Monotonie von Funktionen einfach erklärt: Wann steigt oder fällt der Graph?

Stell dir vor, du wanderst auf einem Bergpfad. Manchmal geht es bergauf, manchmal bergab, und zwischendurch gibt es flache Abschnitte. Wenn dich jemand fragt, wie der Weg verläuft, beschreibst du automatisch diese Auf- und Abstiege. Genau das machen Mathematiker auch mit Funktionsgraphen. Sie untersuchen, wo der Graph “bergauf” geht, wo er “bergab” geht und wo er flach verläuft. Diese Eigenschaft nennt man Monotonie. Mit diesem Wissen kannst du das Verhalten einer Funktion präzise beschreiben und verstehst, warum Graphen so aussehen, wie sie aussehen.

Vom Bergpfad zum Funktionsgraph

Kehren wir zu unserem Bergpfad zurück. Wenn du von links nach rechts auf der Karte schaust, erkennst du sofort: Geht der Weg nach oben oder nach unten? Beim Funktionsgraph ist es genauso. Du betrachtest den Graphen immer von links nach rechts, also in Richtung wachsender $x$-Werte.

Stell dir vor, eine kleine Figur läuft auf dem Graphen von links nach rechts. Muss sie dabei klettern? Dann steigt der Graph. Rutscht sie nach unten? Dann fällt der Graph. Läuft sie auf gleicher Höhe? Dann ist der Graph konstant.

Diese einfache Beobachtung ist bereits der Kern der Monotonie. Wir übersetzen jetzt dieses Bild in die Sprache der Mathematik.

Was bedeutet Monotonie mathematisch?

Die Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion. Sie beantwortet die Frage: Werden die $y$-Werte grösser oder kleiner, wenn die $x$-Werte grösser werden?

Es gibt vier verschiedene Arten von Monotonie:

Streng monoton steigend: Der Graph geht immer bergauf. Wenn $x$ grösser wird, wird auch $f(x)$ grösser. Die kleine Figur muss ständig klettern.

Monoton steigend: Der Graph geht bergauf oder verläuft horizontal. Er geht aber nie bergab. Die Figur klettert oder läuft auf gleicher Höhe.

Streng monoton fallend: Der Graph geht immer bergab. Wenn $x$ grösser wird, wird $f(x)$ kleiner. Die Figur rutscht ständig nach unten.

Monoton fallend: Der Graph geht bergab oder verläuft horizontal. Er geht aber nie bergauf. Die Figur rutscht oder läuft auf gleicher Höhe.

DEFINITION

Eine Funktion $f$ heisst auf einem Intervall $I$:

• streng monoton steigend, wenn für alle $x_1, x_2 \in I$ mit $x_1 < x_2$ gilt: $f(x_1) < f(x_2)$
• streng monoton fallend, wenn für alle $x_1, x_2 \in I$ mit $x_1 < x_2$ gilt: $f(x_1) > f(x_2)$

Die Ableitung $f'(x)$ gibt Auskunft über die Monotonie:

• $f'(x) > 0$ bedeutet: $f$ ist streng monoton steigend
• $f'(x) < 0$ bedeutet: $f$ ist streng monoton fallend
• $f'(x) = 0$ bedeutet: $f$ hat eine waagrechte Tangente (mögliche Extremstelle)

So bestimmst du die Monotonie Schritt für Schritt

Die Ableitung ist dein wichtigstes Werkzeug bei der Monotonie-Untersuchung. Sie zeigt dir, ob der Graph an einer Stelle steigt oder fällt. Hier ist deine Schritt-für-Schritt-Anleitung:

1. Bilde die erste Ableitung $f'(x)$ der Funktion $f(x)$.

2. Bestimme die Nullstellen der Ableitung. Setze $f'(x) = 0$ und löse nach $x$. Diese Stellen sind mögliche Extremstellen, wo die Monotonie wechseln kann.

3. Erstelle eine Vorzeichentabelle. Unterteile die $x$-Achse anhand der Nullstellen in Intervalle. Prüfe für jedes Intervall, ob $f'(x)$ positiv oder negativ ist.

4. Formuliere die Monotonie. Übersetze die Vorzeichen der Ableitung in die Monotonie-Aussagen.

Die Vorzeichentabelle ist dabei besonders hilfreich. Du wählst aus jedem Intervall einen beliebigen Testwert und setzt ihn in $f'(x)$ ein. Das Vorzeichen des Ergebnisses gilt für das gesamte Intervall.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Die Ableitung vergessen Viele Schüler versuchen, die Monotonie direkt aus $f(x)$ abzulesen. Das funktioniert nur bei sehr einfachen Funktionen. Bilde immer zuerst die Ableitung $f'(x)$.

