Funktionsuntersuchungen einfach erklärt: So analysierst du jede Funktion Schritt für Schritt

Stell dir vor, du bist ein Detektiv. Dein Auftrag: Ein mysteriöses Objekt vollständig zu beschreiben. Du untersuchst es von allen Seiten, misst es aus, suchst nach besonderen Merkmalen und notierst alles in einem Steckbrief. Genau das tun Mathematiker mit Funktionen. Eine Funktionsuntersuchung ist wie das Erstellen eines kompletten Steckbriefs für eine mathematische Kurve. Du findest heraus, wo sie die x-Achse schneidet, wo sie ihre höchsten und tiefsten Punkte hat, und ob sie vielleicht symmetrisch ist. Am Ende kennst du die Funktion in- und auswendig und kannst sie präzise skizzieren.

Von der Detektivarbeit zur Mathematik

Wenn du einen Gegenstand beschreiben sollst, gehst du systematisch vor. Du fragst: Wie gross ist er? Welche Form hat er? Hat er besondere Merkmale? Bei Funktionen stellst du ähnliche Fragen:

• Wo schneidet der Graph die Achsen?
• Wo liegt der höchste oder tiefste Punkt?
• Ist der Graph symmetrisch?
• Wo verläuft der Graph oberhalb, wo unterhalb der x-Achse?

Diese Fragen führen dich zu einem vollständigen Bild der Funktion. Das Werkzeug, das du dafür brauchst, ist ein systematischer Plan – deine persönliche Checkliste für jede Funktionsuntersuchung.

Die Bausteine einer Funktionsuntersuchung

Bevor du loslegst, musst du wissen, welche Eigenschaften du überhaupt untersuchen kannst. Jede dieser Eigenschaften verrät dir etwas Wichtiges über den Graphen.

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich sagt dir, welche x-Werte du überhaupt in die Funktion einsetzen darfst. Bei den meisten Funktionen, die du in Klasse 9 kennenlernst, ist das einfach: Alle reellen Zahlen sind erlaubt.

Bei einer einfachen quadratischen Funktion wie $f(x) = x^2 - 4$ darfst du jeden beliebigen x-Wert einsetzen. Der Definitionsbereich ist dann:

$D = \mathbb{R}$

Nullstellen

Nullstellen sind die x-Werte, bei denen der Funktionswert null ist. Grafisch bedeutet das: Der Graph schneidet die x-Achse.

Um Nullstellen zu finden, setzt du $f(x) = 0$ und löst nach $x$ auf.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Dieser Punkt zeigt dir, wo der Graph die y-Achse kreuzt. Du findest ihn, indem du $x = 0$ in die Funktion einsetzt.

Extrempunkte

Extrempunkte sind die höchsten und tiefsten Punkte des Graphen. Ein Hochpunkt ist wie ein Berggipfel, ein Tiefpunkt wie ein Tal. Bei quadratischen Funktionen nennt man diesen besonderen Punkt auch Scheitelpunkt.

Symmetrie

Manche Funktionen haben einen symmetrischen Graphen. Es gibt zwei wichtige Arten:

• Achsensymmetrie zur y-Achse: Der Graph ist wie ein Schmetterling – links und rechts spiegelgleich.
• Punktsymmetrie zum Ursprung: Der Graph sieht gleich aus, wenn du ihn um 180° drehst.

DEFINITION

Eine Funktionsuntersuchung ist die vollständige Analyse einer Funktion. Du bestimmst dabei nacheinander: den Definitionsbereich $D$, die Nullstellen (Lösungen von $f(x) = 0$), den y-Achsenabschnitt ($f(0)$), die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) sowie die Symmetrie des Graphen. Diese Informationen ermöglichen dir eine präzise Skizze des Funktionsgraphen.

Der Fahrplan: Schritt für Schritt zur vollständigen Analyse

Damit du keine Eigenschaft vergisst, arbeitest du immer in derselben Reihenfolge. Diese Checkliste führt dich sicher durch jede Funktionsuntersuchung:

1. Definitionsbereich bestimmen: Prüfe, ob alle x-Werte erlaubt sind.
2. Nullstellen berechnen: Setze $f(x) = 0$ und löse die Gleichung.
3. y-Achsenabschnitt berechnen: Berechne $f(0)$.
4. Symmetrie prüfen: Teste auf Achsen- oder Punktsymmetrie.
5. Extrempunkte bestimmen: Finde Hoch- und Tiefpunkte.
6. Wertebereich angeben: Lies ab, welche y-Werte der Graph annimmt.
7. Graph skizzieren: Trage alle Punkte ein und verbinde sie.

