Erwartungswert der Binomialverteilung: So berechnest du den Durchschnitt bei Zufallsexperimenten

Stell dir vor, du bist Torwart bei einem Elfmeterschiessen. Bei jedem Schuss hast du eine bestimmte Chance, den Ball zu halten. Wenn du in einer Saison 100 Elfmeter abwehrst, wie viele davon wirst du wohl halten? Du könntest jeden einzelnen Schuss aufschreiben und am Ende zählen – aber es gibt einen eleganteren Weg. Die Mathematik erlaubt dir, schon vorher eine fundierte Vorhersage zu treffen. Genau das macht der Erwartungswert der Binomialverteilung: Er sagt dir, welches Ergebnis du “im Durchschnitt” erwarten kannst, wenn du ein Zufallsexperiment oft genug wiederholst.

Vom Alltag zur Mathematik: Was bedeutet “erwarten”?

Bleiben wir beim Elfmeterschiessen. Angenommen, du hältst durchschnittlich jeden vierten Elfmeter. Das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von $p = 0{,}25$ oder $25\%$. Wenn du in einer Saison $n = 100$ Elfmeter abwehren musst, wie viele wirst du dann wohl halten?

Deine Intuition sagt vermutlich: “Etwa 25 Stück.” Und genau das ist der Erwartungswert! Er gibt dir die Anzahl der Erfolge an, mit der du im Durchschnitt rechnen kannst.

Natürlich wirst du nicht jedes Mal exakt 25 Elfmeter halten. Manchmal sind es 22, manchmal 28. Der Erwartungswert ist kein Versprechen, sondern ein Mittelwert. Wenn du die Saison 1000 Mal wiederholen könntest, würde sich dein Durchschnitt immer mehr diesem Wert annähern.

Die Verbindung zur Binomialverteilung

Der Erwartungswert gehört zur Binomialverteilung. Diese beschreibt Situationen, in denen du:

1. Ein Experiment $n$-mal durchführst (z.B. 100 Elfmeter)
2. Jedes Mal nur zwei Ausgänge möglich sind: Erfolg oder Misserfolg
3. Die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ bei jedem Versuch gleich bleibt
4. Die Versuche unabhängig voneinander sind

Beim Elfmeterschiessen passt das perfekt: Du wehrst ab (Erfolg) oder nicht (Misserfolg). Deine Haltequote bleibt gleich. Und ob du den ersten hältst, beeinflusst nicht den zweiten.

Die Formel für den Erwartungswert

Die gute Nachricht: Die Formel für den Erwartungswert der Binomialverteilung ist verblüffend einfach. Du brauchst keine komplizierten Rechnungen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

1. Bestimme die Anzahl der Versuche $n$
2. Bestimme die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$
3. Multipliziere beide Werte miteinander

DEFINITION

Für eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ mit $n$ Versuchen und Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gilt:

$$E(X) = \mu = n \cdot p$$

Dabei bedeuten:

• $E(X)$ oder $\mu$ (griechischer Buchstabe “mü”): der Erwartungswert
• $n$: die Anzahl der Versuche (muss eine natürliche Zahl sein)
• $p$: die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bei einem einzelnen Versuch (Wert zwischen 0 und 1)

Warum funktioniert diese Formel? Überlege: Wenn du bei jedem Versuch eine Chance von $p$ auf Erfolg hast und du $n$ Versuche durchführst, dann erwartest du bei jedem Versuch “im Mittel” genau $p$ Erfolge. Das summiert sich über alle Versuche zu $n \cdot p$.

Ein kurzes Rechenbeispiel

Zurück zum Elfmeterschiessen: Mit $n = 100$ und $p = 0{,}25$ ergibt sich:

$$E(X) = 100 \cdot 0{,}25 = 25$$

Du erwartest also durchschnittlich 25 gehaltene Elfmeter. Das deckt sich mit deiner Intuition!

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Den Erwartungswert als sichere Vorhersage verstehen

Der Erwartungswert ist ein Durchschnittswert, keine Garantie. Wenn $E(X) = 25$, bedeutet das nicht, dass du genau 25 Erfolge haben wirst. Es ist der Wert, um den sich die tatsächlichen Ergebnisse bei vielen Wiederholungen verteilen.

