Kumulierte Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung: Schritt für Schritt erklärt

Stell dir vor, du bist Torhüter in einem wichtigen Fussballspiel. Der Gegner bekommt fünf Elfmeter. Du weisst aus Erfahrung, dass du etwa jeden dritten Elfmeter hältst. Jetzt fragst du dich: Wie wahrscheinlich ist es, dass ich mindestens zwei davon halte? Oder höchstens einen? Diese Fragen lassen sich nicht mit einer einzigen Wahrscheinlichkeit beantworten. Du musst mehrere Möglichkeiten zusammenzählen. Genau das ist die Idee hinter kumulierten Wahrscheinlichkeiten. Sie helfen dir, Aussagen über ganze Bereiche zu machen, nicht nur über einzelne Ergebnisse.

Vom Elfmeter zur Mathematik

Bleiben wir beim Elfmeter-Beispiel. Du hältst jeden Schuss mit einer Wahrscheinlichkeit von $p = \frac{1}{3}$. Bei $n = 5$ Schüssen willst du wissen, wie wahrscheinlich es ist, mindestens zwei zu halten.

Das bedeutet: Du könntest genau 2, genau 3, genau 4 oder genau 5 Elfmeter halten. Jede dieser Möglichkeiten hat ihre eigene Wahrscheinlichkeit. Diese Wahrscheinlichkeiten musst du addieren.

Einzelne Wahrscheinlichkeiten berechnen wir mit der Binomialformel:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Doch wenn du viele Werte zusammenzählen musst, wird das schnell mühsam. Hier kommen kumulierte Wahrscheinlichkeiten ins Spiel.

Was sind kumulierte Wahrscheinlichkeiten?

Das Wort “kumuliert” stammt vom lateinischen “cumulare” und bedeutet “anhäufen”. Eine kumulierte Wahrscheinlichkeit ist die Summe mehrerer Einzelwahrscheinlichkeiten.

Wir unterscheiden zwei wichtige Arten:

1. Die Verteilungsfunktion $F(k)$: Höchstens $k$ Treffer

$F(k) = P(X \leq k) = P(X = 0) + P(X = 1) + \ldots + P(X = k)$

Diese Funktion gibt an, wie wahrscheinlich es ist, $k$ oder weniger Treffer zu erzielen.

2. Die Gegenwahrscheinlichkeit: Mindestens $k$ Treffer

$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1) = 1 - F(k-1)$

Diese nutzt einen cleveren Trick: Statt viele Werte zu addieren, ziehst du die Gegenwahrscheinlichkeit von 1 ab.

DEFINITION

Die kumulierte Wahrscheinlichkeit $F(k) = P(X \leq k)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei einem Binomialexperiment höchstens $k$ Treffer zu erzielen. Sie ist die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten von $P(X = 0)$ bis $P(X = k)$. Mit ihr lassen sich auch Wahrscheinlichkeiten für “mindestens” oder “zwischen” berechnen.

Das Arbeiten mit der kumulierten Binomialtabelle

Für grössere Werte von $n$ verwendet man Tabellen. Diese zeigen die Werte von $F(k) = P(X \leq k)$ für verschiedene Kombinationen von $n$, $p$ und $k$.

So liest du eine solche Tabelle:

1. Suche die richtige Tabelle für dein $n$.
2. Finde die Spalte mit deinem $p$.
3. Lies den Wert in der Zeile mit deinem $k$ ab.

Beispiel-Ausschnitt einer Tabelle für $n = 10$:

$k$	$p = 0{,}1$	$p = 0{,}2$	$p = 0{,}3$	$p = 0{,}5$
0	0,3487	0,1074	0,0282	0,0010
1	0,7361	0,3758	0,1493	0,0107
2	0,9298	0,6778	0,3828	0,0547
3	0,9872	0,8791	0,6496	0,1719
4	0,9984	0,9672	0,8497	0,3770
5	0,9999	0,9936	0,9527	0,6230

Der Tabellenwert 0,6778 bei $k = 2$ und $p = 0{,}2$ bedeutet: $P(X \leq 2) = 0{,}6778$.

