Exponentialfunktionen einfach erklärt: Verstehe explosives Wachstum und schnellen Zerfall

Stell dir vor, du legst ein einzelnes Reiskorn auf das erste Feld eines Schachbretts. Auf das zweite Feld legst du zwei Körner, auf das dritte vier, auf das vierte acht – immer die doppelte Menge. Klingt harmlos, oder? Doch bereits auf Feld 20 liegen über eine Million Reiskörner. Und auf dem letzten Feld? Mehr Reis, als jemals auf der Erde geerntet wurde. Diese Geschichte zeigt eine Kraft, die wir Menschen oft unterschätzen: das exponentielle Wachstum. In diesem Kapitel lernst du, wie Mathematiker diese Explosionskraft mit Exponentialfunktionen beschreiben – und warum dieses Wissen für Zinsberechnungen, Medizin und sogar Handyakkus unverzichtbar ist.

Vom Schachbrett zur Mathematik

Die Reiskorn-Geschichte hat ein klares Muster: In jedem Schritt wird die vorherige Menge mit demselben Faktor multipliziert. Beim Schachbrett ist dieser Faktor 2. Das unterscheidet exponentielles Wachstum grundlegend von linearem Wachstum, wo in jedem Schritt dieselbe Zahl addiert wird.

Lass uns das in Zahlen fassen:

Feld	Reiskörner	Berechnung
1	1	$2^0 = 1$
2	2	$2^1 = 2$
3	4	$2^2 = 4$
4	8	$2^3 = 8$
5	16	$2^4 = 16$
10	512	$2^9 = 512$
20	524’288	$2^{19} = 524'288$

Fällt dir etwas auf? Die Anzahl der Reiskörner auf Feld $n$ entspricht $2^{n-1}$. Die Feldnummer steckt im Exponenten – und genau deshalb sprechen wir von einer Exponentialfunktion.

Die allgemeine Form der Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion hat immer dieselbe Grundstruktur. Die Variable – also das, was sich verändert – steht dabei im Exponenten.

DEFINITION

Eine Exponentialfunktion hat die Form:

$f(x) = a \cdot b^x$

Dabei bedeuten:

• $a$ = Anfangswert (der Wert bei $x = 0$)
• $b$ = Basis oder Wachstumsfaktor (muss positiv sein und $b \neq 1$)
• $x$ = Variable im Exponenten

Der entscheidende Unterschied zu Potenzfunktionen wie $f(x) = x^2$: Bei Exponentialfunktionen ist die Basis $b$ konstant, und die Variable $x$ sitzt im Exponenten. Bei Potenzfunktionen ist es genau umgekehrt.

Was passiert bei verschiedenen Basen?

Die Basis $b$ bestimmt das Verhalten der Funktion komplett:

Fall 1: $b > 1$ – Exponentielles Wachstum

Ist die Basis grösser als 1, wächst die Funktion. Je grösser $b$, desto steiler der Anstieg.

• Bei $b = 2$ verdoppelt sich der Wert mit jedem Schritt.
• Bei $b = 3$ verdreifacht er sich.
• Bei $b = 1.1$ wächst er um 10% pro Schritt.

Fall 2: $0 < b < 1$ – Exponentieller Zerfall

Ist die Basis zwischen 0 und 1, fällt die Funktion. Der Wert wird immer kleiner, erreicht aber nie genau null.

• Bei $b = 0.5$ halbiert sich der Wert mit jedem Schritt.
• Bei $b = 0.9$ sinkt er um 10% pro Schritt.

Fall 3: $b = 1$ – Keine Exponentialfunktion

Bei $b = 1$ gilt $1^x = 1$ für alle $x$. Das ergibt eine konstante Funktion, keine Exponentialfunktion.

Fall 4: $b \leq 0$ – Nicht definiert

Negative Basen führen zu Problemen. Zum Beispiel ist $(-2)^{0.5} = \sqrt{-2}$ nicht reell. Deshalb fordern wir $b > 0$.

Der Graph der Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen haben einen charakteristischen Kurvenverlauf, den du sofort erkennen solltest.

Kennzeichen des Graphen:

1. Schnittpunkt mit der y-Achse: Der Graph schneidet die y-Achse immer bei $(0, a)$, denn $f(0) = a \cdot b^0 = a \cdot 1 = a$.

