Graphen verschieben einfach erklärt: So transformierst du Funktionen wie ein Profi

Stell dir vor, du hängst ein Bild an die Wand. Zuerst positionierst du es in der Mitte – aber irgendwie passt es nicht. Also schiebst du es ein Stück nach rechts. Dann noch etwas nach oben. Das Bild selbst verändert sich dabei nicht: Die Farben bleiben gleich, die Form bleibt gleich. Nur die Position ändert sich.

Genau so funktioniert das Verschieben von Funktionsgraphen in der Mathematik. Du nimmst einen Graphen – zum Beispiel eine Parabel – und schiebst ihn in eine neue Position. Der Graph behält seine Form, aber seine Lage im Koordinatensystem ändert sich. Diese Technik ist eines der mächtigsten Werkzeuge, um Funktionen zu verstehen und zu manipulieren.

Vom Bild an der Wand zur Funktion im Koordinatensystem

Kehren wir zu unserem Bild zurück. Wenn du das Bild nach rechts schiebst, bewegst du es entlang einer horizontalen Achse. Wenn du es nach oben schiebst, bewegst du es entlang einer vertikalen Achse. Diese beiden Richtungen – horizontal und vertikal – sind genau die Richtungen, in denen wir auch Funktionsgraphen verschieben können.

Im Koordinatensystem entspricht “nach rechts” der positiven $x$-Richtung und “nach oben” der positiven $y$-Richtung. Jeder Punkt auf dem Graphen wandert um denselben Betrag in dieselbe Richtung. Das bedeutet: Die gesamte Kurve verschiebt sich, ohne sich zu verformen.

Aber wie teilen wir dem Graphen mit, wohin er sich verschieben soll? Die Antwort liegt in der Funktionsgleichung selbst.

Die Grundidee: Wie Verschiebungen in der Gleichung auftauchen

Betrachten wir die einfachste Parabel: $f(x) = x^2$. Ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung bei $(0|0)$. Was passiert nun, wenn wir diese Parabel verschieben wollen?

Die zentrale Erkenntnis lautet: Verschiebungen werden direkt in die Funktionsgleichung eingebaut. Dabei gibt es zwei Arten von Verschiebungen mit unterschiedlichen Regeln.

Vertikale Verschiebung (nach oben oder unten)

Bei einer vertikalen Verschiebung addieren oder subtrahieren wir eine Zahl am Ende der Funktionsgleichung.

Aus $f(x) = x^2$ wird:

$g(x) = x^2 + 3$

Diese Funktion ist die ursprüngliche Parabel, aber um $3$ Einheiten nach oben verschoben. Jeder $y$-Wert ist jetzt um $3$ grösser als vorher.

Umgekehrt gilt:

$h(x) = x^2 - 2$

Diese Parabel ist um $2$ Einheiten nach unten verschoben.

DEFINITION

Eine Funktion $f(x)$ wird vertikal verschoben, indem man eine Konstante $d$ addiert oder subtrahiert:

$g(x) = f(x) + d$

Dabei gilt:

• $d > 0$: Der Graph verschiebt sich um $d$ Einheiten nach oben.
• $d < 0$: Der Graph verschiebt sich um $|d|$ Einheiten nach unten.

Horizontale Verschiebung (nach links oder rechts)

Hier wird es etwas kniffliger. Bei einer horizontalen Verschiebung verändern wir das Argument der Funktion – also das, was in den Klammern steht.

Aus $f(x) = x^2$ wird:

$g(x) = (x - 2)^2$

Achtung: Diese Funktion ist um $2$ Einheiten nach rechts verschoben – obwohl wir $2$ subtrahieren! Das wirkt zunächst paradox, hat aber einen logischen Grund.

DEFINITION

Eine Funktion $f(x)$ wird horizontal verschoben, indem man das Argument $x$ durch $(x - c)$ ersetzt:

$g(x) = f(x - c)$

Dabei gilt:

• $c > 0$: Der Graph verschiebt sich um $c$ Einheiten nach rechts.
• $c < 0$: Der Graph verschiebt sich um $|c|$ Einheiten nach links.

Merke: Das Vorzeichen wirkt umgekehrt zur Verschiebungsrichtung!

Warum das Minuszeichen nach rechts verschiebt

Dieser Punkt verwirrt viele Schüler. Schauen wir uns an, warum $(x - 2)^2$ nach rechts verschoben ist.

Bei der ursprünglichen Funktion $f(x) = x^2$ liegt der Scheitelpunkt bei $x = 0$, denn $0^2 = 0$ ist der kleinste Wert.

