Kreisgleichung einfach erklärt: So beschreibst du jeden Kreis mathematisch

Stell dir vor, du stehst in der Mitte eines grossen Platzes und hältst ein Seil in der Hand. Am anderen Ende des Seils ist ein Stück Kreide befestigt. Wenn du das Seil straff hältst und dich einmal um deine eigene Achse drehst, zeichnet die Kreide einen perfekten Kreis auf den Boden. Der Punkt, an dem du stehst, ist der Mittelpunkt. Die Länge des Seils bestimmt, wie gross der Kreis wird.

Genau dieses einfache Prinzip – ein fester Mittelpunkt und ein konstanter Abstand – ist der Schlüssel zur Kreisgleichung. Mit ihr kannst du jeden Kreis in einem Koordinatensystem exakt beschreiben und berechnen. Das ist nicht nur in der Mathematik nützlich, sondern auch in der Physik, Technik und sogar bei der Programmierung von Computerspielen.

Vom Seil zum Koordinatensystem

Erinnern wir uns an das Seilexperiment: Du stehst an einem festen Punkt, und jeder Punkt auf dem Kreis hat denselben Abstand zu dir. In der Mathematik nennen wir diesen festen Punkt den Mittelpunkt $M$ und den konstanten Abstand den Radius $r$.

Jetzt übertragen wir das Ganze in ein Koordinatensystem. Dein Standpunkt wird zu einem Punkt mit Koordinaten, zum Beispiel $M(3|2)$. Das bedeutet, du stehst 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben vom Ursprung entfernt.

Die entscheidende Frage lautet: Wie können wir alle Punkte beschreiben, die genau $r$ Einheiten von $M$ entfernt sind?

Hier kommt ein alter Bekannter ins Spiel: der Satz des Pythagoras. Wenn wir einen beliebigen Punkt $P(x|y)$ auf dem Kreis betrachten, können wir den Abstand zum Mittelpunkt $M(m_x|m_y)$ berechnen. Wir bilden ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Katheten die horizontale Differenz $(x - m_x)$ und die vertikale Differenz $(y - m_y)$ sind.

Die Kreisgleichung – dein mathematisches Werkzeug

Der Satz des Pythagoras liefert uns den Abstand zwischen zwei Punkten. Da alle Punkte auf dem Kreis den Abstand $r$ zum Mittelpunkt haben, erhalten wir die Kreisgleichung.

So leitest du die Formel ab:

1. Abstandsformel aufstellen: Der Abstand vom Punkt $P(x|y)$ zum Mittelpunkt $M(m_x|m_y)$ beträgt nach Pythagoras: $d = \sqrt{(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2}$

2. Abstand gleich Radius setzen: Da alle Punkte auf dem Kreis den Abstand $r$ haben: $\sqrt{(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2} = r$

3. Quadrieren: Um die Wurzel loszuwerden, quadrieren wir beide Seiten: $(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$

DEFINITION

Ein Kreis mit Mittelpunkt $M(m_x|m_y)$ und Radius $r$ wird durch folgende Gleichung beschrieben:

$(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$

Dabei gilt:

• $x$ und $y$ sind die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreis
• $m_x$ ist die x-Koordinate des Mittelpunkts
• $m_y$ ist die y-Koordinate des Mittelpunkts
• $r$ ist der Radius (immer positiv)

Sonderfall: Liegt der Mittelpunkt im Ursprung $M(0|0)$, vereinfacht sich die Gleichung zu: $x^2 + y^2 = r^2$

Die allgemeine Kreisgleichung

Manchmal begegnet dir die Kreisgleichung in einer anderen Form. Wenn du die Mittelpunktsform ausmultiplizierst und umformst, erhältst du die allgemeine Form:

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

Diese Form sieht komplizierter aus, taucht aber in Prüfungen häufig auf. Du musst dann die Gleichung in die Mittelpunktsform zurückführen, um Mittelpunkt und Radius zu erkennen. Dafür brauchst du die quadratische Ergänzung – eine Technik, die du vermutlich schon bei quadratischen Funktionen kennengelernt hast.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Vorzeichen verwechseln

In der Gleichung $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ ist der Mittelpunkt $M(3|-2)$, nicht $M(-3|2)$. Merke: Was in der Klammer steht, wird mit umgekehrtem Vorzeichen zur Koordinate. Bei $(x - 3)$ ist $m_x = +3$, bei $(y + 2) = (y - (-2))$ ist $m_y = -2$.