2. Asymptote: Die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote. Der Graph nähert sich ihr beliebig nahe an, berührt sie aber nie.

3. Monotonie: Bei $b > 1$ ist der Graph streng monoton steigend. Bei $0 < b < 1$ ist er streng monoton fallend.

4. Kein Schnittpunkt mit der x-Achse: Da $b^x > 0$ für alle $x$ gilt, hat der Graph keine Nullstelle (sofern $a > 0$).

5. Krümmung: Der Graph ist immer gekrümmt – entweder immer linksgekrümmt (konvex) bei Wachstum oder immer rechtsgekrümmt (konkav) bei Zerfall.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Exponentialfunktion mit Potenzfunktion verwechseln

$f(x) = 2^x$ ist eine Exponentialfunktion (Basis konstant, Variable im Exponenten). $g(x) = x^2$ ist eine Potenzfunktion (Variable in der Basis, Exponent konstant). Diese beiden Funktionstypen verhalten sich völlig unterschiedlich!

Fehler 2: Die Basis 1 verwenden

Bei $b = 1$ erhältst du $f(x) = a \cdot 1^x = a$ – eine konstante Funktion. Das ist keine Exponentialfunktion, auch wenn die Schreibweise so aussieht.

Fehler 3: Den Anfangswert vergessen

Bei $f(x) = 3 \cdot 2^x$ ist der Anfangswert 3, nicht 1. Viele Schüler lesen nur die Basis ab und übersehen den Faktor $a$ davor.

Fehler 4: Negative Ergebnisse erwarten

Eine Exponentialfunktion mit $a > 0$ liefert immer positive Werte. Der Graph kann sich der x-Achse nähern, sie aber nie schneiden oder unterschreiten.

Beispiele

Beispiel 1: Bakterienwachstum

Eine Bakterienkultur startet mit 500 Bakterien. Alle 3 Stunden verdoppelt sich die Anzahl.

Gesucht: Eine Funktion $f(t)$, die die Anzahl der Bakterien nach $t$ Verdoppelungsperioden angibt.

Lösung:

1. Anfangswert bestimmen: Zu Beginn sind es 500 Bakterien, also $a = 500$.

2. Wachstumsfaktor bestimmen: Die Anzahl verdoppelt sich, also $b = 2$.

3. Funktion aufstellen:

$f(t) = 500 \cdot 2^t$

Anwendung: Nach 5 Verdoppelungsperioden (also nach 15 Stunden):

$f(5) = 500 \cdot 2^5 = 500 \cdot 32 = 16'000$

Nach 15 Stunden sind es 16’000 Bakterien.

Beispiel 2: Radioaktiver Zerfall

Ein radioaktives Präparat hat eine Halbwertszeit von 4 Jahren. Zu Beginn sind 800 g vorhanden.

Gesucht: Eine Funktion $f(t)$, die die Masse nach $t$ Halbwertszeiten beschreibt.

Lösung:

1. Anfangswert bestimmen: Die Anfangsmasse beträgt $a = 800$ g.

2. Zerfallsfaktor bestimmen: Bei jeder Halbwertszeit halbiert sich die Masse. Der Faktor ist also $b = 0.5 = \frac{1}{2}$.

3. Funktion aufstellen:

$f(t) = 800 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^t$

Anwendung: Nach 3 Halbwertszeiten (also nach 12 Jahren):

$f(3) = 800 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 800 \cdot \frac{1}{8} = 100$

Nach 12 Jahren sind noch 100 g übrig.

Beispiel 3: Zinseszins berechnen

Du legst 2’000 CHF auf ein Sparkonto mit 3% Jahreszins an. Die Zinsen werden jährlich dem Kapital zugeschlagen.

Gesucht: Eine Funktion $K(n)$, die das Kapital nach $n$ Jahren beschreibt. Berechne das Kapital nach 10 Jahren.

Lösung:

1. Anfangskapital bestimmen: $a = 2'000$ CHF.

2. Wachstumsfaktor bestimmen: 3% Zinsen bedeuten, dass das Kapital jährlich mit dem Faktor $1 + 0.03 = 1.03$ multipliziert wird.

3. Funktion aufstellen:

$K(n) = 2'000 \cdot 1.03^n$

4. Kapital nach 10 Jahren berechnen:

$K(10) = 2'000 \cdot 1.03^{10}$

Wir berechnen $1.03^{10}$:

$1.03^{10} \approx 1.3439$

Also:

$K(10) = 2'000 \cdot 1.3439 \approx 2'687.80$

Nach 10 Jahren hast du etwa 2’687.80 CHF auf dem Konto.