Bei $g(x) = (x - 2)^2$ liegt der Scheitelpunkt dort, wo der Ausdruck in der Klammer null wird. Das ist bei $x - 2 = 0$, also bei $x = 2$.

Der Scheitelpunkt ist von $x = 0$ nach $x = 2$ gewandert – also nach rechts. Um denselben $y$-Wert wie vorher zu bekommen, musst du jetzt einen grösseren $x$-Wert einsetzen.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Das Vorzeichen bei horizontalen Verschiebungen verwechseln

Viele Schüler denken, $(x + 3)^2$ sei nach rechts verschoben. Falsch! $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ ist nach links verschoben. Merke dir: Plus im Argument bedeutet links, Minus bedeutet rechts.

Fehler 2: Vertikale und horizontale Verschiebungen vermischen

Bei $f(x) = (x - 2)^2 + 3$ darfst du nicht beides zusammenwerfen. Analysiere separat: $(x - 2)$ bedeutet 2 nach rechts, $+3$ bedeutet 3 nach oben.

Fehler 3: Die Reihenfolge bei der Wertetabelle ignorieren

Wenn du Punkte berechnest, musst du erst das Argument auswerten $(x - c)$, dann die Funktion anwenden, dann die vertikale Verschiebung addieren.

Die allgemeine Verschiebungsformel

Nun können wir beide Verschiebungen kombinieren. Wenn wir eine Funktion $f(x)$ um $c$ Einheiten horizontal und um $d$ Einheiten vertikal verschieben wollen, erhalten wir:

$g(x) = f(x - c) + d$

Für die Normalparabel $f(x) = x^2$ lautet die allgemeine Form der verschobenen Parabel:

$g(x) = (x - c)^2 + d$

Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt bei $(c|d)$.

Beispiele

Beispiel 1: Einfache vertikale Verschiebung

Aufgabe: Verschiebe den Graphen von $f(x) = x^2$ um $4$ Einheiten nach oben.

Lösung:

Schritt 1: Wir addieren die Verschiebung am Ende der Funktionsgleichung.

$g(x) = x^2 + 4$

Schritt 2: Überprüfung mit dem Scheitelpunkt.

Der ursprüngliche Scheitelpunkt liegt bei $(0|0)$. Nach der Verschiebung um $4$ nach oben liegt er bei $(0|4)$.

Setzen wir $x = 0$ in $g(x)$ ein: $g(0) = 0^2 + 4 = 4$. ✓

Ergebnis: $g(x) = x^2 + 4$

Beispiel 2: Horizontale Verschiebung nach links

Aufgabe: Verschiebe den Graphen von $f(x) = x^2$ um $5$ Einheiten nach links.

Lösung:

Schritt 1: Bei einer Verschiebung nach links um $5$ Einheiten müssen wir $x$ durch $(x + 5)$ ersetzen.

Erinnerung: Links bedeutet, dass $c$ negativ ist. Hier ist $c = -5$, also $(x - (-5)) = (x + 5)$.

$g(x) = (x + 5)^2$

Schritt 2: Überprüfung mit dem Scheitelpunkt.

Der neue Scheitelpunkt liegt dort, wo $x + 5 = 0$, also bei $x = -5$.

Der Scheitelpunkt ist von $(0|0)$ nach $(-5|0)$ gewandert – also $5$ Einheiten nach links. ✓

Ergebnis: $g(x) = (x + 5)^2$

Beispiel 3: Kombinierte Verschiebung

Aufgabe: Verschiebe den Graphen von $f(x) = x^2$ um $3$ Einheiten nach rechts und um $2$ Einheiten nach unten.

Lösung:

Schritt 1: Horizontale Verschiebung nach rechts um $3$ Einheiten.

Wir ersetzen $x$ durch $(x - 3)$:

$\text{Zwischenschritt: } (x - 3)^2$

Schritt 2: Vertikale Verschiebung nach unten um $2$ Einheiten.

Wir subtrahieren $2$:

$g(x) = (x - 3)^2 - 2$

Schritt 3: Überprüfung mit dem Scheitelpunkt.

Der neue Scheitelpunkt liegt bei $(3|-2)$.

Kontrolle: $g(3) = (3 - 3)^2 - 2 = 0 - 2 = -2$. ✓

Ergebnis: $g(x) = (x - 3)^2 - 2$ mit Scheitelpunkt $(3|-2)$

Beispiel 4: Scheitelpunkt aus der Gleichung ablesen

Aufgabe: Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $h(x) = (x + 4)^2 - 7$.

Lösung:

Schritt 1: Bringe die Gleichung in die Form $(x - c)^2 + d$.

$h(x) = (x + 4)^2 - 7 = (x - (-4))^2 + (-7)$

Schritt 2: Lies $c$ und $d$ ab.

