Ganzrationale Funktionen einfach erklärt: Polynome verstehen und anwenden

Stell dir vor, du wirfst einen Basketball in Richtung Korb. Der Ball fliegt nicht einfach geradeaus, sondern beschreibt einen eleganten Bogen durch die Luft. Diese Flugbahn ist keine zufällige Kurve – sie folgt einem mathematischen Gesetz. Oder denk an eine Achterbahn: Die Schienen steigen steil an, fallen wieder ab, machen Wellen und Kurven. All diese Formen lassen sich mit einer einzigen Funktionsfamilie beschreiben.

Diese mächtigen mathematischen Werkzeuge heissen ganzrationale Funktionen. Sie sind sozusagen die “Allrounder” unter den Funktionen. Mit ihnen kannst du nicht nur Wurfbahnen und Achterbahnen modellieren, sondern auch Unternehmensgewinne berechnen, Brückenbögen konstruieren oder das Verhalten von Populationen vorhersagen. In diesem Kapitel lernst du, wie diese Funktionen aufgebaut sind und wie du sie erkennst.

Von der Geraden zur Kurve: Der Weg zu ganzrationalen Funktionen

Du kennst bereits lineare Funktionen wie $f(x) = 2x + 3$. Der Graph ist immer eine Gerade. Du kennst auch quadratische Funktionen wie $g(x) = x^2 - 4x + 1$. Der Graph ist immer eine Parabel. Aber was haben diese beiden Funktionstypen gemeinsam?

Schau dir die Bausteine genauer an:

• Lineare Funktion: $f(x) = 2x + 3$ besteht aus $x$ und Zahlen
• Quadratische Funktion: $g(x) = x^2 - 4x + 1$ besteht aus $x^2$, $x$ und Zahlen

Das Muster ist klar: Beide Funktionen verwenden nur Potenzen von $x$ mit natürlichen Exponenten (also 0, 1, 2, 3, …) und multiplizieren diese mit Zahlen. Genau das macht eine ganzrationale Funktion aus.

Was ist eine ganzrationale Funktion?

Eine ganzrationale Funktion ist eine Summe von Termen der Form $a \cdot x^n$. Dabei ist $a$ eine beliebige reelle Zahl und $n$ eine natürliche Zahl (inklusive 0).

Die allgemeine Form sieht so aus:

$f(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \ldots + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0$

Das sieht auf den ersten Blick kompliziert aus. Lass es uns Stück für Stück zerlegen:

• Die Zahlen $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0$ heissen Koeffizienten. Sie bestimmen, wie stark jeder Term die Funktion beeinflusst.
• Die höchste Potenz $n$ heisst der Grad der Funktion.
• Der Term $a_n \cdot x^n$ mit der höchsten Potenz heisst Leitterm.
• Der Koeffizient $a_n$ heisst Leitkoeffizient.
• Der Term $a_0$ (ohne $x$) heisst Absolutglied oder konstanter Term.

DEFINITION

Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat die Form:

$f(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot x + a_0$

Dabei gilt: $a_n \neq 0$ (der Leitkoeffizient darf nicht null sein) und alle Exponenten sind natürliche Zahlen. Der Grad $n$ gibt die höchste vorkommende Potenz von $x$ an.

Der Grad einer Funktion: Warum er so wichtig ist

Der Grad einer ganzrationalen Funktion verrät dir sofort wichtige Eigenschaften über ihren Graphen. Er ist wie ein Steckbrief der Funktion.

Grad 0: Konstante Funktion $f(x) = 5$ Der Graph ist eine horizontale Gerade.

Grad 1: Lineare Funktion $f(x) = 3x - 2$ Der Graph ist eine schräge Gerade.

Grad 2: Quadratische Funktion $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$ Der Graph ist eine Parabel mit genau einem Scheitelpunkt.

Grad 3: Kubische Funktion $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ Der Graph kann bis zu zwei Wendepunkte haben und sieht oft S-förmig aus.

Grad 4: Quartische Funktion $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$ Der Graph kann bis zu drei Wendepunkte haben und W-förmig aussehen.

Je höher der Grad, desto mehr “Wellen” und Richtungswechsel kann der Graph haben. Genauer gesagt: Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat höchstens $n - 1$ lokale Extremstellen (Hoch- und Tiefpunkte).

Koeffizienten: Die Stellschrauben der Funktion

Jeder Koeffizient hat eine spezielle Aufgabe:

Der Leitkoeffizient $a_n$ bestimmt das Verhalten für sehr grosse und sehr kleine $x$-Werte:

• Ist $a_n > 0$ und $n$ gerade, dann geht der Graph für $x \to \pm\infty$ nach oben
• Ist $a_n < 0$ und $n$ gerade, dann geht der Graph für $x \to \pm\infty$ nach unten
• Ist $a_n > 0$ und $n$ ungerade, dann geht der Graph links nach unten und rechts nach oben
• Ist $a_n < 0$ und $n$ ungerade, dann geht der Graph links nach oben und rechts nach unten

Das Absolutglied $a_0$ gibt den $y$-Achsenabschnitt an. Der Graph schneidet die $y$-Achse immer im Punkt $(0 \mid a_0)$.

