Extrempunkte berechnen: Hoch- und Tiefpunkte von Funktionen bestimmen

Darum geht's

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad eine hügelige Strecke entlang. Manchmal strampelst du bergauf, manchmal rollst du bergab. An bestimmten Punkten erreichst du den Gipfel eines Hügels – hier kannst du kurz durchatmen, bevor es wieder hinuntergeht. An anderen Stellen befindest du dich im tiefsten Tal, von wo aus es nur noch bergauf gehen kann.

Genau diese besonderen Punkte – die Gipfel und Täler – interessieren uns auch bei Funktionsgraphen. In der Mathematik nennen wir sie Extrempunkte. Du lernst jetzt, wie du diese Punkte mit Hilfe von Ableitungen systematisch findest und bestimmst, ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt.

Vom Berggipfel zur Mathematik

Kehren wir zur Fahrradtour zurück. Wenn du einen Hügel hinauffährst, steigt die Strasse an. Oben am Gipfel ist sie für einen kurzen Moment flach – weder steigend noch fallend. Dann geht es wieder bergab, die Strasse fällt. Dieses Muster ist der Schlüssel zum Verständnis von Extrempunkten.

Übertragen auf eine Funktion bedeutet das: Die Steigung des Graphen ändert sich. Vor einem Hochpunkt steigt der Graph, am Hochpunkt selbst ist die Steigung null, und danach fällt der Graph. Bei einem Tiefpunkt ist es genau umgekehrt: erst fallend, dann flach, dann steigend.

Die Steigung einer Funktion $f(x)$ beschreibt die erste Ableitung $f'(x)$. Wenn die Steigung null ist, gilt also $f'(x) = 0$. Das ist unser Ausgangspunkt für die Suche nach Extrempunkten.

So findest du Extrempunkte

Die Berechnung von Extrempunkten folgt einem klaren Schema. Du arbeitest dich in drei Schritten voran: Erst findest du die Kandidaten, dann überprüfst du sie, und schliesslich berechnest du die vollständigen Koordinaten.

Schritt 1: Notwendige Bedingung anwenden

Bilde die erste Ableitung $f'(x)$ und setze sie gleich null. Löse die Gleichung $f'(x) = 0$ nach $x$ auf. Die Lösungen heissen Extremstellen oder auch stationäre Stellen.

Schritt 2: Hinreichende Bedingung prüfen

Nicht jede Stelle mit $f'(x) = 0$ ist automatisch ein Extrempunkt. Es könnte auch ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente sein. Du musst daher zusätzlich prüfen, ob tatsächlich ein Extremum vorliegt. Dafür gibt es zwei Methoden.

Schritt 3: Extremwert berechnen

Setze die gefundene Extremstelle $x_E$ in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ ein, um den zugehörigen $y$-Wert (Extremwert) zu erhalten. Der Extrempunkt hat dann die Koordinaten $(x_E \mid f(x_E))$.

Definition

Ein Extrempunkt ist ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, an dem ein lokales Maximum (Hochpunkt) oder ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vorliegt.

Notwendige Bedingung: An einer Extremstelle $x_E$ gilt $f'(x_E) = 0$.

Hinreichende Bedingung (Variante 1): Ist zusätzlich $f''(x_E) < 0$, liegt ein Hochpunkt vor. Ist $f''(x_E) > 0$, liegt ein Tiefpunkt vor.

Hinreichende Bedingung (Variante 2): Wechselt $f'(x)$ an der Stelle $x_E$ das Vorzeichen von $+$ nach $-$, liegt ein Hochpunkt vor. Wechselt es von $-$ nach $+$, liegt ein Tiefpunkt vor.

Die zwei Methoden zur Überprüfung

Du hast zwei Möglichkeiten, um zu überprüfen, ob an einer Stelle wirklich ein Extrempunkt vorliegt. Beide Methoden führen zum gleichen Ergebnis.

Methode 1: Die zweite Ableitung

Diese Methode ist oft schneller. Du bildest die zweite Ableitung $f''(x)$ und setzt die gefundene Extremstelle $x_E$ ein.

Wenn $f''(x_E) < 0$ ist, dann ist der Graph an dieser Stelle nach unten gekrümmt – wie ein umgedrehtes U. Das bedeutet: Es liegt ein Hochpunkt vor.

Wenn $f''(x_E) > 0$ ist, dann ist der Graph nach oben gekrümmt – wie ein U. Das bedeutet: Es liegt ein Tiefpunkt vor.

Wenn $f''(x_E) = 0$ ist, liefert diese Methode keine Aussage. Dann musst du auf Methode 2 zurückgreifen.

Methode 2: Das Vorzeichenwechsel-Kriterium

Bei dieser Methode untersuchst du das Vorzeichen der ersten Ableitung links und rechts von der Extremstelle.