Fehler 2: Radius mit $r^2$ verwechseln

Steht auf der rechten Seite eine $16$, dann ist $r^2 = 16$ und somit $r = 4$. Der Radius ist nicht 16! Ziehe immer die Wurzel.

Fehler 3: Negative Wurzel vergessen

Der Radius $r$ ist per Definition immer positiv. Auch wenn $r^2 = 25$ die Lösungen $r = 5$ und $r = -5$ hätte, gilt nur $r = 5$.

Beispiele

Beispiel 1: Kreisgleichung aufstellen

Aufgabe: Stelle die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt $M(2|5)$ und Radius $r = 3$ auf.

Lösung:

Wir setzen die gegebenen Werte in die Mittelpunktsform ein:

• $m_x = 2$
• $m_y = 5$
• $r = 3$

$(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 3^2$

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 9$

Ergebnis: Die Kreisgleichung lautet $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 9$.

Beispiel 2: Mittelpunkt und Radius ablesen

Aufgabe: Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 49$.

Lösung:

Wir vergleichen mit der allgemeinen Form $(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$:

Für die x-Koordinate: $(x + 4) = (x - (-4))$, also $m_x = -4$

Für die y-Koordinate: $(y - 1)$, also $m_y = 1$

Für den Radius: $r^2 = 49$, also $r = \sqrt{49} = 7$

Ergebnis: Der Mittelpunkt ist $M(-4|1)$ und der Radius beträgt $r = 7$.

Beispiel 3: Prüfen, ob ein Punkt auf dem Kreis liegt

Aufgabe: Liegt der Punkt $P(5|7)$ auf dem Kreis mit der Gleichung $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$?

Lösung:

Wir setzen die Koordinaten von $P$ in die Kreisgleichung ein:

$(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2 = ?$

$(3)^2 + (4)^2 = ?$

$9 + 16 = 25$

Das Ergebnis $25$ stimmt mit der rechten Seite der Gleichung überein.

Ergebnis: Ja, der Punkt $P(5|7)$ liegt auf dem Kreis.

Beispiel 4: Von der allgemeinen Form zur Mittelpunktsform

Aufgabe: Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$.

Lösung:

Wir müssen die quadratische Ergänzung anwenden.

Schritt 1: Gleichung umordnen und Terme gruppieren: $x^2 - 6x + y^2 + 4y = 12$

Schritt 2: Quadratische Ergänzung für $x$: $x^2 - 6x$ wird zu $(x - 3)^2 - 9$ (Wir addieren und subtrahieren $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$)

Schritt 3: Quadratische Ergänzung für $y$: $y^2 + 4y$ wird zu $(y + 2)^2 - 4$ (Wir addieren und subtrahieren $\left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$)

Schritt 4: Einsetzen und vereinfachen: $(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 = 12$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 12 + 9 + 4$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Schritt 5: Ablesen:

• Mittelpunkt: $M(3|-2)$
• Radius: $r = \sqrt{25} = 5$

Ergebnis: Der Kreis hat den Mittelpunkt $M(3|-2)$ und den Radius $r = 5$.

Beispiel 5: Kreisgleichung aus drei Punkten bestimmen

Aufgabe: Bestimme die Gleichung des Kreises, der durch die Punkte $A(1|0)$, $B(5|0)$ und $C(3|2)$ verläuft.

Lösung:

Jeder Punkt muss die Kreisgleichung $(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$ erfüllen.