Ganzrationale Funktionen erkennen: Eine Checkliste

Wie erkennst du, ob eine Funktion ganzrational ist? Prüfe diese drei Kriterien:

1. Nur Potenzen von $x$: Die Variable $x$ darf nur mit natürlichen Exponenten vorkommen (0, 1, 2, 3, …).
2. Keine Brüche mit $x$ im Nenner: Terme wie $\frac{1}{x}$ oder $\frac{3}{x^2}$ sind verboten.
3. Keine Wurzeln von $x$: Terme wie $\sqrt{x}$ oder $\sqrt[3]{x}$ sind verboten.

Funktion	Ganzrational?	Begründung
$f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7$	Ja	Nur natürliche Exponenten
$g(x) = x^3 + \frac{1}{x}$	Nein	$\frac{1}{x} = x^{-1}$ hat negativen Exponenten
$h(x) = 2x^5 - \sqrt{x}$	Nein	$\sqrt{x} = x^{0.5}$ hat keinen natürlichen Exponenten
$k(x) = \frac{x^2 + 3x}{2}$	Ja	$= \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x$, nur Zahlen im Nenner

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest:

1. Verwechslung von Grad und Anzahl der Terme: Der Grad ist die höchste Potenz, nicht die Anzahl der Summanden. Die Funktion $f(x) = x^5 + 1$ hat nur zwei Terme, aber Grad 5.

2. Negative Exponenten übersehen: Der Term $\frac{3}{x^2}$ sieht harmlos aus, ist aber $3 \cdot x^{-2}$. Das macht die Funktion nicht ganzrational.

3. Grad bei fehlenden Termen falsch bestimmen: Bei $f(x) = x^4 + 2x$ fehlt $x^3$ und $x^2$. Der Grad ist trotzdem 4, denn der höchste Exponent zählt.

Beispiele

Beispiel 1: Grad und Koeffizienten bestimmen

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 7$.

Schritt 1: Identifiziere den höchsten Exponenten. Der höchste Exponent ist 3. Also ist der Grad gleich 3.

Schritt 2: Bestimme den Leitterm und Leitkoeffizienten. Der Leitterm ist $4x^3$. Der Leitkoeffizient ist $a_3 = 4$.

Schritt 3: Bestimme das Absolutglied. Das Absolutglied ist $a_0 = -7$.

Schritt 4: Liste alle Koeffizienten auf.

• $a_3 = 4$ (bei $x^3$)
• $a_2 = -2$ (bei $x^2$)
• $a_1 = 5$ (bei $x$)
• $a_0 = -7$ (konstant)

Interpretation: Diese kubische Funktion schneidet die $y$-Achse bei $(0 \mid -7)$. Da der Leitkoeffizient positiv ist und der Grad ungerade, verläuft der Graph von links unten nach rechts oben.

Beispiel 2: Funktionsgleichung aus Beschreibung aufstellen

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat:

• Leitkoeffizient 2
• Keinen quadratischen Term
• Linearen Koeffizienten $-3$
• Absolutglied 1

Stelle die Funktionsgleichung auf.

Schritt 1: Schreibe die allgemeine Form für Grad 3 auf. $f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$

Schritt 2: Setze die bekannten Koeffizienten ein.

• $a_3 = 2$ (Leitkoeffizient)
• $a_2 = 0$ (kein quadratischer Term)
• $a_1 = -3$ (linearer Koeffizient)
• $a_0 = 1$ (Absolutglied)

Schritt 3: Schreibe die Funktionsgleichung. $f(x) = 2x^3 + 0 \cdot x^2 + (-3)x + 1$

$f(x) = 2x^3 - 3x + 1$

Beispiel 3: Ganzrationale Funktion ja oder nein?

Prüfe, ob die folgenden Funktionen ganzrational sind:

a) $f(x) = \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{4}$

Schreibe um: $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{1}{2}$

Ja, das ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 4. Die Zahl 4 steht im Nenner, nicht $x$.

b) $g(x) = x^2 + 3x + x^{-1}$

Der Term $x^{-1}$ hat einen negativen Exponenten.

Nein, das ist keine ganzrationale Funktion.

c) $h(x) = (x + 2)(x - 1)(x + 3)$

Multipliziere aus: $h(x) = (x + 2)(x^2 + 2x - 3)$

$h(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 2x^2 + 4x - 6$

$h(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$

Ja, das ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 3.

d) $k(x) = 5$

Das ist dasselbe wie $k(x) = 5 \cdot x^0$, da $x^0 = 1$.

Ja, das ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 0 (konstante Funktion).