Die vier Standardfragen und ihre Lösungswege

Bei kumulierten Wahrscheinlichkeiten gibt es vier typische Fragestellungen. Hier ist dein Werkzeugkasten:

1. Höchstens $k$ Treffer: $P(X \leq k)$

Direkt aus der Tabelle ablesen: $F(k)$

2. Weniger als $k$ Treffer: $P(X < k)$

Eins weniger nehmen: $F(k-1)$

3. Mindestens $k$ Treffer: $P(X \geq k)$

Gegenwahrscheinlichkeit bilden: $1 - F(k-1)$

4. Mehr als $k$ Treffer: $P(X > k)$

Gegenwahrscheinlichkeit bilden: $1 - F(k)$

Bonus: Zwischen $a$ und $b$ Treffer: $P(a \leq X \leq b)$

Differenz bilden: $F(b) - F(a-1)$

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Grenzwert falsch einsetzen

Bei “mindestens 3” brauchst du $1 - F(2)$, nicht $1 - F(3)$. Frage dich immer: Ist die Grenze selbst noch dabei? Bei “mindestens 3” gehört die 3 dazu. Also ziehst du alles bis zur 2 ab.

Fehler 2: “Weniger als” mit “höchstens” verwechseln

“Weniger als 5” bedeutet $P(X < 5) = P(X \leq 4) = F(4)$. “Höchstens 5” bedeutet $P(X \leq 5) = F(5)$. Der Unterschied ist genau eine Stufe.

Fehler 3: Bei Intervallen den unteren Wert vergessen

Für $P(3 \leq X \leq 7)$ rechnest du $F(7) - F(2)$. Nicht $F(7) - F(3)$! Die 3 muss ja enthalten bleiben.

Beispiele

Beispiel 1: Qualitätskontrolle in einer Fabrik

Eine Maschine produziert Schrauben. Erfahrungsgemäss sind 10% der Schrauben fehlerhaft. Ein Prüfer entnimmt 10 Schrauben. Wie wahrscheinlich ist es, dass höchstens 2 Schrauben fehlerhaft sind?

Gegeben:

• $n = 10$ (Anzahl der Schrauben)
• $p = 0{,}1$ (Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Schraube)
• Gesucht: $P(X \leq 2)$

Lösung:

Wir lesen $F(2)$ aus der Tabelle für $n = 10$ und $p = 0{,}1$ ab.

$P(X \leq 2) = F(2) = 0{,}9298$

Antwort: Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 93% sind höchstens 2 Schrauben fehlerhaft.

Beispiel 2: Mindestens-Frage bei einem Multiple-Choice-Test

Ein Test besteht aus 10 Fragen mit je 5 Antwortmöglichkeiten. Lisa rät bei allen Fragen. Wie wahrscheinlich ist es, dass sie mindestens 4 Fragen richtig beantwortet?

Gegeben:

• $n = 10$ (Anzahl der Fragen)
• $p = 0{,}2$ (Wahrscheinlichkeit, durch Raten richtig zu liegen: $\frac{1}{5}$)
• Gesucht: $P(X \geq 4)$

Lösung:

Wir verwenden die Gegenwahrscheinlichkeit:

$P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - F(3)$

Aus der Tabelle für $n = 10$ und $p = 0{,}2$: $F(3) = 0{,}8791$

$P(X \geq 4) = 1 - 0{,}8791 = 0{,}1209$

Antwort: Lisa hat nur eine Wahrscheinlichkeit von etwa 12%, durch Raten mindestens 4 Fragen richtig zu beantworten.

Beispiel 3: Intervall-Wahrscheinlichkeit beim Würfeln

Ein Würfel wird 10-mal geworfen. Wie wahrscheinlich ist es, zwischen 2 und 5 Sechsen (einschliesslich) zu würfeln?

Gegeben:

• $n = 10$ (Anzahl der Würfe)
• $p = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$ (Da die Tabelle nur $p = 0{,}2$ hat, rechnen wir mit $p = 0{,}2$ als Näherung oder verwenden einen Taschenrechner. Für dieses Beispiel nehmen wir $p = 0{,}2$.)
• Gesucht: $P(2 \leq X \leq 5)$

Lösung:

Wir berechnen die Differenz:

$P(2 \leq X \leq 5) = F(5) - F(1)$

Aus der Tabelle für $n = 10$ und $p = 0{,}2$:

• $F(5) = 0{,}9936$
• $F(1) = 0{,}3758$

$P(2 \leq X \leq 5) = 0{,}9936 - 0{,}3758 = 0{,}6178$

Antwort: Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 62% werden zwischen 2 und 5 Sechsen gewürfelt.

