Lineare Funktionen einfach erklärt: Geraden verstehen und zeichnen

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad eine schnurgerade Strasse entlang. Mit jedem Kilometer, den du zurücklegst, steigt dein Tacho gleichmässig an. Fährst du bergauf, wird es anstrengender – die Strasse hat eine Steigung. Je steiler der Hang, desto mehr musst du in die Pedale treten. Genau dieses Prinzip der gleichmässigen Veränderung ist der Kern einer linearen Funktion. Sie beschreibt Zusammenhänge, bei denen sich eine Grösse immer um denselben Betrag ändert, wenn sich eine andere Grösse um eins erhöht. In diesem Kapitel lernst du, wie du solche Zusammenhänge mit einer Formel beschreibst, als Gerade zeichnest und typische Aufgaben dazu löst.

Von der Fahrradtour zur Geradengleichung

Bleiben wir bei der Fahrradtour. Du startest morgens um 8 Uhr und fährst konstant mit $15 \, \text{km/h}$. Wie weit bist du nach einer Stunde? Nach zwei Stunden? Nach drei Stunden?

Zeit $t$ (in Stunden)	Zurückgelegte Strecke $s$ (in km)
0	0
1	15
2	30
3	45
4	60

Du erkennst das Muster: Mit jeder zusätzlichen Stunde kommen genau $15 \, \text{km}$ dazu. Diesen gleichmässigen Zuwachs nennen wir in der Mathematik die Steigung. Die Beziehung zwischen Zeit und Strecke lässt sich als Formel schreiben:

$$s = 15 \cdot t$$

Trägst du diese Werte in ein Koordinatensystem ein und verbindest die Punkte, erhältst du eine Gerade. Diese Gerade startet im Ursprung $(0|0)$, weil du zum Zeitpunkt $t = 0$ noch keine Strecke zurückgelegt hast.

Jetzt wird es interessanter: Was passiert, wenn du nicht bei Kilometer 0 startest, sondern bereits $10 \, \text{km}$ von zu Hause entfernt bist? Dann sieht die Tabelle so aus:

Zeit $t$ (in Stunden)	Entfernung von zu Hause $s$ (in km)
0	10
1	25
2	40
3	55

Die Steigung bleibt gleich – immer noch $15 \, \text{km}$ pro Stunde. Aber der Startpunkt hat sich verschoben. Die Formel lautet jetzt:

$$s = 15 \cdot t + 10$$

Diese Zahl $10$ ist der y-Achsenabschnitt – der Wert, bei dem die Gerade die senkrechte Achse schneidet.

Die allgemeine Form der linearen Funktion

Jede lineare Funktion lässt sich in einer bestimmten Form schreiben. Diese Form ist dein wichtigstes Werkzeug, um mit Geraden zu arbeiten.

DEFINITION

Eine lineare Funktion hat die allgemeine Form:

$$f(x) = m \cdot x + q$$

Dabei bedeuten:

• $m$ ist die Steigung. Sie gibt an, um wie viel der $y$-Wert steigt (oder fällt), wenn $x$ um $1$ zunimmt.
• $q$ ist der y-Achsenabschnitt. Er gibt an, wo die Gerade die $y$-Achse schneidet, also den Funktionswert bei $x = 0$.

Das Schaubild einer linearen Funktion ist immer eine Gerade.

Die Steigung verstehen und berechnen

Die Steigung $m$ ist das Herzstück jeder linearen Funktion. Sie beschreibt, wie steil eine Gerade verläuft.

Positive Steigung ($m > 0$): Die Gerade steigt von links nach rechts an. Je grösser $m$, desto steiler der Anstieg.

Negative Steigung ($m < 0$): Die Gerade fällt von links nach rechts ab. Je kleiner $m$ (also je negativer), desto steiler der Abstieg.

Steigung null ($m = 0$): Die Gerade verläuft horizontal, also parallel zur $x$-Achse.

Die Steigung aus zwei Punkten berechnen

Wenn du zwei Punkte $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ auf einer Geraden kennst, berechnest du die Steigung mit dem Steigungsdreieck:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Die Steigung gibt also das Verhältnis von vertikaler Änderung ($\Delta y$) zu horizontaler Änderung ($\Delta x$) an.

