zeigen dir genau, in welchen Bereichen eine Funktion positiv oder negativ ist. Das Wissen, das du heute aufgebaut hast, wird dich durch die gesamte Oberstufe begleiten.