Logarithmusfunktionen einfach erklärt: So verstehst du den Umkehrmechanismus der Exponentialfunktion

Stell dir vor, du bist Detektiv und musst herausfinden, wie lange ein Bakterienstamm gewachsen ist. Du weisst nur: Am Ende sind es 8000 Bakterien, und die Population verdoppelt sich jede Stunde. Gestartet wurde mit 1000 Bakterien. Die Frage lautet also: “2 hoch wie viel ergibt 8?”

Genau diese Frage – “hoch wie viel?” – beantwortet der Logarithmus. Er ist das Werkzeug, mit dem du Exponenten aufspüren kannst. In diesem Kapitel lernst du, wie Logarithmusfunktionen funktionieren, welche Eigenschaften sie haben und wie du sie sicher anwendest.

Der Logarithmus als Umkehrung der Potenz

Erinnere dich an die Exponentialfunktion. Bei ihr fragst du: “Was ergibt $2^3$?” Die Antwort ist 8.

Der Logarithmus dreht diese Frage um: “2 hoch welche Zahl ergibt 8?” Die Antwort ist 3.

Mathematisch schreibst du das so:

$2^3 = 8 \quad \Leftrightarrow \quad \log_2(8) = 3$

Der kleine Index 2 heisst Basis. Er zeigt an, mit welcher Zahl potenziert wird. Die 8 ist das Argument oder der Numerus. Das Ergebnis 3 ist der Exponent, den du suchst.

DEFINITION

Der Logarithmus zur Basis $b$ einer Zahl $x$ ist derjenige Exponent, mit dem du $b$ potenzieren musst, um $x$ zu erhalten:

$\log_b(x) = y \quad \Leftrightarrow \quad b^y = x$

Dabei gilt: Die Basis $b$ muss positiv sein und darf nicht 1 sein ($b > 0$, $b \neq 1$). Das Argument $x$ muss positiv sein ($x > 0$).

Die Logarithmusfunktion als Graph

Die allgemeine Logarithmusfunktion hat die Form:

$f(x) = \log_b(x)$

Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion $g(x) = b^x$. Das bedeutet: Wenn du den Graphen von $g(x) = b^x$ an der Winkelhalbierenden $y = x$ spiegelst, erhältst du den Graphen von $f(x) = \log_b(x)$.

Eigenschaften des Graphen

Der Graph einer Logarithmusfunktion mit Basis $b > 1$ hat diese charakteristischen Merkmale:

• Definitionsbereich: Nur positive $x$-Werte sind erlaubt. Der Graph existiert nur rechts der $y$-Achse.
• Wertebereich: Alle reellen Zahlen. Der Graph erstreckt sich von minus unendlich bis plus unendlich.
• Nullstelle: Der Graph schneidet die $x$-Achse immer bei $x = 1$, denn $\log_b(1) = 0$.
• Asymptote: Die $y$-Achse ist eine senkrechte Asymptote. Der Graph nähert sich ihr, berührt sie aber nie.
• Monotonie: Für $b > 1$ ist die Funktion streng monoton steigend.

Für Basen $0 < b < 1$ ist der Graph streng monoton fallend. Diese Variante begegnet dir seltener.

Besondere Logarithmen mit eigenen Namen

Drei Logarithmen sind so wichtig, dass sie eigene Bezeichnungen haben:

Der Zehnerlogarithmus hat die Basis 10. Du schreibst ihn oft ohne Basisangabe:

$\log(x) = \log_{10}(x)$

Er ist praktisch für Berechnungen im Dezimalsystem. Auf dem Taschenrechner findest du ihn als “log”-Taste.

Der natürliche Logarithmus hat die Basis $e \approx 2{,}71828$. Du schreibst ihn als:

$\ln(x) = \log_e(x)$

Die Eulersche Zahl $e$ ist eine mathematische Konstante mit besonderen Eigenschaften. Der natürliche Logarithmus spielt in der Analysis eine zentrale Rolle. Auf dem Taschenrechner findest du ihn als “ln”-Taste.

Der Zweierlogarithmus hat die Basis 2:

$\log_2(x)$

Er ist wichtig in der Informatik, weil Computer im Binärsystem arbeiten.

Die Rechenregeln für Logarithmen

Logarithmen folgen besonderen Rechenregeln. Diese Regeln leiten sich direkt aus den Potenzgesetzen ab.

Produktregel

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen:

$\log_b(u \cdot v) = \log_b(u) + \log_b(v)$

Diese Regel macht das Multiplizieren zum Addieren. Historisch war das der Hauptgrund für die Erfindung der Logarithmen.

Quotientenregel

Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz der Logarithmen:

$\log_b\left(\frac{u}{v}\right) = \log_b(u) - \log_b(v)$

Das Dividieren wird zum Subtrahieren.

Potenzregel

Der Logarithmus einer Potenz holt den Exponenten nach vorne:

$\log_b(u^n) = n \cdot \log_b(u)$

Diese Regel ist besonders nützlich, um Exponentialgleichungen zu lösen.

Basiswechsel

Du kannst jeden Logarithmus in einen anderen umrechnen:

$\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$

Mit dieser Formel rechnest du Logarithmen zu beliebigen Basen mit deinem Taschenrechner aus, der nur $\log$ und $\ln$ kennt.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest:

1. Summen auseinanderziehen: $\log_b(u + v) \neq \log_b(u) + \log_b(v)$. Die Summe im Argument lässt sich NICHT trennen. Die Produktregel gilt nur für Produkte!

2. Negative Argumente verwenden: $\log_b(-5)$ existiert nicht. Das Argument muss immer positiv sein. Prüfe bei Gleichungen, ob deine Lösung ein positives Argument ergibt.

