Kubische Funktionen einfach erklärt: So verstehst du Funktionen dritten Grades

Stell dir vor, du beobachtest einen Wasserstrahl aus einem Gartenschlauch. Wenn du den Schlauch langsam nach oben richtest, steigt der Strahl erst gemächlich, dann immer schneller – und wenn er zu fallen beginnt, wird er wieder langsamer. Diese wellenartige Bewegung, dieses Auf und Ab mit wechselnden Geschwindigkeiten, ist typisch für viele Vorgänge in der Natur. In der Mathematik beschreiben wir solche Phänomene mit kubischen Funktionen. Diese Funktionen haben eine besondere Eigenschaft: Ihr Graph kann sich winden und schlängeln wie eine Achterbahn. Das macht sie spannender als lineare oder quadratische Funktionen – aber auch etwas anspruchsvoller.

Von der Achterbahn zur Mathematik

Erinnerst du dich an den Wasserstrahl? Oder denk an eine Achterbahn: Sie startet langsam, beschleunigt, hat Hoch- und Tiefpunkte und ändert ständig ihre Richtung. Genau dieses Verhalten können wir mathematisch beschreiben.

Bei linearen Funktionen hast du eine gleichmässige Steigung – wie eine Rolltreppe. Bei quadratischen Funktionen gibt es genau einen Scheitelpunkt – wie ein Ball, der hochgeworfen wird und wieder fällt. Kubische Funktionen gehen einen Schritt weiter: Sie können ihre Krümmungsrichtung ändern. Das bedeutet, der Graph kann von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergehen.

Diese Flexibilität macht kubische Funktionen zu einem mächtigen Werkzeug. Sie beschreiben zum Beispiel:

• Wie sich Populationen unter bestimmten Bedingungen entwickeln
• Das Volumen eines Würfels in Abhängigkeit von seiner Kantenlänge
• Bewegungsabläufe in der Physik mit wechselnder Beschleunigung

Was ist eine kubische Funktion?

Eine kubische Funktion ist eine Polynomfunktion, bei der die höchste Potenz der Variablen $x$ gleich drei ist. Das Wort “kubisch” kommt vom lateinischen “cubus” für Würfel – und tatsächlich begegnet uns $x^3$ beim Berechnen von Würfelvolumen.

Die allgemeine Form lautet:

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Dabei sind $a$, $b$, $c$ und $d$ reelle Zahlen, wobei $a \neq 0$ sein muss. Wäre $a = 0$, hätten wir keine kubische Funktion mehr, sondern eine quadratische oder niedrigere.

DEFINITION

Eine kubische Funktion hat die Form $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ mit $a \neq 0$. Der Parameter $a$ bestimmt die Öffnungsrichtung und Streckung, $b$ beeinflusst die Symmetrie, $c$ die Steigung im Ursprung und $d$ die Verschiebung entlang der $y$-Achse. Der Graph einer kubischen Funktion heisst kubische Parabel.

Die Bedeutung der Parameter

Schauen wir uns die einzelnen Parameter genauer an:

Der Parameter $a$:

• Ist $a > 0$, verläuft der Graph von links unten nach rechts oben.
• Ist $a < 0$, verläuft er von links oben nach rechts unten.
• Je grösser $|a|$, desto steiler ist der Graph.
• Je kleiner $|a|$, desto flacher ist er.

Der Parameter $d$:

• Er verschiebt den Graphen entlang der $y$-Achse.
• Der Wert $d$ ist der $y$-Achsenabschnitt, also $f(0) = d$.

Die Parameter $b$ und $c$:

• Sie beeinflussen die Form und Lage der Wendepunkte und Extremstellen.
• Ihre Wirkung ist komplexer und wird erst bei der Kurvendiskussion vollständig klar.

Die einfachste kubische Funktion: $f(x) = x^3$

Bevor wir uns kompliziertere kubische Funktionen anschauen, untersuchen wir die Normalparabel dritten Grades:

$f(x) = x^3$

Diese Funktion hat besondere Eigenschaften:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$-27$	$-8$	$-1$	$0$	$1$	$8$	$27$

Der Graph verläuft durch den Ursprung $(0|0)$ und ist punktsymmetrisch zu diesem Punkt. Das bedeutet: Wenn du den Graphen um 180° um den Ursprung drehst, sieht er genauso aus wie vorher.