Symmetrie erkennen: Der mathematische Spiegel

Die Symmetrieprüfung ist ein mächtiges Werkzeug. Sie verrät dir sofort viel über die Form des Graphen.

Achsensymmetrie zur y-Achse

Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn gilt:

$f(-x) = f(x)$

Das bedeutet: Egal ob du einen positiven oder negativen x-Wert einsetzt – der Funktionswert ist derselbe. Solche Funktionen heissen auch gerade Funktionen.

Beispiel: Bei $f(x) = x^2$ gilt $f(-3) = 9$ und $f(3) = 9$. Die Werte sind gleich.

Punktsymmetrie zum Ursprung

Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt:

$f(-x) = -f(x)$

Das bedeutet: Wenn du einen negativen x-Wert einsetzt, erhältst du den negativen Funktionswert. Solche Funktionen heissen auch ungerade Funktionen.

Beispiel: Bei $f(x) = x^3$ gilt $f(-2) = -8$ und $f(2) = 8$. Die Werte sind entgegengesetzt.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Nullstellen mit y-Achsenabschnitt verwechseln Nullstellen sind x-Werte, der y-Achsenabschnitt ist ein y-Wert. Bei Nullstellen setzt du $f(x) = 0$, beim y-Achsenabschnitt setzt du $x = 0$ ein. Merke dir: “Null-Stellen” – du suchst, wo der Funktionswert null ist.

Fehler 2: Symmetrietest falsch durchführen Beim Symmetrietest musst du $(-x)$ überall für $x$ einsetzen – auch in Potenzen. Bei $f(x) = x^2 - 3x$ wird daraus $f(-x) = (-x)^2 - 3 \cdot (-x) = x^2 + 3x$. Vergiss nicht, dass $(-x)^2 = x^2$ gilt.

Fehler 3: Extrempunkte als x-Werte angeben Ein Extrempunkt ist immer ein Punkt mit zwei Koordinaten: $(x | y)$. Wenn du den Scheitelpunkt einer Parabel bei $x = 2$ findest, musst du noch $f(2)$ berechnen, um den vollständigen Punkt anzugeben.

Beispiele

Beispiel 1: Die quadratische Funktion f(x) = x² - 4

Wir untersuchen $f(x) = x^2 - 4$ vollständig.

Schritt 1: Definitionsbereich Alle x-Werte sind erlaubt: $D = \mathbb{R}$

Schritt 2: Nullstellen Wir setzen $f(x) = 0$: $x^2 - 4 = 0$ $x^2 = 4$ $x = 2 \quad \text{oder} \quad x = -2$

Die Nullstellen sind $x_1 = -2$ und $x_2 = 2$.

Schritt 3: y-Achsenabschnitt Wir berechnen $f(0)$: $f(0) = 0^2 - 4 = -4$

Der Graph schneidet die y-Achse bei $(0 | -4)$.

Schritt 4: Symmetrie Wir prüfen $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^2 - 4 = x^2 - 4 = f(x)$

Da $f(-x) = f(x)$ gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.

Schritt 5: Extrempunkt Bei $f(x) = x^2 - 4$ liegt der Scheitelpunkt bei $x = 0$ (wegen der Symmetrie). Der zugehörige y-Wert ist $f(0) = -4$.

Der Tiefpunkt ist $T(0 | -4)$.

Schritt 6: Wertebereich Da die Parabel nach oben geöffnet ist und ihr tiefster Punkt bei $y = -4$ liegt: $W = [-4; \infty)$

Beispiel 2: Die kubische Funktion f(x) = x³ - 3x

Wir analysieren $f(x) = x^3 - 3x$.

Schritt 1: Definitionsbereich $D = \mathbb{R}$

Schritt 2: Nullstellen $x^3 - 3x = 0$ $x \cdot (x^2 - 3) = 0$

Entweder $x = 0$ oder $x^2 - 3 = 0$.

Aus $x^2 = 3$ folgt $x = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ oder $x = -\sqrt{3} \approx -1{,}73$.

Die Nullstellen sind $x_1 = -\sqrt{3}$, $x_2 = 0$ und $x_3 = \sqrt{3}$.

Schritt 3: y-Achsenabschnitt $f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 = 0$

Der Graph geht durch den Ursprung $(0 | 0)$.