3. Basis und Argument verwechseln: Bei $\log_2(8) = 3$ ist 2 die Basis und 8 das Argument. Die Frage lautet “2 hoch 3 ergibt 8”, nicht “8 hoch 3”.

4. Logarithmus von 1 vergessen: $\log_b(1) = 0$ für jede erlaubte Basis. Das ist ein wichtiger Spezialfall.

Beispiele

Beispiel 1: Logarithmen direkt berechnen

Berechne $\log_3(81)$ ohne Taschenrechner.

Schritt 1: Stelle die Frage um. Du suchst: “3 hoch wie viel ergibt 81?”

Schritt 2: Zerlege 81 in Dreierpotenzen.

$81 = 3 \cdot 27 = 3 \cdot 3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$

Schritt 3: Lies den Exponenten ab.

$\log_3(81) = 4$

Probe: $3^4 = 81$ ✓

Beispiel 2: Rechenregeln anwenden

Vereinfache $\log_2(32) + \log_2(4) - \log_2(8)$.

Schritt 1: Wende die Produktregel auf die ersten beiden Terme an.

$\log_2(32) + \log_2(4) = \log_2(32 \cdot 4) = \log_2(128)$

Schritt 2: Wende die Quotientenregel an.

$\log_2(128) - \log_2(8) = \log_2\left(\frac{128}{8}\right) = \log_2(16)$

Schritt 3: Berechne das Ergebnis.

$\log_2(16) = 4$

Ergebnis: Der Ausdruck hat den Wert 4.

Beispiel 3: Eine Exponentialgleichung lösen

Löse die Gleichung $5^x = 200$.

Schritt 1: Logarithmiere beide Seiten. Verwende den Zehnerlogarithmus.

$\log(5^x) = \log(200)$

Schritt 2: Wende die Potenzregel an, um $x$ nach vorne zu holen.

$x \cdot \log(5) = \log(200)$

Schritt 3: Löse nach $x$ auf.

$x = \frac{\log(200)}{\log(5)}$

Schritt 4: Berechne mit dem Taschenrechner.

$x = \frac{2{,}301...}{0{,}699...} \approx 3{,}29$

Ergebnis: $x \approx 3{,}29$

Probe: $5^{3{,}29} \approx 199{,}5 \approx 200$ ✓

Beispiel 4: Anwendung – Zerfallsprozess

Ein radioaktives Präparat zerfällt nach der Formel $N(t) = N_0 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{T}}$, wobei $T$ die Halbwertszeit ist. Nach welcher Zeit sind nur noch 10% der ursprünglichen Menge vorhanden, wenn $T = 8$ Jahre?

Schritt 1: Setze die Bedingung auf. 10% der Anfangsmenge bedeutet $N(t) = 0{,}1 \cdot N_0$.

$0{,}1 \cdot N_0 = N_0 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{8}}$

Schritt 2: Kürze $N_0$ auf beiden Seiten.

$0{,}1 = 0{,}5^{\frac{t}{8}}$

Schritt 3: Logarithmiere beide Seiten.

$\log(0{,}1) = \frac{t}{8} \cdot \log(0{,}5)$

Schritt 4: Löse nach $t$ auf.

$t = \frac{8 \cdot \log(0{,}1)}{\log(0{,}5)}$

Schritt 5: Berechne mit dem Taschenrechner.

$t = \frac{8 \cdot (-1)}{-0{,}301} \approx 26{,}6$

Ergebnis: Nach etwa 26,6 Jahren sind nur noch 10% der ursprünglichen Menge vorhanden.

Das Wichtigste in Kürze

• Der Logarithmus $\log_b(x)$ beantwortet die Frage: ”$b$ hoch wie viel ergibt $x$?”
• Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
• Das Argument muss immer positiv sein. Die Nullstelle liegt bei $x = 1$.
• Die drei wichtigsten Rechenregeln lauten: Produkt wird zur Summe, Quotient zur Differenz, Exponent zum Faktor.
• Mit Logarithmen löst du Exponentialgleichungen, indem du den Exponenten “herunterholst”.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Berechne $\log_5(125)$ ohne Taschenrechner.

Lösung anzeigen

Die Frage lautet: “5 hoch wie viel ergibt 125?”

Da $5^3 = 125$, ist $\log_5(125) = 3$.

❓ Frage: Vereinfache mit Hilfe der Logarithmenregeln: $\log_3(9) + \log_3(3)$

Lösung anzeigen

Wende die Produktregel an:

$\log_3(9) + \log_3(3) = \log_3(9 \cdot 3) = \log_3(27)$

Da $3^3 = 27$, ist das Ergebnis $\log_3(27) = 3$.

❓ Frage: Warum ist $\log_4(-16)$ nicht definiert?

Lösung anzeigen

Das Argument eines Logarithmus muss immer positiv sein. Es gibt keine Zahl $y$, für die $4^y = -16$ gilt, denn Potenzen mit positiver Basis ergeben immer positive Werte. Daher ist $\log_4(-16)$ nicht definiert.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Nachdem du die Logarithmusfunktion kennengelernt hast, folgt als nächstes Thema häufig die Exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen. Dort lernst du systematisch, wie du Gleichungen löst, in denen die Unbekannte im Exponenten oder im Argument eines Logarithmus steht.

Später in der Analysis wirst du die Ableitung der Logarithmusfunktion kennenlernen. Der natürliche Logarithmus $\ln(x)$ spielt dabei eine Sonderrolle, weil seine Ableitung besonders elegant ist: $\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}$.

Auch in der Physik, Chemie und Biologie begegnen dir Logarithmen ständig – bei der pH-Wert-Berechnung, der Beschreibung von Erdbebenstärken auf der Richterskala oder beim exponentiellen Wachstum und Zerfall.