Binomialverteilung einfach erklärt: So meisterst du Bernoulli-Experimente

Stell dir vor, du wirfst eine Münze zehn Mal hintereinander. Wie wahrscheinlich ist es, dass du genau sechsmal Kopf bekommst? Oder denk an einen Basketballspieler, der eine Freiwurf-Quote von 80% hat. Wie gross ist die Chance, dass er bei fünf Würfen mindestens vier trifft?

Solche Fragen begegnen uns ständig im Alltag. Jedes Mal, wenn wir ein Ereignis mit zwei möglichen Ausgängen mehrfach wiederholen, steckt dahinter ein mathematisches Muster. Dieses Muster hat einen Namen: die Binomialverteilung. Sie ist eines der mächtigsten Werkzeuge der Wahrscheinlichkeitsrechnung und hilft dir, solche Fragen präzise zu beantworten.

Was ist ein Bernoulli-Experiment?

Bevor wir zur Binomialverteilung kommen, müssen wir verstehen, was ein Bernoulli-Experiment ist. Der Name stammt vom Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli.

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen. Wir nennen sie üblicherweise Erfolg und Misserfolg. Das klingt vielleicht etwas abstrakt. Schauen wir uns konkrete Beispiele an:

• Münzwurf: Kopf (Erfolg) oder Zahl (Misserfolg)
• Würfeln einer 6: Sechs (Erfolg) oder keine Sechs (Misserfolg)
• Qualitätskontrolle: Produkt funktioniert (Erfolg) oder defekt (Misserfolg)
• Medizin: Patient wird gesund (Erfolg) oder nicht (Misserfolg)

Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bezeichnen wir mit dem Buchstaben $p$. Die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg ist dann automatisch $1 - p$. Wir kürzen sie oft mit $q$ ab.

Bei einem fairen Münzwurf gilt zum Beispiel $p = 0{,}5$ und $q = 0{,}5$. Beim Würfeln einer Sechs ist $p = \frac{1}{6}$ und $q = \frac{5}{6}$.

DEFINITION

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ausgängen: Erfolg (mit Wahrscheinlichkeit $p$) und Misserfolg (mit Wahrscheinlichkeit $q = 1 - p$). Wichtig: Die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ bleibt bei jeder Durchführung gleich.

Von einem Versuch zu vielen: Die Bernoulli-Kette

Ein einzelner Münzwurf ist noch nicht besonders spannend. Interessant wird es, wenn wir das Experiment mehrfach hintereinander durchführen. Genau das ist eine Bernoulli-Kette.

Stell dir vor, du wirfst eine Münze fünfmal. Jeder einzelne Wurf ist ein Bernoulli-Experiment. Die Aneinanderreihung aller fünf Würfe bildet eine Bernoulli-Kette der Länge $n = 5$.

Für eine Bernoulli-Kette gelten drei entscheidende Bedingungen:

1. Jeder Einzelversuch ist ein Bernoulli-Experiment (nur zwei Ausgänge möglich)
2. Die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ bleibt konstant (ändert sich nicht von Versuch zu Versuch)
3. Die Versuche sind unabhängig voneinander (das Ergebnis eines Versuchs beeinflusst die anderen nicht)

Die dritte Bedingung ist besonders wichtig. Wenn du beim Münzwurf dreimal hintereinander Kopf hattest, ändert das nichts an der Wahrscheinlichkeit für den nächsten Wurf. Die Münze hat kein Gedächtnis. Das ist ein häufiger Denkfehler.

Die Binomialverteilung: Die grosse Formel

Jetzt kommt die zentrale Frage: Wie berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Erfolge bei $n$ Versuchen?

Nehmen wir ein konkretes Beispiel. Du wirfst eine Münze dreimal. Wie wahrscheinlich ist genau zweimal Kopf?

