Sinus- und Kosinusfunktion einfach erklärt: Schwingungen verstehen und berechnen

Stell dir vor, du sitzt auf einem Riesenrad. Während sich das Rad gleichmässig dreht, bewegst du dich mal nach oben, mal nach unten – und das immer wieder in der gleichen Abfolge. Deine Höhe über dem Boden ändert sich dabei nicht zufällig, sondern folgt einem ganz bestimmten Muster: einer Wellenbewegung. Diese Wellenbewegung begegnet uns überall – beim Schall, beim Licht, bei Gezeiten und sogar beim Herzschlag. In der Mathematik beschreiben wir solche regelmässigen Schwingungen mit zwei besonderen Funktionen: der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion. In diesem Artikel lernst du, wie diese Funktionen aufgebaut sind, wie du ihre Graphen zeichnest und wie du mit ihnen rechnest.

Vom Riesenrad zur Mathematik

Kehren wir zum Riesenrad zurück. Das Rad hat einen bestimmten Radius – sagen wir $r = 10 \, \text{m}$. Die Achse des Rades liegt auf einer Höhe von $10 \, \text{m}$ über dem Boden. Wenn du ganz unten bist, befindest du dich auf Bodenhöhe ($0 \, \text{m}$). Ganz oben erreichst du $20 \, \text{m}$.

Jetzt kommt der mathematische Trick: Wir betrachten nicht das ganze Rad, sondern stellen uns einen Kreis mit Radius $1$ vor – den sogenannten Einheitskreis. Dieser Kreis hat seinen Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Wenn sich ein Punkt auf diesem Kreis bewegt, können wir seine Position durch den Winkel $\alpha$ beschreiben, den er zur positiven $x$-Achse bildet.

Die Koordinaten dieses Punktes sind genau die Werte, die uns interessieren:

• Die $x$-Koordinate entspricht dem Kosinus des Winkels: $x = \cos(\alpha)$
• Die $y$-Koordinate entspricht dem Sinus des Winkels: $y = \sin(\alpha)$

Der Einheitskreis ist also die geometrische Grundlage für Sinus und Kosinus. Aus der Drehbewegung auf dem Kreis entsteht eine Wellenbewegung – und genau diese beschreiben die Sinus- und Kosinusfunktion.

Die Sinusfunktion

Die Sinusfunktion ordnet jedem Winkel $x$ einen Wert $y$ zu. Wir schreiben:

$f(x) = \sin(x)$

Dabei ist $x$ der Winkel, gemessen im Bogenmass. Das Bogenmass ist eine andere Art, Winkel anzugeben. Statt $180°$ schreiben wir $\pi$, statt $360°$ schreiben wir $2\pi$. Diese Schreibweise ist in der höheren Mathematik Standard.

Der Graph der Sinusfunktion

Wenn du für verschiedene Winkel $x$ den Wert $\sin(x)$ berechnest und die Punkte verbindest, entsteht eine charakteristische Wellenkurve. Sie beginnt bei $(0, 0)$, steigt bis zum Maximum bei $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$, fällt durch $(\pi, 0)$ bis zum Minimum bei $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$ und kehrt bei $(2\pi, 0)$ zum Ausgangswert zurück.

Diese Wellenbewegung wiederholt sich dann unendlich – sowohl nach rechts als auch nach links. Man sagt: Die Sinusfunktion ist periodisch mit der Periode $2\pi$.

Wichtige Eigenschaften der Sinusfunktion

Eigenschaft	Wert
Definitionsbereich	$\mathbb{R}$ (alle reellen Zahlen)
Wertebereich	$[-1, 1]$
Periode	$2\pi$
Nullstellen	$x = k \cdot \pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$
Maximum	$y = 1$ bei $x = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi$
Minimum	$y = -1$ bei $x = \frac{3\pi}{2} + k \cdot 2\pi$
Symmetrie	Punktsymmetrisch zum Ursprung

Die Punktsymmetrie bedeutet: Wenn du den Graphen um $180°$ um den Ursprung drehst, sieht er genauso aus wie vorher. Mathematisch drücken wir das so aus: $\sin(-x) = -\sin(x)$. Funktionen mit dieser Eigenschaft heissen ungerade Funktionen.