Schritt 4: Symmetrie $f(-x) = (-x)^3 - 3 \cdot (-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)$

Da $f(-x) = -f(x)$ gilt, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

Schritt 5: Extrempunkte Für kubische Funktionen benötigst du später die Ableitung. Vorerst kannst du durch Ausprobieren oder mit dem Taschenrechner feststellen:

• Hochpunkt bei $H(-1 | 2)$
• Tiefpunkt bei $T(1 | -2)$

Schritt 6: Wertebereich Der Graph erstreckt sich von ganz unten nach ganz oben: $W = \mathbb{R}$

Beispiel 3: Die verschobene Parabel f(x) = -x² + 6x - 5

Diese Funktion ist etwas anspruchsvoller. Wir untersuchen $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.

Schritt 1: Definitionsbereich $D = \mathbb{R}$

Schritt 2: Nullstellen $-x^2 + 6x - 5 = 0$

Wir multiplizieren mit $(-1)$: $x^2 - 6x + 5 = 0$

Mit der Lösungsformel oder durch Faktorisieren: $x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) = 0$

Die Nullstellen sind $x_1 = 1$ und $x_2 = 5$.

Schritt 3: y-Achsenabschnitt $f(0) = -0^2 + 6 \cdot 0 - 5 = -5$

Der Graph schneidet die y-Achse bei $(0 | -5)$.

Schritt 4: Symmetrie $f(-x) = -(-x)^2 + 6 \cdot (-x) - 5 = -x^2 - 6x - 5$

Das ist weder $f(x)$ noch $-f(x)$. Der Graph hat keine Symmetrie zur y-Achse oder zum Ursprung.

Aber: Jede Parabel ist achsensymmetrisch zu ihrer Scheitelachse.

Schritt 5: Extrempunkt (Scheitelpunkt) Der Scheitelpunkt liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen: $x_S = \frac{1 + 5}{2} = 3$

Der y-Wert: $f(3) = -3^2 + 6 \cdot 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$

Da das Vorzeichen vor $x^2$ negativ ist, öffnet die Parabel nach unten. Der Scheitelpunkt ist ein Hochpunkt: $H(3 | 4)$.

Schritt 6: Wertebereich Die Parabel öffnet nach unten mit Hochpunkt bei $y = 4$: $W = (-\infty; 4]$

Zusammenfassung als Steckbrief:

• Definitionsbereich: $D = \mathbb{R}$
• Nullstellen: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$
• y-Achsenabschnitt: $(0 | -5)$
• Hochpunkt: $H(3 | 4)$
• Wertebereich: $W = (-\infty; 4]$

Das Wichtigste in Kürze

• Eine Funktionsuntersuchung ist ein systematischer Steckbrief, der alle wichtigen Eigenschaften einer Funktion erfasst.
• Die Reihenfolge lautet: Definitionsbereich → Nullstellen → y-Achsenabschnitt → Symmetrie → Extrempunkte → Wertebereich.
• Achsensymmetrie zur y-Achse prüfst du mit $f(-x) = f(x)$, Punktsymmetrie zum Ursprung mit $f(-x) = -f(x)$.
• Extrempunkte sind vollständige Koordinatenpaare $(x | y)$ – vergiss nie, beide Werte anzugeben.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Wie findest du die Nullstellen einer Funktion?

Lösung anzeigen

Du setzt $f(x) = 0$ und löst die entstehende Gleichung nach $x$ auf. Die Lösungen sind die x-Werte, bei denen der Graph die x-Achse schneidet.

❓ Frage: Die Funktion $f(x) = x^4 - 2$ erfüllt die Gleichung $f(-x) = f(x)$. Welche Symmetrie hat der Graph?

Lösung anzeigen

Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Funktionen mit dieser Eigenschaft heissen auch gerade Funktionen. Wenn du die linke Hälfte an der y-Achse spiegelst, erhältst du die rechte Hälfte.

❓ Frage: Gegeben ist $f(x) = x^2 - 2x - 3$. Bestimme die Nullstellen und den y-Achsenabschnitt.

Lösung anzeigen

Nullstellen: $x^2 - 2x - 3 = 0$ lässt sich faktorisieren zu $(x - 3)(x + 1) = 0$. Die Nullstellen sind $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$.

y-Achsenabschnitt: $f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Der Graph schneidet die y-Achse bei $(0 | -3)$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Handwerkszeug, um Funktionen systematisch zu untersuchen. In der 10. Klasse lernst du die Differentialrechnung kennen. Mit der Ableitung kannst du Extrempunkte nicht mehr erraten, sondern exakt berechnen. Du wirst auch Wendepunkte bestimmen können – das sind die Stellen, an denen ein Graph von einer Linkskurve in eine Rechtskurve wechselt. Die Funktionsuntersuchung wird damit noch präziser und mächtiger. Die systematische Vorgehensweise, die du heute gelernt hast, bleibt dabei dein roter Faden durch alle weiteren mathematischen Abenteuer.