Beispiel 4: Anwendung – Gewinn eines Unternehmens

Der monatliche Gewinn eines Start-ups (in tausend CHF) lässt sich durch folgende Funktion modellieren:

$G(x) = -0.5x^3 + 6x^2 - 15x + 10$

Dabei ist $x$ die Anzahl der Monate seit Gründung ($x \geq 0$).

Aufgabe: Bestimme den Gewinn nach 2 Monaten und berechne den Anfangsgewinn.

Lösung:

Anfangsgewinn (bei $x = 0$): $G(0) = -0.5 \cdot 0^3 + 6 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 + 10 = 10$

Der Anfangsgewinn beträgt 10’000 CHF. Das entspricht dem Absolutglied.

Gewinn nach 2 Monaten ($x = 2$): $G(2) = -0.5 \cdot 2^3 + 6 \cdot 2^2 - 15 \cdot 2 + 10$

$G(2) = -0.5 \cdot 8 + 6 \cdot 4 - 30 + 10$

$G(2) = -4 + 24 - 30 + 10$

$G(2) = 0$

Nach 2 Monaten beträgt der Gewinn 0 CHF – das Unternehmen arbeitet kostendeckend.

Bemerkung: Da der Leitkoeffizient negativ ist ($a_3 = -0.5$) und der Grad ungerade (3), wird der Gewinn für grosse $x$ negativ. Das Modell ist also nur für einen begrenzten Zeitraum sinnvoll.

Spezielle ganzrationale Funktionen

Einige ganzrationale Funktionen haben besondere Namen und Eigenschaften:

Potenzfunktionen: $f(x) = x^n$ Das sind ganzrationale Funktionen mit nur einem Term (ausser dem Leitterm sind alle Koeffizienten null).

Symmetrische Funktionen:

• Nur gerade Exponenten (z.B. $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2$): Der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
• Nur ungerade Exponenten (z.B. $f(x) = x^5 - 2x^3 + x$): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Normierte Funktionen: Wenn der Leitkoeffizient gleich 1 ist, heisst die Funktion normiert. Beispiel: $f(x) = x^3 - 4x + 1$.

Das Wichtigste in Kürze

• Eine ganzrationale Funktion besteht aus Summen von Termen $a_k \cdot x^k$, wobei alle Exponenten natürliche Zahlen sind.
• Der Grad ist die höchste vorkommende Potenz und bestimmt die maximale Anzahl an Extremstellen und das Verhalten für grosse $|x|$-Werte.
• Der Leitkoeffizient bestimmt, ob der Graph nach oben oder unten strebt.
• Das Absolutglied $a_0$ ist der $y$-Achsenabschnitt.
• Funktionen mit $x$ im Nenner oder unter einer Wurzel sind nicht ganzrational.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Welchen Grad hat die Funktion $f(x) = 3x^5 - x^3 + 7x - 2$?

Lösung anzeigen

Der Grad ist 5.

Der höchste Exponent von $x$ ist 5 (im Term $3x^5$). Es spielt keine Rolle, dass $x^4$ und $x^2$ fehlen.

❓ Frage:

Ist die Funktion $g(x) = \frac{x^3 + 2x}{x}$ eine ganzrationale Funktion?

Lösung anzeigen

Ja, wenn du sie umformst:

$g(x) = \frac{x^3 + 2x}{x} = \frac{x^3}{x} + \frac{2x}{x} = x^2 + 2$

Die vereinfachte Form $g(x) = x^2 + 2$ ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 2.

Achtung: Die Funktion ist allerdings nur für $x \neq 0$ definiert.

❓ Frage:

Gegeben ist $h(x) = -2x^4 + 5x^2 - 1$. Welches Verhalten zeigt der Graph für $x \to +\infty$?

Lösung anzeigen

Der Graph geht für $x \to +\infty$ nach unten (gegen $-\infty$).

Begründung: Der Grad ist 4 (gerade) und der Leitkoeffizient ist $-2$ (negativ). Bei geraden Graden mit negativem Leitkoeffizient zeigt der Graph auf beiden Seiten nach unten.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt die Grundlagen ganzrationaler Funktionen verstanden. Im nächsten Schritt wirst du lernen, wie du diese Funktionen genauer analysierst:

• Nullstellen berechnen: Wo schneidet der Graph die $x$-Achse? Du wirst Methoden wie die Polynomdivision und das Horner-Schema kennenlernen.
• Extremstellen finden: Mit Hilfe der Ableitung bestimmst du Hoch- und Tiefpunkte.
• Wendepunkte analysieren: Wo ändert der Graph seine Krümmung?

Ausserdem wirst du weitere Funktionstypen kennenlernen, die nicht ganzrational sind: gebrochen-rationale Funktionen (mit $x$ im Nenner), Exponentialfunktionen und trigonometrische Funktionen. Jeder dieser Typen hat seine eigenen Besonderheiten und Anwendungen. Die ganzrationalen Funktionen bilden dafür eine wichtige Grundlage.