Hier ist $c = -4$ und $d = -7$.

Schritt 3: Der Scheitelpunkt liegt bei $(c|d)$.

Ergebnis: Der Scheitelpunkt ist $(-4|-7)$.

Das bedeutet: Die Normalparabel wurde um $4$ Einheiten nach links und um $7$ Einheiten nach unten verschoben.

Beispiel 5: Anwendung auf andere Funktionstypen

Aufgabe: Die Funktion $f(x) = \sqrt{x}$ soll um $2$ Einheiten nach rechts und um $1$ Einheit nach oben verschoben werden. Gib die neue Funktionsgleichung an.

Lösung:

Schritt 1: Die Grundfunktion ist $f(x) = \sqrt{x}$.

Schritt 2: Horizontale Verschiebung nach rechts um $2$: Ersetze $x$ durch $(x - 2)$.

$\text{Zwischenschritt: } \sqrt{x - 2}$

Schritt 3: Vertikale Verschiebung nach oben um $1$: Addiere $1$.

$g(x) = \sqrt{x - 2} + 1$

Schritt 4: Überprüfung mit dem Startpunkt.

Die ursprüngliche Wurzelfunktion beginnt bei $(0|0)$. Nach der Verschiebung beginnt sie bei $(2|1)$.

Kontrolle: $g(2) = \sqrt{2 - 2} + 1 = 0 + 1 = 1$. ✓

Ergebnis: $g(x) = \sqrt{x - 2} + 1$

Das Wichtigste in Kürze

• Vertikale Verschiebung: Addiere oder subtrahiere eine Konstante $d$ am Ende der Gleichung. Plus bedeutet nach oben, Minus bedeutet nach unten.

• Horizontale Verschiebung: Ersetze $x$ durch $(x - c)$ im Argument. Das Vorzeichen wirkt umgekehrt: Minus im Argument bedeutet nach rechts, Plus bedeutet nach links.

• Kombinierte Verschiebung: Die allgemeine Form lautet $g(x) = f(x - c) + d$. Der neue “Ankerpunkt” (z.B. Scheitelpunkt bei der Parabel) liegt bei $(c|d)$.

• Form bleibt erhalten: Beim Verschieben ändert sich nur die Position des Graphen, nicht seine Form. Eine Parabel bleibt eine Parabel, eine Wurzelfunktion bleibt eine Wurzelfunktion.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Die Funktion $g(x) = (x - 5)^2 + 2$ entsteht aus der Normalparabel $f(x) = x^2$. Wie wurde sie verschoben?

Lösung anzeigen

Die Parabel wurde um 5 Einheiten nach rechts und um 2 Einheiten nach oben verschoben.

Erklärung: $(x - 5)$ bedeutet horizontale Verschiebung um $5$ nach rechts (da $c = 5 > 0$). Das $+2$ am Ende bedeutet vertikale Verschiebung um $2$ nach oben.

❓ Frage: Wo liegt der Scheitelpunkt der Funktion $h(x) = (x + 3)^2 - 4$?

Lösung anzeigen

Der Scheitelpunkt liegt bei $(-3|-4)$.

Erklärung: Wir schreiben $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$. Also ist $c = -3$ und $d = -4$. Der Scheitelpunkt liegt bei $(c|d) = (-3|-4)$.

❓ Frage: Du möchtest die Funktion $f(x) = |x|$ (Betragsfunktion) um $4$ Einheiten nach links und um $3$ Einheiten nach unten verschieben. Wie lautet die neue Funktionsgleichung?

Lösung anzeigen

Die neue Funktionsgleichung lautet $g(x) = |x + 4| - 3$.

Erklärung: Nach links um $4$ bedeutet: $c = -4$, also $(x - (-4)) = (x + 4)$. Nach unten um $3$ bedeutet: $d = -3$, also $-3$ addieren.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast nun gelernt, wie du Funktionsgraphen verschieben kannst, ohne ihre Form zu verändern. Aber was, wenn du die Form selbst beeinflussen möchtest?

Im nächsten Schritt wirst du lernen, wie du Graphen strecken und stauchen kannst. Dabei wird die Parabel schmaler oder breiter, die Kurve steiler oder flacher. Diese Transformationen werden durch Faktoren vor der Funktion gesteuert.

Ausserdem wirst du die Spiegelung von Graphen kennenlernen – an der $x$-Achse und an der $y$-Achse. All diese Transformationen zusammen ermöglichen es dir, jede Grundfunktion in nahezu jede gewünschte Form und Position zu bringen. Das ist die Basis für das Verständnis von Funktionenfamilien und später auch für die Analysis.