Fehler 2: Vorzeichen falsch interpretieren Merke dir: $f'(x) > 0$ bedeutet steigend, $f'(x) < 0$ bedeutet fallend. Ein häufiger Fehler ist die Verwechslung. Denke an die Bergwanderung: Positive Steigung heisst bergauf.

Fehler 3: Intervallgrenzen vertauschen Bei der Angabe der Monotonie-Intervalle müssen die Grenzen korrekt sein. Schreibe immer den kleineren $x$-Wert zuerst. Also $[-2; 3]$ und nicht $[3; -2]$.

Fehler 4: Definitionslücken übersehen Wenn die Funktion an einer Stelle nicht definiert ist, musst du dort das Intervall unterbrechen. Prüfe immer zuerst den Definitionsbereich.

Beispiele

Beispiel 1: Quadratische Funktion

Untersuche die Funktion $f(x) = x^2 - 4x + 3$ auf Monotonie.

Schritt 1: Ableitung bilden

$f'(x) = 2x - 4$

Schritt 2: Nullstellen der Ableitung

$2x - 4 = 0$

$2x = 4$

$x = 2$

Schritt 3: Vorzeichentabelle

Intervall	Testwert	$f'(\text{Testwert})$	Vorzeichen
$x < 2$	$x = 0$	$2 \cdot 0 - 4 = -4$	negativ
$x > 2$	$x = 3$	$2 \cdot 3 - 4 = 2$	positiv

Schritt 4: Monotonie formulieren

Die Funktion $f$ ist streng monoton fallend für $x \in (-\infty; 2)$.

Die Funktion $f$ ist streng monoton steigend für $x \in (2; +\infty)$.

Bei $x = 2$ hat die Funktion einen Tiefpunkt.

Beispiel 2: Kubische Funktion

Untersuche die Funktion $f(x) = x^3 - 3x$ auf Monotonie.

Schritt 1: Ableitung bilden

$f'(x) = 3x^2 - 3$

Schritt 2: Nullstellen der Ableitung

$3x^2 - 3 = 0$

$3x^2 = 3$

$x^2 = 1$

$x_1 = -1 \quad \text{und} \quad x_2 = 1$

Schritt 3: Vorzeichentabelle

Intervall	Testwert	$f'(\text{Testwert})$	Vorzeichen
$x < -1$	$x = -2$	$3 \cdot 4 - 3 = 9$	positiv
$-1 < x < 1$	$x = 0$	$3 \cdot 0 - 3 = -3$	negativ
$x > 1$	$x = 2$	$3 \cdot 4 - 3 = 9$	positiv

Schritt 4: Monotonie formulieren

Die Funktion $f$ ist streng monoton steigend für $x \in (-\infty; -1)$.

Die Funktion $f$ ist streng monoton fallend für $x \in (-1; 1)$.

Die Funktion $f$ ist streng monoton steigend für $x \in (1; +\infty)$.

Bei $x = -1$ liegt ein Hochpunkt vor, bei $x = 1$ ein Tiefpunkt.

Beispiel 3: Gebrochen-rationale Funktion

Untersuche die Funktion $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$ auf Monotonie für $x > 1$.

Schritt 1: Ableitung bilden (Quotientenregel)

Mit $u(x) = x^2$ und $v(x) = x - 1$ gilt:

$u'(x) = 2x \quad \text{und} \quad v'(x) = 1$

$f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left(v(x)\right)^2}$

$f'(x) = \frac{2x \cdot (x - 1) - x^2 \cdot 1}{(x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$

Schritt 2: Nullstellen der Ableitung (für $x > 1$)

Der Zähler ist null, wenn $x = 0$ oder $x = 2$. Da wir nur $x > 1$ betrachten, ist $x = 2$ die relevante Nullstelle.

Der Nenner $(x - 1)^2$ ist für $x > 1$ immer positiv.

Schritt 3: Vorzeichentabelle für $x > 1$

Intervall	Testwert	Zähler	Nenner	Vorzeichen von $f'$
$1 < x < 2$	$x = 1.5$	$1.5 \cdot (-0.5) = -0.75$	positiv	negativ
$x > 2$	$x = 3$	$3 \cdot 1 = 3$	positiv	positiv

Schritt 4: Monotonie formulieren

Für $x > 1$ gilt:

Die Funktion $f$ ist streng monoton fallend für $x \in (1; 2)$.

Die Funktion $f$ ist streng monoton steigend für $x \in (2; +\infty)$.

Bei $x = 2$ hat die Funktion einen Tiefpunkt.