Fehler 2: Wahrscheinlichkeit als Prozentzahl einsetzen

Wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit $30\%$ beträgt, musst du $p = 0{,}3$ in die Formel einsetzen, nicht $p = 30$. Sonst wird dein Ergebnis 100-mal zu gross!

Fehler 3: Erwartungswert ohne Kontext interpretieren

Ein Erwartungswert von $E(X) = 3{,}7$ Erfolgen ist mathematisch korrekt, auch wenn du in der Realität nie genau 3,7 Erfolge haben kannst. Der Erwartungswert muss keine ganze Zahl sein – er beschreibt einen theoretischen Mittelwert.

Beispiele

Beispiel 1: Münzwurf

Du wirfst eine faire Münze $n = 50$ Mal. Wie viele Male erwartest du im Durchschnitt “Kopf”?

Lösung:

Eine faire Münze hat für “Kopf” die Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}5$.

Die Anzahl der Versuche ist $n = 50$.

Der Erwartungswert berechnet sich zu:

$$E(X) = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}5 = 25$$

Interpretation: Bei 50 Münzwürfen erwartest du im Durchschnitt 25-mal “Kopf”.

Beispiel 2: Qualitätskontrolle in einer Fabrik

Eine Maschine produziert Schrauben. Erfahrungsgemäss sind $2\%$ der Schrauben fehlerhaft. Ein Prüfer untersucht eine Stichprobe von $n = 500$ Schrauben. Wie viele fehlerhafte Schrauben erwartet er im Durchschnitt?

Lösung:

Die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Schraube beträgt $p = 0{,}02$ (nicht 2!).

Die Stichprobengrösse ist $n = 500$.

Der Erwartungswert berechnet sich zu:

$$E(X) = n \cdot p = 500 \cdot 0{,}02 = 10$$

Interpretation: Der Prüfer erwartet im Durchschnitt 10 fehlerhafte Schrauben in seiner Stichprobe. Findet er deutlich mehr, könnte ein Problem mit der Maschine vorliegen.

Beispiel 3: Multiple-Choice-Test mit Raten

Ein Multiple-Choice-Test besteht aus $n = 40$ Fragen. Jede Frage hat 4 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Ein Schüler rät bei jeder Frage zufällig.

a) Wie viele richtige Antworten erwartet er im Durchschnitt? b) Zum Bestehen braucht er mindestens 16 richtige Antworten. Ist Raten eine gute Strategie?

Lösung:

a) Bei zufälligem Raten beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort $p = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

Die Anzahl der Fragen ist $n = 40$.

Der Erwartungswert berechnet sich zu:

$$E(X) = n \cdot p = 40 \cdot 0{,}25 = 10$$

Der Schüler erwartet im Durchschnitt 10 richtige Antworten durch reines Raten.

b) Der Erwartungswert von 10 liegt deutlich unter der Bestehensgrenze von 16. Raten ist also keine gute Strategie! Selbst wenn er manchmal mehr als 10 richtige Antworten erzielt, wird er im Durchschnitt durchfallen.

Beispiel 4: Wettervorhersage für den Urlaub

Laut Statistik regnet es an der Mittelmeerküste im Juli an $15\%$ der Tage. Eine Familie plant einen 14-tägigen Urlaub. An wie vielen Tagen müssen sie im Durchschnitt mit Regen rechnen?

Lösung:

Die Regenwahrscheinlichkeit pro Tag beträgt $p = 0{,}15$.

Die Urlaubsdauer ist $n = 14$ Tage.

Der Erwartungswert berechnet sich zu:

$$E(X) = n \cdot p = 14 \cdot 0{,}15 = 2{,}1$$

Interpretation: Die Familie erwartet im Durchschnitt etwa 2 Regentage während ihres Urlaubs. Der Wert 2,1 zeigt: Es werden wahrscheinlich 2 oder 3 Tage sein. Der Erwartungswert muss nicht ganzzahlig sein – das ist völlig normal und mathematisch korrekt.

Der Erwartungswert im grösseren Bild

Der Erwartungswert ist nur einer von mehreren Kennwerten, mit denen du eine Binomialverteilung beschreiben kannst. Er sagt dir, wo das “Zentrum” der Verteilung liegt. Aber er verrät dir nicht, wie stark die einzelnen Ergebnisse um diesen Mittelwert streuen.