Vergleich mit einfachem Zins: Bei einfachem Zins (ohne Zinseszins) hättest du nur $2'000 + 10 \cdot 60 = 2'600$ CHF. Der Zinseszinseffekt bringt dir also fast 88 CHF zusätzlich.

Beispiel 4: Funktion aus zwei Punkten bestimmen

Der Graph einer Exponentialfunktion $f(x) = a \cdot b^x$ verläuft durch die Punkte $P(1, 6)$ und $Q(3, 54)$.

Gesucht: Die Parameter $a$ und $b$.

Lösung:

1. Gleichungssystem aufstellen: Die Punkte erfüllen die Funktionsgleichung:

$f(1) = a \cdot b^1 = 6$

$f(3) = a \cdot b^3 = 54$

2. Division der Gleichungen: Wir teilen die zweite Gleichung durch die erste:

$\frac{a \cdot b^3}{a \cdot b^1} = \frac{54}{6}$

$b^2 = 9$

$b = 3$

(Wir nehmen die positive Lösung, da $b > 0$ sein muss.)

3. Anfangswert berechnen: Wir setzen $b = 3$ in die erste Gleichung ein:

$a \cdot 3 = 6$

$a = 2$

4. Ergebnis:

$f(x) = 2 \cdot 3^x$

Probe: $f(1) = 2 \cdot 3^1 = 6$ ✓ und $f(3) = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$ ✓

Das Wichtigste in Kürze

• Exponentialfunktionen haben die Form $f(x) = a \cdot b^x$, wobei die Variable $x$ im Exponenten steht.

• Der Anfangswert $a$ gibt den Funktionswert bei $x = 0$ an.

• Die Basis $b$ entscheidet über Wachstum ($b > 1$) oder Zerfall ($0 < b < 1$).

• Der Graph hat die x-Achse als Asymptote und schneidet die y-Achse bei $(0, a)$.

• Typische Anwendungen sind Zinseszins, Bevölkerungswachstum, radioaktiver Zerfall und Abkühlungsprozesse.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Welchen Wert hat $f(0)$ bei der Funktion $f(x) = 5 \cdot 2^x$?

Lösung anzeigen

$f(0) = 5 \cdot 2^0 = 5 \cdot 1 = 5$

Der Anfangswert ist immer der Faktor vor der Potenz, da jede Zahl hoch 0 gleich 1 ist.

❓ Frage: Eine Exponentialfunktion hat die Basis $b = 0.8$. Beschreibt sie Wachstum oder Zerfall? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

Die Funktion beschreibt exponentiellen Zerfall.

Begründung: Da $0 < b < 1$ gilt, wird der Funktionswert mit steigendem $x$ immer kleiner. Bei $b = 0.8$ sinkt der Wert mit jedem Schritt auf 80% des vorherigen Wertes, also um 20%.

❓ Frage: Ein Kapital von 5’000 CHF wird mit 4% jährlichem Zinseszins angelegt. Stelle die Funktion $K(n)$ auf und berechne das Kapital nach 5 Jahren. Runde auf Rappen.

Lösung anzeigen

Funktion:

$K(n) = 5'000 \cdot 1.04^n$

Berechnung für $n = 5$:

$K(5) = 5'000 \cdot 1.04^5$

$1.04^5 \approx 1.2166529$

$K(5) \approx 5'000 \cdot 1.2166529 \approx 6'083.26$

Nach 5 Jahren beträgt das Kapital 6’083.26 CHF.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Fundament für Exponentialfunktionen gelegt. Als Nächstes wirst du die Logarithmusfunktion kennenlernen – die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Mit ihr kannst du Fragen beantworten wie: “Nach wie vielen Jahren hat sich mein Kapital verdoppelt?” oder “Wann ist nur noch die Hälfte des radioaktiven Stoffes übrig?”. Der Logarithmus ist das Werkzeug, um Gleichungen wie $2^x = 128$ nach $x$ aufzulösen. Ausserdem wirst du die spezielle Basis $e \approx 2.718$ entdecken, die in Naturwissenschaften und Wirtschaft eine zentrale Rolle spielt.