Die Kosinusfunktion

Die Kosinusfunktion funktioniert ganz ähnlich. Wir schreiben:

$g(x) = \cos(x)$

Auch hier ist $x$ der Winkel im Bogenmass.

Der Graph der Kosinusfunktion

Der Kosinusgraph sieht aus wie eine verschobene Sinuskurve. Er beginnt bei $(0, 1)$ – also am Maximum. Von dort fällt er durch $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ zum Minimum bei $(\pi, -1)$, steigt durch $\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)$ und erreicht bei $(2\pi, 1)$ wieder das Maximum.

Tatsächlich ist der Kosinusgraph nichts anderes als der Sinusgraph, der um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschoben wurde. Es gilt:

$\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Wichtige Eigenschaften der Kosinusfunktion

Eigenschaft	Wert
Definitionsbereich	$\mathbb{R}$ (alle reellen Zahlen)
Wertebereich	$[-1, 1]$
Periode	$2\pi$
Nullstellen	$x = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$
Maximum	$y = 1$ bei $x = k \cdot 2\pi$
Minimum	$y = -1$ bei $x = \pi + k \cdot 2\pi$
Symmetrie	Achsensymmetrisch zur $y$-Achse

Die Achsensymmetrie bedeutet: Spiegelst du den Graphen an der $y$-Achse, bleibt er gleich. Mathematisch: $\cos(-x) = \cos(x)$. Solche Funktionen heissen gerade Funktionen.

DEFINITION

Die Sinusfunktion $f(x) = \sin(x)$ und die Kosinusfunktion $g(x) = \cos(x)$ sind periodische Funktionen mit der Periode $2\pi$. Beide haben den Wertebereich $[-1, 1]$. Der Sinusgraph startet bei $(0, 0)$ und ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Kosinusgraph startet bei $(0, 1)$ und ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Beide Funktionen beschreiben Wellenbewegungen und basieren auf dem Einheitskreis.

Transformationen: Amplitude, Periode und Verschiebung

Die Standardfunktionen $\sin(x)$ und $\cos(x)$ sind nur der Anfang. In der Praxis begegnen dir oft veränderte Varianten. Die allgemeine Form lautet:

$f(x) = a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$

Jeder Parameter verändert den Graphen auf eine bestimmte Weise:

Der Parameter $a$ – die Amplitude

Der Faktor $a$ vor der Sinusfunktion streckt oder staucht den Graphen in $y$-Richtung. Der Betrag $|a|$ heisst Amplitude. Er gibt an, wie weit der Graph vom Mittelwert nach oben und unten ausschlägt.

• Bei $a = 2$ schwankt der Graph zwischen $-2$ und $2$.
• Bei $a = 0{,}5$ schwankt er nur zwischen $-0{,}5$ und $0{,}5$.
• Bei $a < 0$ wird der Graph zusätzlich an der $x$-Achse gespiegelt.

Der Parameter $b$ – die Periode

Der Faktor $b$ im Argument verändert die Periode der Funktion. Die neue Periode berechnet sich als:

$T = \frac{2\pi}{|b|}$

• Bei $b = 2$ beträgt die Periode nur noch $\pi$. Der Graph schwingt doppelt so schnell.
• Bei $b = 0{,}5$ beträgt die Periode $4\pi$. Der Graph schwingt langsamer.

Der Parameter $c$ – die horizontale Verschiebung

Der Wert $c$ verschiebt den Graphen entlang der $x$-Achse.

• Bei $c > 0$ verschiebt sich der Graph nach rechts.
• Bei $c < 0$ verschiebt sich der Graph nach links.

Diese Verschiebung heisst auch Phasenverschiebung.

Der Parameter $d$ – die vertikale Verschiebung

Der Summand $d$ verschiebt den gesamten Graphen nach oben oder unten. Die Mittellinie liegt dann nicht mehr bei $y = 0$, sondern bei $y = d$.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Grad und Bogenmass verwechseln Der Taschenrechner muss auf das richtige Winkelmass eingestellt sein. Wenn du $\sin(90)$ eingibst und $0{,}894$ erhältst, ist der Rechner auf Bogenmass eingestellt. Im Gradmodus wäre das Ergebnis $1$. Überprüfe immer die Einstellung (DEG für Grad, RAD für Bogenmass).