Beispiel 4: Anwendung im Alltag

Ein Unternehmen produziert Handyhüllen. Die Gewinnfunktion in Abhängigkeit von der Produktionsmenge $x$ (in Tausend Stück) lautet:

$G(x) = -2x^3 + 12x^2 + 18x - 50$

Bestimme, für welche Produktionsmengen der Gewinn steigt.

Schritt 1: Ableitung bilden

$G'(x) = -6x^2 + 24x + 18$

Schritt 2: Nullstellen der Ableitung

$-6x^2 + 24x + 18 = 0$

Wir teilen durch $-6$:

$x^2 - 4x - 3 = 0$

Mit der Lösungsformel:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2}$

$x_1 = \frac{4 - \sqrt{28}}{2} \approx -0.65$

$x_2 = \frac{4 + \sqrt{28}}{2} \approx 4.65$

Da $x$ eine Produktionsmenge ist, gilt $x \geq 0$. Also ist nur $x_2 \approx 4.65$ relevant.

Schritt 3: Vorzeichentabelle für $x \geq 0$

Intervall	Testwert	$G'(\text{Testwert})$	Vorzeichen
$0 < x < 4.65$	$x = 2$	$-24 + 48 + 18 = 42$	positiv
$x > 4.65$	$x = 5$	$-150 + 120 + 18 = -12$	negativ

Schritt 4: Interpretation

Der Gewinn steigt für Produktionsmengen zwischen 0 und etwa 4650 Stück.

Bei einer Produktion von etwa 4650 Stück ist der Gewinn maximal.

Darüber hinaus sinkt der Gewinn wieder.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Du untersuchst sie mit der ersten Ableitung $f'(x)$.

• Ist $f'(x) > 0$, dann ist die Funktion streng monoton steigend. Ist $f'(x) < 0$, dann ist sie streng monoton fallend.

• Die Nullstellen der Ableitung sind die möglichen Stellen, an denen sich die Monotonie ändert. Dort können Hoch- oder Tiefpunkte liegen.

• Eine Vorzeichentabelle hilft dir, die Intervalle übersichtlich zu untersuchen. Wähle aus jedem Intervall einen Testwert und prüfe das Vorzeichen von $f'(x)$.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Die Ableitung einer Funktion ist $f'(x) = x - 3$. Für welche $x$-Werte ist die Funktion streng monoton steigend?

Lösung anzeigen

Die Funktion ist streng monoton steigend, wenn $f'(x) > 0$ gilt.

$x - 3 > 0$

$x > 3$

Die Funktion ist also streng monoton steigend für alle $x > 3$ bzw. $x \in (3; +\infty)$.

❓ Frage: Gegeben ist $f(x) = -x^2 + 6x$. Bestimme die Monotonie-Intervalle.

Lösung anzeigen

Ableitung: $f'(x) = -2x + 6$

Nullstelle: $-2x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3$

Vorzeichen prüfen:

• Für $x = 0$: $f'(0) = 6 > 0$ (steigend)
• Für $x = 4$: $f'(4) = -2 < 0$ (fallend)

Ergebnis:

• Streng monoton steigend für $x \in (-\infty; 3)$
• Streng monoton fallend für $x \in (3; +\infty)$

Bei $x = 3$ liegt ein Hochpunkt.

❓ Frage: Warum reicht es nicht aus, nur den Wert $f'(x) = 0$ zu untersuchen, um die vollständige Monotonie zu bestimmen?

Lösung anzeigen

Die Gleichung $f'(x) = 0$ liefert nur die möglichen Wechselstellen der Monotonie. Sie sagt aber nicht, in welchen Intervallen die Funktion steigt oder fällt.

Du musst zusätzlich das Vorzeichen von $f'(x)$ in den Intervallen zwischen den Nullstellen prüfen. Erst dann weisst du, ob $f$ dort steigt (positives Vorzeichen) oder fällt (negatives Vorzeichen).

Ausserdem kann $f'(x) = 0$ auch Stellen liefern, die gar keine Extremstellen sind, z.B. bei Sattelpunkten.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt gelernt, wo eine Funktion steigt und wo sie fällt. Der nächste logische Schritt ist die genaue Untersuchung der Extremstellen. Du weisst bereits, dass an den Nullstellen der Ableitung mögliche Hoch- oder Tiefpunkte liegen. Aber woher weisst du, ob es ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist? Dafür gibt es verschiedene Kriterien, unter anderem die zweite Ableitung. Damit kannst du auch das Krümmungsverhalten einer Funktion analysieren und herausfinden, ob der Graph eine Linkskurve oder eine Rechtskurve macht. Diese Informationen zusammen ergeben dann die vollständige Kurvendiskussion.