Hyperbelfunktion einfach erklärt: So verstehst du die besondere Kurve

Stell dir vor, du teilst eine Pizza unter immer mehr Freunden auf. Wenn du allein bist, bekommst du alles. Zu zweit bekommt jeder die Hälfte. Zu viert nur noch ein Viertel. Je mehr Leute am Tisch sitzen, desto kleiner wird dein Stück. Aber egal wie viele kommen: Dein Stück wird nie komplett verschwinden. Es wird nur immer kleiner und kleiner, nähert sich der Null, erreicht sie aber nie.

Dieses Prinzip beschreibt eine faszinierende mathematische Kurve: die Hyperbel. Sie taucht überall auf, von der Physik bis zur Wirtschaft. In diesem Artikel lernst du, wie diese spezielle Funktion aufgebaut ist, welche besonderen Eigenschaften sie hat und wie du sie sicher zeichnen und analysieren kannst.

Von der Pizza zur Mathematik: Die Grundidee

Kehren wir zur Pizza zurück. Du hast eine ganze Pizza, die du aufteilen möchtest. Die Gesamtmenge bleibt immer gleich, sagen wir $12$ Stücke. Die Frage ist: Wie viele Stücke bekommt jede Person?

Das lässt sich perfekt in eine Tabelle übersetzen:

Anzahl Personen $x$	Stücke pro Person $y$
$1$	$12$
$2$	$6$
$3$	$4$
$4$	$3$
$6$	$2$
$12$	$1$

Erkennst du das Muster? Je grösser $x$ wird, desto kleiner wird $y$ . Das Produkt $x \cdot y$ bleibt aber immer gleich: $12$ . Wir können das als Gleichung schreiben:

x \cdot y = 12

Wenn wir diese Gleichung nach $y$ auflösen, erhalten wir:

y = \frac{12}{x}

Genau das ist eine Hyperbelfunktion. Der Zähler $12$ ist dabei ein fester Wert, der Parameter $k$ .

Die Hyperbelfunktion: Aufbau und Funktionsgleichung

Die allgemeine Form der Hyperbelfunktion lautet:

DEFINITION

Eine Hyperbelfunktion hat die Form:

f(x) = \frac{k}{x}

Dabei ist $k$ eine Konstante, die nicht Null sein darf. Die Funktion ist für alle $x \neq 0$ definiert. Der Graph dieser Funktion heisst Hyperbel.

Der Parameter $k$ bestimmt das Aussehen der Hyperbel:

Wenn $k > 0$ (positiv): Die Hyperbel liegt im ersten und dritten Quadranten des Koordinatensystems.
Wenn $k < 0$ (negativ): Die Hyperbel liegt im zweiten und vierten Quadranten.
Je grösser $|k|$ : Desto weiter entfernt sich die Kurve vom Ursprung.

Die Asymptoten: Die unsichtbaren Grenzen

Das Besondere an der Hyperbel sind ihre Asymptoten. Das sind Geraden, denen sich die Kurve beliebig nah annähert, sie aber niemals berührt oder schneidet.

Die Hyperbelfunktion $f(x) = \frac{k}{x}$ hat zwei Asymptoten:

Die waagerechte Asymptote (horizontale Asymptote): Für sehr grosse oder sehr kleine $x$ -Werte nähert sich $f(x)$ der Null an:

\lim_{x \to \infty} \frac{k}{x} = 0 \quad \text{und} \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{k}{x} = 0

Die $x$ -Achse, also $y = 0$ , ist die waagerechte Asymptote.

Die senkrechte Asymptote (vertikale Asymptote): Für $x$ -Werte nahe Null wird $f(x)$ betragsmässig immer grösser:

\lim_{x \to 0^+} \frac{k}{x} = +\infty \quad \text{(für } k > 0\text{)}

Die $y$ -Achse, also $x = 0$ , ist die senkrechte Asymptote.

DEFINITION

Die Standardhyperbel $f(x) = \frac{k}{x}$ hat zwei Asymptoten:

Die $x$ -Achse ( $y = 0$ ) als waagerechte Asymptote
Die $y$ -Achse ( $x = 0$ ) als senkrechte Asymptote

Die Kurve nähert sich diesen Geraden beliebig nah an, erreicht sie aber nie.

Eigenschaften der Hyperbelfunktion

Die Hyperbelfunktion hat einige wichtige Eigenschaften, die du kennen solltest:

1. Definitionsbereich: Die Funktion ist für alle reellen Zahlen ausser Null definiert:

D = \mathbb{R} \setminus \{0\} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0\}

2. Wertebereich: Die Funktion nimmt alle reellen Werte ausser Null an:

W = \mathbb{R} \setminus \{0\} = \{y \in \mathbb{R} \mid y \neq 0\}

3. Symmetrie: Die Hyperbel ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Das bedeutet: Wenn du einen Punkt $(x, y)$ auf der Kurve um den Ursprung spiegelst, liegt der gespiegelte Punkt $(-x, -y)$ ebenfalls auf der Kurve.