Fehler 2: Vorzeichen bei Transformationen vergessen Bei $f(x) = \sin(x - 2)$ verschiebt sich der Graph nach rechts, nicht nach links. Das Minuszeichen im Argument wirkt “umgekehrt”. Merke dir: $(x - c)$ bedeutet Verschiebung um $c$ nach rechts.

Fehler 3: Periode falsch berechnen Die Periode ist $\frac{2\pi}{|b|}$, nicht $\frac{2\pi}{b}$ oder $2\pi \cdot b$. Bei $f(x) = \sin(3x)$ ist die Periode $\frac{2\pi}{3}$, nicht $6\pi$.

Beispiele

Beispiel 1: Funktionswerte berechnen

Aufgabe: Berechne $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$ und $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

Lösung:

Diese Werte gehören zu den Standardwinkeln, die du auswendig kennen solltest.

Der Winkel $\frac{\pi}{6}$ entspricht $30°$. Aus dem Einheitskreis oder dem gleichseitigen Dreieck folgt:

$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

Der Winkel $\frac{\pi}{3}$ entspricht $60°$. Hier gilt:

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

Wichtige Standardwerte zum Merken:

Winkel	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$

Beispiel 2: Eigenschaften einer transformierten Funktion bestimmen

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion $f(x) = 3 \cdot \sin(2x) + 1$. Bestimme Amplitude, Periode, Wertebereich und Mittellinie.

Lösung:

Wir vergleichen mit der allgemeinen Form $f(x) = a \cdot \sin(b \cdot (x - c)) + d$:

• $a = 3$
• $b = 2$
• $c = 0$
• $d = 1$

Amplitude:

$|a| = |3| = 3$

Der Graph schwingt um $3$ Einheiten nach oben und unten von der Mittellinie aus.

Periode:

$T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$

Eine vollständige Schwingung dauert $\pi$ Einheiten.

Mittellinie:

$y = d = 1$

Die Mittellinie liegt bei $y = 1$.

Wertebereich:

Der Graph schwankt um die Mittellinie ($y = 1$) mit Amplitude $3$:

• Maximum: $1 + 3 = 4$
• Minimum: $1 - 3 = -2$

$\text{Wertebereich} = [-2, 4]$

Beispiel 3: Gleichung einer Sinusfunktion aufstellen

Aufgabe: Eine Sinusfunktion hat folgende Eigenschaften:

• Amplitude: $2$
• Periode: $4\pi$
• Mittellinie: $y = -1$
• Der Graph beginnt bei $x = 0$ in der Mittellinie und steigt zunächst an.

Stelle die Funktionsgleichung auf.

Lösung:

Schritt 1: Amplitude bestimmen

Die Amplitude ist $2$, also $a = 2$.

Schritt 2: Parameter $b$ aus der Periode berechnen

$T = \frac{2\pi}{|b|} = 4\pi$

Wir lösen nach $b$ auf:

$|b| = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$

Also $b = \frac{1}{2}$ (positiv, da keine Spiegelung erwähnt).

Schritt 3: Vertikale Verschiebung

Die Mittellinie liegt bei $y = -1$, also $d = -1$.

Schritt 4: Horizontale Verschiebung prüfen

Der Graph beginnt bei $x = 0$ in der Mittellinie und steigt an. Das entspricht genau dem Verhalten der Standardsinusfunktion. Also $c = 0$.

Ergebnis:

$f(x) = 2 \cdot \sin\left(\frac{1}{2}x\right) - 1$

Beispiel 4: Anwendung – Tageslänge modellieren

Aufgabe: Die Tageslänge in einer Stadt schwankt im Laufe des Jahres zwischen $8$ Stunden (kürzester Tag) und $16$ Stunden (längster Tag). Am 21. März beträgt die Tageslänge $12$ Stunden und nimmt zu. Modelliere die Tageslänge $L(t)$ als Kosinusfunktion, wobei $t$ die Anzahl der Tage seit dem 1. Januar ist.

