Potenzfunktionen mit negativen Exponenten: So meisterst du 1/x und Co.

Stell dir vor, du planst eine Autofahrt von Zürich nach Bern – etwa 120 Kilometer. Wenn du mit 60 km/h fährst, brauchst du 2 Stunden. Fährst du doppelt so schnell, also mit 120 km/h, brauchst du nur noch 1 Stunde. Verdreifachst du die Geschwindigkeit auf 180 km/h, bist du in nur 40 Minuten am Ziel. Je schneller du fährst, desto kürzer wird die Fahrzeit – aber nicht gleichmässig, sondern auf eine ganz besondere Art. Diese Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Zeit beschreibt die Mathematik mit sogenannten Potenzfunktionen mit negativen Exponenten. Sie sind überall in deinem Alltag versteckt: von der Helligkeit einer Lampe bis zur Lautstärke von Musik.

Von der Autofahrt zur mathematischen Funktion

Kehren wir zur Autofahrt zurück. Die Formel für die Fahrzeit lautet:

$t = \frac{s}{v}$

Dabei ist $t$ die Zeit, $s$ die Strecke und $v$ die Geschwindigkeit. Wenn die Strecke feststeht (zum Beispiel $s = 120 \, \text{km}$), dann gilt:

$t = \frac{120}{v}$

Das kannst du auch anders schreiben:

$t = 120 \cdot \frac{1}{v} = 120 \cdot v^{-1}$

Hier taucht er auf: der negative Exponent. Die Variable $v$ steht im Nenner, und das drücken wir mathematisch durch $v^{-1}$ aus. Diese Schreibweise ist der Schlüssel zu einem ganzen Funktionstyp.

Was bedeutet ein negativer Exponent?

Bevor wir uns die Funktionen anschauen, klären wir die Grundlage. Ein negativer Exponent bedeutet nichts anderes als “eins durch”:

$x^{-n} = \frac{1}{x^n}$

Das gilt für alle natürlichen Zahlen $n$ und alle $x \neq 0$. Hier einige Beispiele:

• $x^{-1} = \frac{1}{x}$
• $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$
• $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$

DEFINITION

Eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten hat die Form $f(x) = x^{-n}$ oder gleichwertig $f(x) = \frac{1}{x^n}$, wobei $n$ eine positive ganze Zahl ist. Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, da Division durch Null nicht erlaubt ist. Diese Funktionen beschreiben Zusammenhänge, bei denen eine Grösse abnimmt, wenn eine andere zunimmt.

Die Graphen: Hyperbeln und ihre Verwandten

Lass uns die wichtigsten Vertreter dieser Funktionsfamilie kennenlernen. Wir unterscheiden zwischen ungeraden und geraden negativen Exponenten, denn sie verhalten sich grundlegend verschieden.

Ungerade negative Exponenten: $f(x) = x^{-1}$ und $f(x) = x^{-3}$

Beginnen wir mit der einfachsten Funktion: $f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Erstellen wir eine Wertetabelle:

$x$	$-4$	$-2$	$-1$	$-0.5$	$0.5$	$1$	$2$	$4$
$f(x)$	$-0.25$	$-0.5$	$-1$	$-2$	$2$	$1$	$0.5$	$0.25$

Was fällt auf? Für negative $x$-Werte sind die Funktionswerte negativ, für positive $x$-Werte sind sie positiv. Der Graph liegt in zwei gegenüberliegenden Quadranten und bildet eine Hyperbel.

Eigenschaften von $f(x) = x^{-1}$:

• Punktsymmetrie zum Ursprung $(0|0)$
• Zwei Asymptoten: die $x$-Achse (waagerecht) und die $y$-Achse (senkrecht)
• Keine Nullstellen
• Streng monoton fallend in jedem Ast

Für $f(x) = x^{-3}$ gelten dieselben Symmetrieeigenschaften. Der Graph fällt jedoch steiler ab und nähert sich schneller den Achsen.