Wähle einen Wert etwas links von $x_E$ und einen Wert etwas rechts von $x_E$. Setze beide in $f'(x)$ ein und bestimme die Vorzeichen.

Wechselt das Vorzeichen von positiv zu negativ, steigt der Graph erst und fällt dann – es liegt ein Hochpunkt vor.

Wechselt das Vorzeichen von negativ zu positiv, fällt der Graph erst und steigt dann – es liegt ein Tiefpunkt vor.

Bleibt das Vorzeichen gleich, handelt es sich um einen Sattelpunkt und nicht um einen Extrempunkt.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Achtung

Fehler 1: Die notwendige Bedingung als ausreichend betrachten

Viele Schüler vergessen, die hinreichende Bedingung zu überprüfen. Nicht jede Stelle mit $f'(x) = 0$ ist ein Extrempunkt. Die Funktion $f(x) = x^3$ hat bei $x = 0$ die Ableitung null, aber dort liegt kein Extrempunkt, sondern ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

Fehler 2: Vorzeichen der zweiten Ableitung falsch deuten

Merke dir: $f''(x_E) < 0$ bedeutet Hochpunkt (negativ = nach unten gekrümmt = Gipfel). $f''(x_E) > 0$ bedeutet Tiefpunkt (positiv = nach oben gekrümmt = Tal). Eine Eselsbrücke: “Minus macht Mist für den Aufstieg” – der Graph kann nicht weiter steigen, also Hochpunkt.

Fehler 3: Extremstelle und Extremwert verwechseln

Die Extremstelle ist der $x$-Wert, an dem das Extremum liegt. Der Extremwert ist der zugehörige $y$-Wert $f(x_E)$. Für den vollständigen Extrempunkt brauchst du beide Koordinaten.

Beispiele

Beispiel 1: Einfache quadratische Funktion

Bestimme die Extrempunkte der Funktion $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Schritt 1: Erste Ableitung bilden und null setzen

$$f'(x) = 2x - 4$$$$f'(x) = 0$$$$2x - 4 = 0$$$$2x = 4$$$$x = 2$$

Die mögliche Extremstelle liegt bei $x_E = 2$.

Schritt 2: Zweite Ableitung prüfen

$$f''(x) = 2$$$$f''(2) = 2 > 0$$

Da die zweite Ableitung positiv ist, liegt ein Tiefpunkt vor.

Schritt 3: Extremwert berechnen

$$f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$

Ergebnis: Der Tiefpunkt liegt bei $T(2 \mid -1)$.

Beispiel 2: Kubische Funktion mit zwei Extrempunkten

Untersuche die Funktion $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ auf Extrempunkte.

Schritt 1: Erste Ableitung bilden und null setzen

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$$$$f'(x) = 0$$$$3x^2 - 6x - 9 = 0$$

Wir teilen durch 3:

$$x^2 - 2x - 3 = 0$$

Mit der Mitternachtsformel oder durch Faktorisieren $(x - 3)(x + 1) = 0$ erhalten wir:

$$x_1 = 3 \quad \text{und} \quad x_2 = -1$$

Schritt 2: Zweite Ableitung prüfen

$$f''(x) = 6x - 6$$

Für $x_1 = 3$:

$$f''(3) = 6 \cdot 3 - 6 = 18 - 6 = 12 > 0$$

Bei $x_1 = 3$ liegt ein Tiefpunkt vor.

Für $x_2 = -1$:

$$f''(-1) = 6 \cdot (-1) - 6 = -6 - 6 = -12 < 0$$

Bei $x_2 = -1$ liegt ein Hochpunkt vor.

Schritt 3: Extremwerte berechnen

$$f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$$$$f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 - 9 \cdot (-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$$

Ergebnis: Der Hochpunkt liegt bei $H(-1 \mid 10)$, der Tiefpunkt bei $T(3 \mid -22)$.

Beispiel 3: Anwendung des Vorzeichenwechsel-Kriteriums

Untersuche die Funktion $f(x) = x^4 - 2x^2$ auf Extrempunkte.

Schritt 1: Erste Ableitung bilden und null setzen

$$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1)$$$$f'(x) = 0$$

Das Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1$$

Schritt 2: Vorzeichenwechsel prüfen

Wir erstellen eine Vorzeichentabelle für $f'(x) = 4x(x - 1)(x + 1)$:

Bereich	$4x$	$x-1$	$x+1$	$f'(x)$
$x < -1$	$-$	$-$	$-$	$-$
$-1 < x < 0$	$-$	$-$	$+$	$+$
$0 < x < 1$	$+$	$-$	$+$	$-$
$x > 1$	$+$	$+$	$+$	$+$

Bei $x = -1$: Wechsel von $-$ nach $+$ → Tiefpunkt

Bei $x = 0$: Wechsel von $+$ nach $-$ → Hochpunkt

Bei $x = 1$: Wechsel von $-$ nach $+$ → Tiefpunkt

Schritt 3: Extremwerte berechnen

$$f(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 = 1 - 2 = -1$$$$f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 = 0$$$$f(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 = 1 - 2 = -1$$

Ergebnis: Hochpunkt bei $H(0 \mid 0)$, Tiefpunkte bei $T_1(-1 \mid -1)$ und $T_2(1 \mid -1)$.