Mathematisch prüfst du das so:

f(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x} = -f(x)

4. Monotonie:

Für $k > 0$ : Die Funktion ist streng monoton fallend auf beiden Ästen.
Für $k < 0$ : Die Funktion ist streng monoton steigend auf beiden Ästen.

5. Keine Nullstellen: Die Hyperbel hat keine Schnittpunkte mit der $x$ -Achse, da $\frac{k}{x} = 0$ keine Lösung hat (für $k \neq 0$ ).

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Vergessen, dass $x = 0$ nicht erlaubt ist Viele Schüler setzen unbedacht $x = 0$ ein und wundern sich über das Ergebnis. Merke: Division durch Null ist nicht definiert. Bei $x = 0$ existiert kein Funktionswert.

Fehler 2: Die beiden Äste verbinden Die Hyperbel besteht aus zwei getrennten Kurventeilen (Ästen). Diese dürfen beim Zeichnen nicht verbunden werden. Sie liegen in verschiedenen Quadranten und nähern sich nur den Asymptoten.

Fehler 3: Asymptoten als Teil des Graphen betrachten Die Asymptoten sind Hilfslinien, keine Teile der Hyperbel. Die Kurve berührt diese Linien nie. Zeichne die Asymptoten gestrichelt ein, um sie vom eigentlichen Graphen zu unterscheiden.

Fehler 4: Vorzeichen von $k$ ignorieren Das Vorzeichen von $k$ bestimmt, in welchen Quadranten die Hyperbel liegt. Ein positives $k$ ergibt einen anderen Graphen als ein negatives $k$ .

So zeichnest du eine Hyperbel

Um eine Hyperbel korrekt zu zeichnen, gehst du systematisch vor:

Asymptoten einzeichnen: Zeichne die $x$ -Achse und die $y$ -Achse gestrichelt ein. Das sind deine Leitlinien.
Vorzeichen prüfen: Ist $k > 0$ ? Dann liegt die Hyperbel im ersten und dritten Quadranten. Ist $k < 0$ ? Dann im zweiten und vierten Quadranten.
Wertetabelle erstellen: Berechne mindestens 5-6 Punkte für jeden Ast. Wähle sowohl kleine als auch grosse $x$ -Werte.
Punkte einzeichnen und verbinden: Verbinde die Punkte mit einer glatten Kurve. Achte darauf, dass sich die Kurve den Asymptoten annähert.

Beispiele

Beispiel 1: Grundlegende Hyperbel zeichnen

Aufgabe: Zeichne den Graphen der Funktion $f(x) = \frac{6}{x}$ .

Lösung:

Schritt 1: Asymptoten bestimmen

Waagerechte Asymptote: $y = 0$ (die $x$ -Achse)
Senkrechte Asymptote: $x = 0$ (die $y$ -Achse)

Schritt 2: Vorzeichen prüfen Da $k = 6 > 0$ , liegt die Hyperbel im ersten und dritten Quadranten.

Schritt 3: Wertetabelle erstellen

$x$	$f(x) = \frac{6}{x}$
$1$	$6$
$2$	$3$
$3$	$2$
$6$	$1$
$-1$	$-6$
$-2$	$-3$
$-3$	$-2$
$-6$	$-1$

Schritt 4: Punkte einzeichnen und mit einer glatten Kurve verbinden.

Die Hyperbel besteht aus zwei Ästen: einem im ersten Quadranten (rechts oben) und einem im dritten Quadranten (links unten).

Beispiel 2: Funktionswert und Stelle berechnen

Aufgabe: Gegeben ist $f(x) = \frac{-8}{x}$ .

a) Berechne $f(4)$ . b) Für welchen $x$ -Wert gilt $f(x) = 2$ ?

Lösung:

a) Funktionswert berechnen: Wir setzen $x = 4$ in die Funktionsgleichung ein:

f(4) = \frac{-8}{4} = -2

Der Funktionswert an der Stelle $x = 4$ ist $-2$ .

b) Stelle berechnen: Wir setzen $f(x) = 2$ und lösen nach $x$ auf:

2 = \frac{-8}{x}

Multiplizieren mit $x$ :

2x = -8

Dividieren durch $2$ :

x = -4

Für $x = -4$ nimmt die Funktion den Wert $2$ an.