Gerade negative Exponenten: $f(x) = x^{-2}$ und $f(x) = x^{-4}$

Jetzt betrachten wir $f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Wertetabelle:

$x$	$-4$	$-2$	$-1$	$-0.5$	$0.5$	$1$	$2$	$4$
$f(x)$	$0.0625$	$0.25$	$1$	$4$	$4$	$1$	$0.25$	$0.0625$

Der entscheidende Unterschied: Alle Funktionswerte sind positiv! Das liegt daran, dass jede Zahl zum Quadrat positiv wird – egal ob du mit einer positiven oder negativen Zahl startest.

Eigenschaften von $f(x) = x^{-2}$:

• Achsensymmetrie zur $y$-Achse
• Zwei Asymptoten: die $x$-Achse und die $y$-Achse
• Keine Nullstellen
• Der Graph liegt komplett oberhalb der $x$-Achse

Die Asymptoten verstehen

Das Wort “Asymptote” kommt aus dem Griechischen und bedeutet “nicht zusammenfallend”. Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph beliebig nah annähert, ohne sie je zu berühren.

Bei Potenzfunktionen mit negativen Exponenten gibt es immer zwei Asymptoten:

Die senkrechte Asymptote ($y$-Achse): Wenn $x$ sich der Null nähert, werden die Funktionswerte betragsmässig immer grösser. Bei $f(x) = \frac{1}{x}$ gilt: $f(0.001) = 1000$ und $f(0.0001) = 10000$. Der Graph “explodiert” nach oben oder unten.

Die waagerechte Asymptote ($x$-Achse): Wenn $|x|$ immer grösser wird, nähern sich die Funktionswerte der Null an. Bei $f(x) = \frac{1}{x}$ gilt: $f(1000) = 0.001$ und $f(10000) = 0.0001$. Der Graph “kriecht” immer näher an die $x$-Achse heran.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Division durch Null vergessen Viele Schüler setzen $x = 0$ in $f(x) = x^{-2}$ ein und wundern sich über das Ergebnis. Merke: Bei Potenzfunktionen mit negativen Exponenten ist $x = 0$ niemals im Definitionsbereich. Schreibe immer $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Fehler 2: Vorzeichen bei ungeraden Exponenten verwechseln Bei $f(x) = x^{-3}$ gilt $f(-2) = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$. Das Minuszeichen bleibt erhalten! Rechne immer zuerst die Potenz aus, dann den Bruch.

Fehler 3: Symmetrie falsch bestimmen Ungerade Exponenten → Punktsymmetrie zum Ursprung. Gerade Exponenten → Achsensymmetrie zur $y$-Achse. Verwechsle das nicht! Tipp: Setze testweise $-x$ ein und prüfe, ob $f(-x) = f(x)$ (achsensymmetrisch) oder $f(-x) = -f(x)$ (punktsymmetrisch) gilt.

Beispiele

Beispiel 1: Wertetabelle und Graph von f(x) = x^(-1)

Aufgabe: Erstelle eine Wertetabelle für $f(x) = x^{-1}$ und skizziere den Graphen.

Schritt 1: Wähle sinnvolle $x$-Werte (sowohl positive als auch negative).

Schritt 2: Berechne die Funktionswerte.

Für $x = 2$: $f(2) = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0.5$

Für $x = -3$: $f(-3) = (-3)^{-1} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \approx -0.33$

Für $x = 0.25$: $f(0.25) = (0.25)^{-1} = \frac{1}{0.25} = 4$

Schritt 3: Erstelle die vollständige Tabelle.

$x$	$-3$	$-1$	$-0.5$	$0.5$	$1$	$3$
$f(x)$	$-0.33$	$-1$	$-2$	$2$	$1$	$0.33$

Schritt 4: Der Graph ist eine Hyperbel mit zwei Ästen im 1. und 3. Quadranten.

Beispiel 2: Funktionswerte bei geradem negativem Exponenten

Aufgabe: Berechne $f(-3)$ und $f(3)$ für $f(x) = x^{-4}$ und erkläre das Ergebnis.

Lösung:

Für $x = 3$: $f(3) = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$

Für $x = -3$: $f(-3) = (-3)^{-4} = \frac{1}{(-3)^4} = \frac{1}{81}$

Erklärung: Beide Werte sind gleich! Das liegt daran, dass $(-3)^4 = 81$ und $3^4 = 81$. Bei geraden Exponenten “verschwindet” das Minuszeichen. Deshalb ist $f(x) = x^{-4}$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse: $f(-x) = f(x)$ für alle $x$.