Mathematisch drückt sich das so aus:

$f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$

Funktionen mit dieser Eigenschaft nennt man ungerade Funktionen.

Verhalten für grosse und kleine $x$-Werte

Was passiert, wenn $x$ sehr gross oder sehr klein wird?

• Für $x \to +\infty$ gilt $f(x) \to +\infty$.
• Für $x \to -\infty$ gilt $f(x) \to -\infty$.

Der Graph “verschwindet” also nach rechts oben und nach links unten ins Unendliche. Bei $a < 0$ ist es genau umgekehrt.

Nullstellen kubischer Funktionen

Eine wichtige Frage bei jeder Funktion: Wo schneidet der Graph die $x$-Achse? Diese Stellen heissen Nullstellen.

Bei einer kubischen Funktion $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ gilt:

• Es gibt mindestens eine und höchstens drei reelle Nullstellen.
• Die Anzahl hängt von den konkreten Parametern ab.

Warum mindestens eine? Der Graph kommt von $-\infty$ und geht nach $+\infty$ (oder umgekehrt). Irgendwo muss er die $x$-Achse kreuzen – das ist mathematisch unvermeidlich.

Nullstellen durch Ausklammern finden

Die einfachste Methode, Nullstellen zu finden, ist das Ausklammern. Das funktioniert, wenn $d = 0$ ist.

Betrachte $f(x) = x^3 - 4x$. Wir setzen $f(x) = 0$:

$x^3 - 4x = 0$

$x \cdot \left(x^2 - 4\right) = 0$

$x \cdot (x - 2) \cdot (x + 2) = 0$

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist das Produkt null, wenn mindestens ein Faktor null ist:

$x_1 = 0, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = -2$

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Vorzeichenfehler bei negativen Basen Viele Schüler berechnen $(-2)^3$ falsch als $8$ statt $-8$. Denk daran: Eine ungerade Potenz einer negativen Zahl ist immer negativ. Tipp: Schreibe $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$.

Fehler 2: Verwechslung mit quadratischen Funktionen Die Formel $ax^3 + bx^2 + cx + d$ sieht der quadratischen Funktion ähnlich. Achte genau auf den höchsten Exponenten! Bei kubischen Funktionen ist es die 3, nicht die 2.

Fehler 3: Vergessen der Mindest-Nullstelle Manche denken, kubische Funktionen könnten keine Nullstelle haben, wie manche Parabeln. Das stimmt nicht! Jede kubische Funktion hat mindestens eine reelle Nullstelle – der Graph muss die $x$-Achse irgendwo schneiden.

Beispiele

Beispiel 1: Funktionswerte berechnen

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 2x^3 - 3x + 1$. Berechne $f(2)$ und $f(-1)$.

Lösung für $f(2)$:

$f(2) = 2 \cdot 2^3 - 3 \cdot 2 + 1$

$f(2) = 2 \cdot 8 - 6 + 1$

$f(2) = 16 - 6 + 1$

$f(2) = 11$

Lösung für $f(-1)$:

$f(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - 3 \cdot (-1) + 1$

$f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 + 1$

$f(-1) = -2 + 3 + 1$

$f(-1) = 2$

Beispiel 2: Nullstellen durch Ausklammern bestimmen

Bestimme alle Nullstellen von $f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x$.

Schritt 1: Wir klammern $x$ aus.

$x^3 + 2x^2 - 3x = 0$

$x \cdot \left(x^2 + 2x - 3\right) = 0$

Schritt 2: Der erste Faktor liefert $x_1 = 0$.

Schritt 3: Für den zweiten Faktor lösen wir die quadratische Gleichung $x^2 + 2x - 3 = 0$ mit der Lösungsformel:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$

$x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$

$x_3 = \frac{-2 - 4}{2} = -3$

Ergebnis: Die Funktion hat drei Nullstellen bei $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ und $x_3 = -3$.