Beispiel 4: Komplexere Aufgabe mit Umformung

Bei einer Tombola gewinnt jedes dritte Los. Marco kauft 10 Lose. Wie wahrscheinlich ist es, dass er mehr als 1, aber weniger als 6 Gewinne erzielt?

Gegeben:

• $n = 10$
• $p = \frac{1}{3} \approx 0{,}3$
• Gesucht: $P(1 < X < 6)$

Schritt 1: Ungleichung umformen

“Mehr als 1” bedeutet $X \geq 2$. “Weniger als 6” bedeutet $X \leq 5$.

Also suchen wir: $P(2 \leq X \leq 5)$

Schritt 2: Berechnung

$P(2 \leq X \leq 5) = F(5) - F(1)$

Aus der Tabelle für $n = 10$ und $p = 0{,}3$:

• $F(5) = 0{,}9527$
• $F(1) = 0{,}1493$

$P(2 \leq X \leq 5) = 0{,}9527 - 0{,}1493 = 0{,}8034$

Antwort: Marco erzielt mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 80% zwischen 2 und 5 Gewinne.

Das Wichtigste in Kürze

• Kumulierte Wahrscheinlichkeiten summieren Einzelwahrscheinlichkeiten auf. Die Verteilungsfunktion $F(k) = P(X \leq k)$ gibt die Wahrscheinlichkeit für höchstens $k$ Treffer an.

• Mindestens-Fragen löst du mit der Gegenwahrscheinlichkeit: $P(X \geq k) = 1 - F(k-1)$.

• Intervalle berechnest du als Differenz: $P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a-1)$.

• Achte auf die Grenzen: Prüfe immer, ob der Grenzwert selbst noch zum Bereich gehört. Das entscheidet, welchen Tabellenwert du verwendest.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Bei einem Binomialexperiment mit $n = 10$ und $p = 0{,}3$ gilt laut Tabelle $F(4) = 0{,}8497$. Was bedeutet dieser Wert?

Lösung anzeigen

Der Wert $F(4) = 0{,}8497$ bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für höchstens 4 Treffer bei etwa 85% liegt. Anders gesagt: $P(X \leq 4) = 0{,}8497$ oder $P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0{,}8497$.

❓ Frage: Gegeben ist $n = 10$, $p = 0{,}2$ und aus der Tabelle $F(2) = 0{,}6778$. Berechne $P(X \geq 3)$.

Lösung anzeigen

Wir nutzen die Gegenwahrscheinlichkeit:

$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - F(2) = 1 - 0{,}6778 = 0{,}3222$

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 3 Treffer beträgt etwa 32%.

❓ Frage: Ein Schütze trifft mit Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}5$ die Scheibe. Er schiesst 10-mal. Die Tabelle zeigt $F(3) = 0{,}1719$ und $F(6) = 0{,}8281$. Wie wahrscheinlich trifft er zwischen 4- und 6-mal (einschliesslich)?

Lösung anzeigen

Wir berechnen:

$P(4 \leq X \leq 6) = F(6) - F(3) = 0{,}8281 - 0{,}1719 = 0{,}6562$

Die Wahrscheinlichkeit, zwischen 4- und 6-mal zu treffen, beträgt etwa 66%.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt gelernt, wie du kumulierte Wahrscheinlichkeiten berechnest und Tabellen effizient nutzt. Im nächsten Schritt wirst du den Erwartungswert und die Standardabweichung der Binomialverteilung kennenlernen. Diese Kennzahlen beschreiben, wie viele Treffer du “im Durchschnitt” erwarten kannst und wie stark die Ergebnisse typischerweise streuen. Mit diesem Wissen kannst du dann auch beurteilen, ob ein beobachtetes Ergebnis ungewöhnlich ist oder im erwarteten Rahmen liegt.