Beispiel 3: Anwendung – Beleuchtungsstärke

Aufgabe: Die Beleuchtungsstärke $E$ einer Punktlichtquelle nimmt mit dem Quadrat der Entfernung $r$ ab. Es gilt $E(r) = \frac{k}{r^2}$ mit einer Konstante $k$. In 2 Metern Entfernung beträgt die Beleuchtungsstärke 100 Lux. Wie gross ist sie in 4 Metern Entfernung?

Schritt 1: Bestimme die Konstante $k$.

Gegeben: $E(2) = 100$, also: $100 = \frac{k}{2^2} = \frac{k}{4}$

Daraus folgt: $k = 400$

Schritt 2: Die Funktion lautet $E(r) = \frac{400}{r^2} = 400 \cdot r^{-2}$.

Schritt 3: Berechne $E(4)$. $E(4) = \frac{400}{4^2} = \frac{400}{16} = 25$

Antwort: In 4 Metern Entfernung beträgt die Beleuchtungsstärke 25 Lux. Sie hat sich auf ein Viertel reduziert, obwohl sich die Entfernung nur verdoppelt hat. Das ist typisch für Funktionen mit $r^{-2}$!

Beispiel 4: Symmetrie nachweisen

Aufgabe: Weise rechnerisch nach, dass $f(x) = x^{-3}$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Lösung:

Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt: $f(-x) = -f(x)$.

Schritt 1: Berechne $f(-x)$. $f(-x) = (-x)^{-3} = \frac{1}{(-x)^3} = \frac{1}{-x^3} = -\frac{1}{x^3}$

Schritt 2: Berechne $-f(x)$. $-f(x) = -x^{-3} = -\frac{1}{x^3}$

Schritt 3: Vergleiche. $f(-x) = -\frac{1}{x^3} = -f(x) \quad \checkmark$

Die Bedingung ist erfüllt. Also ist $f(x) = x^{-3}$ punktsymmetrisch zum Ursprung.

Das Wichtigste in Kürze

• Potenzfunktionen mit negativen Exponenten haben die Form $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ und sind für $x = 0$ nicht definiert.
• Ungerade negative Exponenten ($-1, -3, -5, ...$) erzeugen punktsymmetrische Graphen (Hyperbeln durch den 1. und 3. Quadranten).
• Gerade negative Exponenten ($-2, -4, -6, ...$) erzeugen achsensymmetrische Graphen (Hyperbeln komplett oberhalb der $x$-Achse).
• Beide Achsen sind Asymptoten: Der Graph nähert sich ihnen beliebig an, berührt sie aber nie.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Welchen Definitionsbereich hat die Funktion $f(x) = x^{-5}$?

Lösung anzeigen

Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, also alle reellen Zahlen ausser Null. Bei $x = 0$ wäre der Nenner Null, was nicht erlaubt ist.

❓ Frage: Ist die Funktion $f(x) = x^{-6}$ achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch? Begründe kurz.

Lösung anzeigen

Die Funktion $f(x) = x^{-6}$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Der Exponent $-6$ ist gerade, deshalb gilt $(-x)^{-6} = x^{-6}$, also $f(-x) = f(x)$.

❓ Frage: Berechne: $f(-2)$ für $f(x) = x^{-3}$.

Lösung anzeigen

$f(-2) = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8} = -0.125$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt Potenzfunktionen mit ganzzahligen negativen Exponenten kennengelernt. Der nächste logische Schritt führt zu rationalen Exponenten – also Brüchen wie $\frac{1}{2}$ oder $\frac{2}{3}$ als Exponenten. Damit kannst du Funktionen wie $f(x) = x^{0.5} = \sqrt{x}$ beschreiben und verstehen. Später wirst du all diese Funktionstypen zu einer grossen Familie zusammenfassen: den Potenz- und Wurzelfunktionen. Diese bilden die Grundlage für viele Anwendungen in Physik, Wirtschaft und Technik.