Beispiel 3: Graph einer kubischen Funktion skizzieren

Skizziere den Graphen von $f(x) = -x^3 + 4x$.

Schritt 1: Nullstellen bestimmen.

$-x^3 + 4x = 0$

$x \cdot \left(-x^2 + 4\right) = 0$

$x \cdot (2 - x) \cdot (2 + x) = 0$

Nullstellen: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Schritt 2: Verhalten für grosse $|x|$.

Da $a = -1 < 0$, verläuft der Graph von links oben nach rechts unten.

Schritt 3: Wertetabelle für zusätzliche Punkte.

$x$	$-3$	$-1$	$1$	$3$
$f(x)$	$15$	$-3$	$3$	$-15$

Schritt 4: Punkte verbinden und Graph skizzieren.

Der Graph schneidet die $x$-Achse bei $-2$, $0$ und $2$. Er hat einen Hochpunkt zwischen $-2$ und $0$ sowie einen Tiefpunkt zwischen $0$ und $2$. Die S-Form ist typisch für kubische Funktionen.

Beispiel 4: Anwendungsaufgabe – Volumen eines Würfels

Ein Würfel hat die Kantenlänge $x$ in cm. Sein Volumen beträgt $V(x) = x^3$ in cm³.

a) Wie gross ist das Volumen bei einer Kantenlänge von $5 \, \text{cm}$?

b) Bei welcher Kantenlänge beträgt das Volumen $64 \, \text{cm}^3$?

Lösung a):

$V(5) = 5^3 = 125 \, \text{cm}^3$

Lösung b):

Wir lösen $x^3 = 64$.

$x = \sqrt[3]{64} = 4$

Die Kantenlänge beträgt $4 \, \text{cm}$.

Das Wichtigste in Kürze

• Eine kubische Funktion hat die Form $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ mit $a \neq 0$.
• Der Parameter $a$ bestimmt, ob der Graph von links unten nach rechts oben ($a > 0$) oder von links oben nach rechts unten ($a < 0$) verläuft.
• Jede kubische Funktion hat mindestens eine und höchstens drei reelle Nullstellen.
• Die Normalform $f(x) = x^3$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung und heisst ungerade Funktion.
• Nullstellen findest du durch Ausklammern und anschliessendes Lösen der quadratischen Restgleichung.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Wie viele reelle Nullstellen hat eine kubische Funktion mindestens?

Lösung anzeigen

Eine kubische Funktion hat mindestens eine reelle Nullstelle. Das liegt daran, dass der Graph von $-\infty$ nach $+\infty$ verläuft (oder umgekehrt) und dabei zwingend die $x$-Achse schneiden muss.

❓ Frage: Berechne: $(-3)^3 = \, ?$

Lösung anzeigen

$(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$. Merke: Eine ungerade Potenz einer negativen Zahl ergibt immer ein negatives Ergebnis.

❓ Frage: Die Funktion $f(x) = 2x^3 - 8x$ hat eine Nullstelle bei $x = 0$. Bestimme die anderen beiden Nullstellen.

Lösung anzeigen

Wir klammern aus: $2x^3 - 8x = 2x \cdot (x^2 - 4) = 2x \cdot (x-2) \cdot (x+2) = 0$. Die Nullstellen sind $x_1 = 0$, $x_2 = 2$ und $x_3 = -2$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt die Grundlagen kubischer Funktionen kennengelernt. Im nächsten Schritt wirst du die Kurvendiskussion vertiefen. Dabei lernst du, wie man mit Ableitungen die genauen Hoch-, Tief- und Wendepunkte kubischer Funktionen berechnet. Diese Fähigkeit ist zentral für die Analysis und wird dir helfen, das Verhalten von Funktionen noch präziser zu beschreiben.

Ausserdem wirst du bald Polynomfunktionen höheren Grades kennenlernen – also Funktionen mit $x^4$, $x^5$ und so weiter. Die Prinzipien, die du bei kubischen Funktionen gelernt hast, bilden dafür die perfekte Grundlage. Besonders das Ausklammern und Faktorisieren wird dir immer wieder begegnen und nützlich sein.