Lösung:

Schritt 1: Amplitude und Mittellinie

• Maximum: $16$ Stunden
• Minimum: $8$ Stunden
• Mittellinie: $\frac{16 + 8}{2} = 12$ Stunden
• Amplitude: $\frac{16 - 8}{2} = 4$ Stunden

Schritt 2: Periode

Ein Jahr hat $365$ Tage. Also $T = 365$.

$b = \frac{2\pi}{365}$

Schritt 3: Phasenverschiebung

Am 21. März ($t = 80$) liegt die Tageslänge bei $12$ Stunden (Mittellinie) und steigt. Bei einer Kosinusfunktion ist der Wert an der Mittellinie, wenn das Argument $\frac{\pi}{2}$ oder $\frac{3\pi}{2}$ beträgt.

Da die Tageslänge steigt, muss die Kosinusfunktion von unten durch die Mittellinie gehen. Das passiert bei $\frac{3\pi}{2}$ (Kosinus steigt danach).

Wir setzen an:

$\frac{2\pi}{365} \cdot (80 - c) = \frac{3\pi}{2}$

$80 - c = \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{365}{2\pi} = \frac{3 \cdot 365}{4} = 273{,}75$

$c = 80 - 273{,}75 = -193{,}75$

Ergebnis:

$L(t) = 4 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{365} \cdot (t + 193{,}75)\right) + 12$

Oder alternativ mit Sinus (da $\cos(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})$) lässt sich das Modell anpassen. Die Kosinusform zeigt, wie reale Phänomene durch trigonometrische Funktionen beschrieben werden.

Das Wichtigste in Kürze

• Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen mit Periode $2\pi$ und Wertebereich $[-1, 1]$.
• Der Einheitskreis ist die geometrische Grundlage: $\cos(\alpha)$ ist die $x$-Koordinate, $\sin(\alpha)$ die $y$-Koordinate eines Punktes auf dem Kreis.
• Die allgemeine Form $f(x) = a \cdot \sin(b(x-c)) + d$ beschreibt Transformationen: $|a|$ ist die Amplitude, $\frac{2\pi}{|b|}$ die Periode, $c$ die horizontale und $d$ die vertikale Verschiebung.
• Symmetrie: Sinus ist punktsymmetrisch (ungerade Funktion), Kosinus ist achsensymmetrisch (gerade Funktion).
• Standardwerte für Winkel wie $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$ solltest du auswendig kennen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Welchen Wertebereich hat die Funktion $f(x) = 2\sin(x) - 3$?

Lösung anzeigen

Die Standardsinusfunktion hat den Wertebereich $[-1, 1]$.

Multiplizieren mit $2$ ergibt: $[-2, 2]$.

Subtrahieren von $3$ verschiebt den Bereich nach unten: $[-2 - 3, 2 - 3] = [-5, -1]$.

Antwort: Der Wertebereich ist $[-5, -1]$.

❓ Frage: Bestimme die Periode der Funktion $g(x) = \cos(4x)$.

Lösung anzeigen

Die Periode berechnet sich mit der Formel $T = \frac{2\pi}{|b|}$.

Hier ist $b = 4$.

$T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

Antwort: Die Periode beträgt $\frac{\pi}{2}$.

❓ Frage: Ist die Funktion $h(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)$ eine gerade, ungerade oder keine von beiden Funktionen?

Lösung anzeigen

Wir prüfen $h(-x)$:

$h(-x) = \sin(-x) \cdot \cos(-x) = (-\sin(x)) \cdot \cos(x) = -\sin(x) \cdot \cos(x) = -h(x)$

Da $h(-x) = -h(x)$ gilt, ist $h$ eine ungerade Funktion (punktsymmetrisch zum Ursprung).

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Mit Sinus und Kosinus hast du zwei fundamentale Funktionen kennengelernt, die in der Mathematik und den Naturwissenschaften eine zentrale Rolle spielen. Im weiteren Verlauf wirst du die Tangensfunktion kennenlernen, die als Quotient $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ definiert ist. Ausserdem warten trigonometrische Gleichungen auf dich, bei denen du Gleichungen wie $\sin(x) = 0{,}5$ lösen musst. Diese Fähigkeiten sind die Grundlage für die Analysis in der Oberstufe, wo du lernst, Sinus- und Kosinusfunktionen abzuleiten und zu integrieren.