So merkst du es dir: Die Steigung beantwortet die Frage: “Wenn ich einen Schritt nach rechts gehe, wie viele Schritte gehe ich dann nach oben (oder unten)?”

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Steigung und y-Achsenabschnitt verwechseln

Bei $f(x) = 3x + 5$ ist $m = 3$ die Steigung und $q = 5$ der y-Achsenabschnitt. Merke: Die Zahl vor dem $x$ ist die Steigung, die Zahl ohne $x$ ist der y-Achsenabschnitt.

Fehler 2: Bei der Steigungsberechnung Zähler und Nenner vertauschen

Die Steigung ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, nicht $\frac{\Delta x}{\Delta y}$. Eselsbrücke: “y durch x” – zuerst kommt der Buchstabe, der weiter hinten im Alphabet steht.

Fehler 3: Vorzeichen ignorieren

Bei $f(x) = -2x + 4$ ist die Steigung $m = -2$, nicht $2$. Das Minuszeichen gehört zur Steigung und zeigt an, dass die Gerade fällt.

Fehler 4: Den Faktor 1 vergessen

Bei $f(x) = x + 3$ ist die Steigung $m = 1$, denn $x$ bedeutet $1 \cdot x$. Bei $f(x) = -x + 7$ ist die Steigung $m = -1$.

Beispiele

Beispiel 1: Steigung und y-Achsenabschnitt ablesen

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 4x - 3$.

Aufgabe: Bestimme Steigung und y-Achsenabschnitt.

Lösung:

Wir vergleichen mit der allgemeinen Form $f(x) = m \cdot x + q$.

Die Zahl vor dem $x$ ist die Steigung:

$$m = 4$$

Die Zahl ohne $x$ ist der y-Achsenabschnitt:

$$q = -3$$

Interpretation: Die Gerade steigt (weil $m > 0$). Wenn $x$ um $1$ zunimmt, steigt $y$ um $4$. Die Gerade schneidet die $y$-Achse bei $-3$, also im Punkt $(0|-3)$.

Beispiel 2: Funktionsgleichung aus Steigung und Punkt aufstellen

Eine Gerade hat die Steigung $m = -2$ und verläuft durch den Punkt $P(3|5)$.

Aufgabe: Bestimme die Funktionsgleichung.

Lösung:

Wir setzen die bekannten Werte in die allgemeine Form ein:

$$f(x) = m \cdot x + q$$$$f(x) = -2 \cdot x + q$$

Da der Punkt $P(3|5)$ auf der Geraden liegt, gilt $f(3) = 5$. Wir setzen ein:

$$5 = -2 \cdot 3 + q$$$$5 = -6 + q$$$$q = 11$$

Die Funktionsgleichung lautet:

$$f(x) = -2x + 11$$

Probe: $f(3) = -2 \cdot 3 + 11 = -6 + 11 = 5$ ✓

Beispiel 3: Funktionsgleichung aus zwei Punkten bestimmen

Eine Gerade verläuft durch die Punkte $A(1|4)$ und $B(4|13)$.

Aufgabe: Bestimme die Funktionsgleichung.

Lösung:

Schritt 1: Steigung berechnen

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{13 - 4}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$$

Schritt 2: y-Achsenabschnitt berechnen

Wir setzen die Steigung und einen der Punkte (z.B. $A$) in die allgemeine Form ein:

$$4 = 3 \cdot 1 + q$$$$4 = 3 + q$$$$q = 1$$

Schritt 3: Funktionsgleichung aufstellen

$$f(x) = 3x + 1$$

Probe mit Punkt B: $f(4) = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13$ ✓

Beispiel 4: Nullstelle einer linearen Funktion berechnen

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 2x - 8$.

Aufgabe: Berechne die Nullstelle.

Lösung:

Die Nullstelle ist der $x$-Wert, bei dem der Funktionswert gleich null ist. Wir setzen $f(x) = 0$:

$$0 = 2x - 8$$$$8 = 2x$$$$x = 4$$

Die Nullstelle liegt bei $x = 4$. Die Gerade schneidet die $x$-Achse im Punkt $(4|0)$.