Schritt 1: Wir setzen jeden Punkt ein und erhalten drei Gleichungen:

Für $A(1|0)$: $(1 - m_x)^2 + (0 - m_y)^2 = r^2$

Für $B(5|0)$: $(5 - m_x)^2 + (0 - m_y)^2 = r^2$

Für $C(3|2)$: $(3 - m_x)^2 + (2 - m_y)^2 = r^2$

Schritt 2: Gleichung 1 und 2 gleichsetzen (beide gleich $r^2$): $(1 - m_x)^2 + m_y^2 = (5 - m_x)^2 + m_y^2$

$(1 - m_x)^2 = (5 - m_x)^2$

$1 - 2m_x + m_x^2 = 25 - 10m_x + m_x^2$

$1 - 2m_x = 25 - 10m_x$

$8m_x = 24$

$m_x = 3$

Schritt 3: Gleichung 1 und 3 gleichsetzen mit $m_x = 3$: $(1 - 3)^2 + m_y^2 = (3 - 3)^2 + (2 - m_y)^2$

$4 + m_y^2 = 0 + 4 - 4m_y + m_y^2$

$4 = 4 - 4m_y$

$m_y = 0$

Schritt 4: Radius berechnen mit Punkt $A$: $r^2 = (1 - 3)^2 + (0 - 0)^2 = 4 + 0 = 4$

$r = 2$

Ergebnis: Die Kreisgleichung lautet $(x - 3)^2 + y^2 = 4$.

Das Wichtigste in Kürze

• Definition: Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die denselben Abstand (Radius) zu einem festen Punkt (Mittelpunkt) haben.

• Mittelpunktsform: $(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2$ mit Mittelpunkt $M(m_x|m_y)$ und Radius $r$.

• Vorzeichen beachten: Die Koordinaten des Mittelpunkts haben das umgekehrte Vorzeichen dessen, was in der Klammer steht.

• Radius richtig bestimmen: Auf der rechten Seite steht $r^2$, nicht $r$. Ziehe die Wurzel, um den Radius zu erhalten.

• Punkt auf Kreis prüfen: Setze die Koordinaten ein. Ergibt sich eine wahre Aussage, liegt der Punkt auf dem Kreis.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Kreis hat den Mittelpunkt $M(0|4)$ und den Radius $r = 6$. Wie lautet seine Gleichung?

Lösung anzeigen

Die Kreisgleichung lautet $x^2 + (y - 4)^2 = 36$.

Erklärung: Mit $m_x = 0$, $m_y = 4$ und $r = 6$ ergibt sich: $(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = 6^2$, also $x^2 + (y - 4)^2 = 36$.

❓ Frage: Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises $(x + 1)^2 + (y - 7)^2 = 100$.

Lösung anzeigen

Der Mittelpunkt ist $M(-1|7)$ und der Radius ist $r = 10$.

Erklärung:

• $(x + 1) = (x - (-1))$, also $m_x = -1$
• $(y - 7)$ liefert $m_y = 7$
• $r^2 = 100$, also $r = 10$

❓ Frage: Liegt der Punkt $P(4|3)$ innerhalb, auf oder ausserhalb des Kreises $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 9$?

Lösung anzeigen

Der Punkt $P(4|3)$ liegt ausserhalb des Kreises.

Erklärung: Wir berechnen $(4 - 1)^2 + (3 - 1)^2 = 9 + 4 = 13$.

Da $13 > 9 = r^2$, ist der Abstand zum Mittelpunkt grösser als der Radius. Der Punkt liegt ausserhalb des Kreises.

Merke: Ist das Ergebnis kleiner als $r^2$, liegt der Punkt innerhalb. Ist es gleich, liegt er auf dem Kreis.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Werkzeug, um Kreise im Koordinatensystem vollständig zu beschreiben. Als Nächstes wirst du lernen, wie Kreise mit anderen geometrischen Objekten interagieren. Besonders spannend sind die Schnittpunkte von Kreisen mit Geraden – die sogenannten Sekanten, Tangenten und Passanten. Dabei wirst du Gleichungssysteme lösen, um herauszufinden, wo sich ein Kreis und eine Gerade treffen.

Ausserdem begegnen dir Kreise später in der Trigonometrie, wo der Einheitskreis (Mittelpunkt im Ursprung, Radius 1) eine zentrale Rolle spielt. Mit ihm lassen sich Sinus und Kosinus geometrisch verstehen. Die Kreisgleichung ist also nicht nur ein isoliertes Thema, sondern ein Fundament für viele weitere mathematische Konzepte.