Beispiel 3: Anwendung in der Physik

Aufgabe: Das Ohmsche Gesetz besagt $U = R \cdot I$ , wobei $U$ die Spannung in Volt, $R$ der Widerstand in Ohm und $I$ die Stromstärke in Ampere ist. Bei einer konstanten Spannung von $U = 12 \, \text{V}$ gilt:

I = \frac{12}{R}

a) Wie gross ist die Stromstärke bei einem Widerstand von $R = 4 \, \Omega$ ? b) Welchen Widerstand benötigt man für eine Stromstärke von $I = 0{,}5 \, \text{A}$ ? c) Was passiert mit der Stromstärke, wenn der Widerstand verdoppelt wird?

Lösung:

a) Stromstärke berechnen:

I = \frac{12}{4} = 3 \, \text{A}

Die Stromstärke beträgt $3$ Ampere.

b) Widerstand berechnen: Wir setzen $I = 0{,}5$ ein und lösen nach $R$ auf:

0{,}5 = \frac{12}{R}

R = \frac{12}{0{,}5} = 24 \, \Omega

Man benötigt einen Widerstand von $24$ Ohm.

c) Verdopplung des Widerstands: Wenn $R$ verdoppelt wird, steht im Nenner der doppelte Wert. Das bedeutet:

I_{\text{neu}} = \frac{12}{2R} = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{R} = \frac{1}{2} \cdot I_{\text{alt}}

Die Stromstärke halbiert sich. Das ist typisch für die Hyperbelfunktion: Verdoppelt man den Nenner, halbiert sich der Funktionswert.

Beispiel 4: Parameter k bestimmen

Aufgabe: Eine Hyperbel der Form $f(x) = \frac{k}{x}$ verläuft durch den Punkt $P(3 \mid -5)$ . Bestimme $k$ und gib die Funktionsgleichung an.

Lösung:

Der Punkt $P(3 \mid -5)$ bedeutet: Wenn $x = 3$ , dann ist $f(x) = -5$ .

Wir setzen diese Werte in die allgemeine Form ein:

-5 = \frac{k}{3}

Multiplizieren mit $3$ :

k = -5 \cdot 3 = -15

Die Funktionsgleichung lautet:

f(x) = \frac{-15}{x}

Probe: $f(3) = \frac{-15}{3} = -5$ ✓

Das Wichtigste in Kürze

Die Hyperbelfunktion hat die Form $f(x) = \frac{k}{x}$ mit $k \neq 0$ .
Sie besitzt zwei Asymptoten: die $x$ -Achse (waagerecht) und die $y$ -Achse (senkrecht).
Der Graph besteht aus zwei getrennten Ästen und ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Das Vorzeichen von $k$ bestimmt die Lage der Äste: positives $k$ bedeutet 1. und 3. Quadrant, negatives $k$ bedeutet 2. und 4. Quadrant.
Definitions- und Wertebereich umfassen alle reellen Zahlen ausser Null.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Welche Asymptoten hat die Funktion

f(x) = \frac{4}{x}

Lösung anzeigen

Die Funktion hat zwei Asymptoten:

Die waagerechte Asymptote ist die $x$ -Achse, also $y = 0$ .
Die senkrechte Asymptote ist die $y$ -Achse, also $x = 0$ .

❓ Frage: In welchen Quadranten liegt die Hyperbel

f(x) = \frac{-3}{x}

Lösung anzeigen

Da $k = -3 < 0$ (negativ) ist, liegt die Hyperbel im zweiten und vierten Quadranten.

Im zweiten Quadranten sind $x$ -Werte negativ und $y$ -Werte positiv: $f(-1) = \frac{-3}{-1} = 3 > 0$ ✓

Im vierten Quadranten sind $x$ -Werte positiv und $y$ -Werte negativ: $f(1) = \frac{-3}{1} = -3 < 0$ ✓

❓ Frage: Eine Hyperbel verläuft durch den Punkt

P(2 \mid 7)

. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Lösung anzeigen

Wir setzen die Koordinaten in $f(x) = \frac{k}{x}$ ein:

7 = \frac{k}{2}

Multiplizieren mit $2$ :

k = 14

Die Funktionsgleichung lautet: $f(x) = \frac{14}{x}$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt die Grundform der Hyperbelfunktion kennengelernt. Im nächsten Schritt wirst du erweiterte Hyperbelfunktionen der Form $f(x) = \frac{k}{x - d} + e$ untersuchen. Dabei verschieben sich die Asymptoten: Die senkrechte Asymptote liegt dann bei $x = d$ und die waagerechte bei $y = e$ . Mit diesem Wissen kannst du Hyperbeln an beliebigen Stellen im Koordinatensystem positionieren.

Ausserdem wirst du lernen, wie Hyperbeln mit anderen Funktionstypen wie linearen oder quadratischen Funktionen kombiniert werden können. So entstehen spannende Schnittpunktaufgaben und komplexere Funktionsanalysen.