Beispiel 5: Anwendungsaufgabe – Handytarif

Ein Mobilfunkanbieter berechnet monatlich eine Grundgebühr von CHF 12 plus CHF 0.05 pro verbrauchtem MB Datenvolumen.

Aufgabe: a) Stelle die Kostenfunktion auf. b) Wie hoch sind die Kosten bei 500 MB Verbrauch? c) Bei welchem Verbrauch betragen die Kosten CHF 32?

Lösung:

a) Die Kosten $K$ in CHF in Abhängigkeit vom Datenvolumen $x$ in MB:

$$K(x) = 0.05 \cdot x + 12$$

b) Wir setzen $x = 500$ ein:

$$K(500) = 0.05 \cdot 500 + 12 = 25 + 12 = 37$$

Bei 500 MB betragen die Kosten CHF 37.

c) Wir setzen $K(x) = 32$ und lösen nach $x$ auf:

$$32 = 0.05 \cdot x + 12$$$$20 = 0.05 \cdot x$$$$x = \frac{20}{0.05} = 400$$

Bei 400 MB Verbrauch betragen die Kosten CHF 32.

Das Wichtigste in Kürze

• Eine lineare Funktion hat die Form $f(x) = m \cdot x + q$, wobei $m$ die Steigung und $q$ der y-Achsenabschnitt ist.
• Die Steigung $m$ gibt an, um wie viel sich $y$ ändert, wenn $x$ um $1$ zunimmt. Positive Steigung bedeutet Anstieg, negative Steigung bedeutet Abfall.
• Der y-Achsenabschnitt $q$ ist der Funktionswert bei $x = 0$ und gibt an, wo die Gerade die $y$-Achse schneidet.
• Die Steigung aus zwei Punkten berechnest du mit $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
• Das Schaubild einer linearen Funktion ist immer eine Gerade.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Die Funktion $f(x) = -3x + 7$ hat die Steigung $m =$ _____ und den y-Achsenabschnitt $q =$ _____.

Lösung anzeigen

Die Steigung ist $m = -3$ und der y-Achsenabschnitt ist $q = 7$.

Bei der allgemeinen Form $f(x) = m \cdot x + q$ steht die Steigung vor dem $x$ (mit Vorzeichen!) und der y-Achsenabschnitt ist die Zahl ohne $x$.

❓ Frage: Eine Gerade verläuft durch die Punkte $P(2|1)$ und $Q(5|10)$. Wie gross ist die Steigung?

Lösung anzeigen

$$m = \frac{10 - 1}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3$$

Die Steigung beträgt $m = 3$. Das bedeutet: Wenn $x$ um $1$ zunimmt, steigt $y$ um $3$.

❓ Frage: Welche der folgenden Funktionen stellt eine fallende Gerade dar?

A) $f(x) = 2x + 5$

B) $f(x) = -0.5x + 3$

C) $f(x) = 4 + x$

D) $f(x) = 7$

Lösung anzeigen

Richtig ist B) $f(x) = -0.5x + 3$

Eine Gerade fällt genau dann, wenn die Steigung negativ ist ($m < 0$).

• A) $m = 2 > 0$ → steigt
• B) $m = -0.5 < 0$ → fällt ✓
• C) $m = 1 > 0$ → steigt (Beachte: $4 + x = x + 4$, also $m = 1$)
• D) $m = 0$ → horizontal (weder steigend noch fallend)

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du beherrschst jetzt die Grundlagen der linearen Funktionen. Im nächsten Schritt wirst du lernen, wie sich zwei Geraden zueinander verhalten können: Sie können sich schneiden, parallel verlaufen oder sogar identisch sein. Dabei wirst du lineare Gleichungssysteme kennenlernen – ein mächtiges Werkzeug, um den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen. Ausserdem erwarten dich bald auch andere Funktionstypen wie quadratische Funktionen, deren Schaubilder keine Geraden, sondern Parabeln sind. Die lineare Funktion ist dafür das perfekte Fundament.