Beispiel 4: Sachaufgabe mit wirtschaftlichem Kontext

Die Produktionskosten eines Unternehmens werden durch die Funktion $K(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100$ beschrieben, wobei $x$ die Produktionsmenge in Tausend Stück angibt und $K(x)$ die Kosten in Tausend CHF. Bei welcher Produktionsmenge sind die Kosten pro zusätzlicher Einheit am geringsten?

Die Kosten pro zusätzlicher Einheit werden durch die Grenzkosten $K'(x)$ beschrieben. Wir suchen also das Minimum von $K'(x)$.

Sei $g(x) = K'(x) = 0.3x^2 - 6x + 30$.

Schritt 1: Ableitung von $g(x)$ bilden und null setzen

$$g'(x) = 0.6x - 6$$$$g'(x) = 0$$$$0.6x - 6 = 0$$$$x = 10$$

Schritt 2: Zweite Ableitung prüfen

$$g''(x) = 0.6 > 0$$

Da $g''(10) = 0.6 > 0$, liegt ein Tiefpunkt der Grenzkostenfunktion vor.

Ergebnis: Bei einer Produktionsmenge von 10’000 Stück sind die Grenzkosten am geringsten. Die Grenzkosten betragen dann $g(10) = 0.3 \cdot 100 - 6 \cdot 10 + 30 = 30 - 60 + 30 = 0$ Tausend CHF pro Tausend Stück, also 0 CHF pro Stück.

Das Wichtigste in Kürze

• Extrempunkte sind Hochpunkte und Tiefpunkte einer Funktion – die “Gipfel” und “Täler” des Graphen.
• Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt lautet $f'(x) = 0$. Löse diese Gleichung, um mögliche Extremstellen zu finden.
• Die hinreichende Bedingung bestätigst du entweder mit der zweiten Ableitung ($f''(x_E) < 0$ für Hochpunkt, $f''(x_E) > 0$ für Tiefpunkt) oder mit dem Vorzeichenwechsel-Kriterium.
• Der vollständige Extrempunkt besteht aus der Extremstelle $x_E$ und dem Extremwert $f(x_E)$: Schreibweise $E(x_E \mid f(x_E))$.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Bei welchem Wert der zweiten Ableitung liegt an einer stationären Stelle ein Tiefpunkt vor?

Lösung anzeigen

Ein Tiefpunkt liegt vor, wenn $f''(x_E) > 0$ ist. Die positive zweite Ableitung bedeutet, dass der Graph an dieser Stelle nach oben gekrümmt ist – wie ein Tal, aus dem es nur bergauf gehen kann.

❓ Frage: Die Funktion $f(x) = x^3$ hat bei $x = 0$ die erste Ableitung $f'(0) = 0$. Liegt dort ein Extrempunkt vor? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

Nein, bei $x = 0$ liegt kein Extrempunkt vor. Die zweite Ableitung ist $f''(x) = 6x$, also $f''(0) = 0$. Das Vorzeichenwechsel-Kriterium zeigt: $f'(x) = 3x^2$ ist für alle $x \neq 0$ positiv. Es findet kein Vorzeichenwechsel statt, daher handelt es sich um einen Sattelpunkt (Wendepunkt mit waagrechter Tangente).

❓ Frage: Gegeben ist die Funktion $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. Bestimme den Extrempunkt und gib an, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.

Lösung anzeigen

Erste Ableitung: $f'(x) = -2x + 6$

Nullsetzen: $-2x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3$

Zweite Ableitung: $f''(x) = -2 < 0$

Da $f''(3) = -2 < 0$, liegt ein Hochpunkt vor.

Extremwert: $f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$

Ergebnis: Der Hochpunkt liegt bei $H(3 \mid 4)$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du kannst jetzt Extrempunkte einer Funktion berechnen. Der nächste logische Schritt ist die Untersuchung von Wendepunkten. Diese Punkte beschreiben, wo der Graph sein Krümmungsverhalten ändert – von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve oder umgekehrt. Dafür verwendest du die zweite und dritte Ableitung. Zusammen mit den Extrempunkten bilden die Wendepunkte die Grundlage für eine vollständige Kurvendiskussion, mit der du den Verlauf einer Funktion komplett beschreiben kannst.