Stell dir zwei Szenarien vor:

Szenario A: Du wirfst eine Münze 100-mal. Der Erwartungswert für “Kopf” ist $E(X) = 50$.

Szenario B: Du wirfst einen Würfel 100-mal und zählst, wie oft die 6 erscheint. Der Erwartungswert ist $E(X) = 100 \cdot \frac{1}{6} \approx 16{,}7$.

In beiden Fällen gibt der Erwartungswert den Mittelwert an. Aber wie stark die tatsächlichen Ergebnisse davon abweichen, erfährst du erst durch die sogenannte Standardabweichung. Diese wirst du als Nächstes kennenlernen.

Das Wichtigste in Kürze

• Der Erwartungswert $E(X) = n \cdot p$ gibt die durchschnittlich erwartete Anzahl von Erfolgen bei einer Binomialverteilung an.
• Er ist ein theoretischer Mittelwert, keine Vorhersage für einen einzelnen Versuch.
• Die Wahrscheinlichkeit $p$ muss als Dezimalzahl (z.B. 0,3 statt 30%) in die Formel eingesetzt werden.
• Der Erwartungswert muss keine ganze Zahl sein – das ist mathematisch völlig in Ordnung.
• Je mehr Versuche du durchführst, desto näher wird dein tatsächliches Ergebnis im Durchschnitt am Erwartungswert liegen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Eine Würfelfabrik prüft 200 Würfel auf Fehler. Erfahrungsgemäss sind 5% der Würfel fehlerhaft. Berechne den Erwartungswert für die Anzahl fehlerhafter Würfel.

Lösung anzeigen

Gegeben: $n = 200$ und $p = 0{,}05$

$$E(X) = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}05 = 10$$

Die Fabrik erwartet im Durchschnitt 10 fehlerhafte Würfel.

❓ Frage: Bei einem Glücksrad ist ein Viertel des Rades rot gefärbt. Das Rad wird 60-mal gedreht. Der Erwartungswert für “rot” beträgt $E(X) = 20$. Ist diese Aussage richtig? Begründe.

Lösung anzeigen

Überprüfung: $n = 60$, $p = \frac{1}{4} = 0{,}25$

$$E(X) = n \cdot p = 60 \cdot 0{,}25 = 15$$

Die Aussage ist falsch. Der korrekte Erwartungswert beträgt 15, nicht 20.

❓ Frage: Ein Basketballspieler hat eine Freiwurfquote von 80%. In einem Spiel wirft er 15 Freiwürfe. a) Wie lautet der Erwartungswert für Treffer? b) Warum wird er wahrscheinlich nicht genau so viele Treffer erzielen?

Lösung anzeigen

a) Gegeben: $n = 15$, $p = 0{,}80$

$$E(X) = n \cdot p = 15 \cdot 0{,}80 = 12$$

Der Erwartungswert beträgt 12 Treffer.

b) Der Erwartungswert ist ein Durchschnittswert über viele Spiele hinweg. In einem einzelnen Spiel unterliegt das Ergebnis dem Zufall. Der Spieler könnte 10, 12, 14 oder eine andere Anzahl Treffer erzielen. Erst über viele Spiele hinweg würde sich der Durchschnitt dem Wert 12 annähern.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du kennst jetzt den Erwartungswert – er zeigt dir, wo das “Zentrum” der Binomialverteilung liegt. Aber wie weit streuen die einzelnen Ergebnisse um diesen Mittelwert? Diese Frage beantwortet die Varianz und die daraus abgeleitete Standardabweichung.

Die Standardabweichung der Binomialverteilung folgt der Formel $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$. Mit ihr kannst du einschätzen, in welchem Bereich die meisten Ergebnisse liegen werden. Zusammen mit dem Erwartungswert erhältst du so ein vollständiges Bild der Binomialverteilung.

Ausserdem wirst du lernen, wie du mit der sogenannten Sigma-Regel Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ergebnisbereiche schnell abschätzen kannst – ein mächtiges Werkzeug für Prüfungen und praktische Anwendungen.