Die möglichen Reihenfolgen für zweimal Kopf (K) und einmal Zahl (Z) sind:

• K, K, Z
• K, Z, K
• Z, K, K

Das sind drei verschiedene Möglichkeiten. Jede einzelne hat die Wahrscheinlichkeit $0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}125$.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist also $3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375$.

Für grössere Zahlen wird das Abzählen schnell mühsam. Deshalb gibt es eine allgemeine Formel.

DEFINITION

Die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Erfolge bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ berechnet sich mit:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot \left(1-p\right)^{n-k}$

Dabei bedeuten:

• $n$ = Anzahl der Versuche
• $k$ = gewünschte Anzahl an Erfolgen
• $p$ = Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Versuch
• $\binom{n}{k}$ = Binomialkoeffizient (“n über k”)

Der Binomialkoeffizient: Möglichkeiten zählen

Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ gibt an, auf wie viele Arten du $k$ Erfolge auf $n$ Versuche verteilen kannst. Er beantwortet die Frage: “Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es?”

Die Berechnung erfolgt mit der Formel:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot \left(n-k\right)!}$

Das Ausrufezeichen steht für die Fakultät. Sie bedeutet, dass du alle natürlichen Zahlen von 1 bis zu dieser Zahl multiplizierst:

$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

Für unser Münzbeispiel mit $n = 3$ und $k = 2$:

$\binom{3}{2} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{6}{2 \cdot 1} = 3$

Das passt zu unseren drei abgezählten Möglichkeiten von vorhin.

Viele Taschenrechner haben eine eigene Taste für den Binomialkoeffizienten. Sie heisst oft “nCr” (n choose r).

So rechnest du mit der Binomialverteilung

Hier ist deine Schritt-für-Schritt-Anleitung für jede Aufgabe zur Binomialverteilung:

1. Prüfe, ob eine Bernoulli-Kette vorliegt (zwei Ausgänge, konstantes $p$, unabhängige Versuche)
2. Identifiziere die Parameter: Was ist $n$? Was ist $p$? Was ist $k$?
3. Berechne den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$
4. Setze alles in die Formel ein und rechne aus
5. Interpretiere das Ergebnis im Kontext der Aufgabe

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest:

1. Verwechslung von $n$ und $k$: Merke dir: $n$ ist die Gesamtzahl der Versuche, $k$ ist die Anzahl der gewünschten Erfolge. $k$ kann nie grösser als $n$ sein.

2. Falsche Wahrscheinlichkeit $p$: Definiere klar, was du als “Erfolg” bezeichnest. Die Wahrscheinlichkeit muss zu genau dieser Definition passen.

3. Vergessen des Binomialkoeffizienten: Manche rechnen nur $p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ und vergessen den Faktor $\binom{n}{k}$. Das liefert nur die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Reihenfolge, nicht für alle.

4. “Mindestens” und “höchstens” übersehen: Bei solchen Formulierungen musst du mehrere Wahrscheinlichkeiten addieren. Mehr dazu in den Beispielen.

Beispiele

Beispiel 1: Der Münzwurf

Du wirfst eine faire Münze sechsmal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für genau viermal Kopf?

Schritt 1: Parameter bestimmen

• $n = 6$ (sechs Würfe)
• $k = 4$ (viermal Kopf gewünscht)
• $p = 0{,}5$ (faire Münze)

Schritt 2: Binomialkoeffizient berechnen

$\binom{6}{4} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{720}{24 \cdot 2} = \frac{720}{48} = 15$

Schritt 3: In die Formel einsetzen

$P(X = 4) = 15 \cdot 0{,}5^4 \cdot 0{,}5^2$

$P(X = 4) = 15 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}25$

$P(X = 4) = 0{,}234375$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 23,4%.

Beispiel 2: Qualitätskontrolle in der Fabrik

Eine Maschine produziert Schrauben. Erfahrungsgemäss sind 5% aller Schrauben fehlerhaft. Ein Prüfer entnimmt zufällig 10 Schrauben. Wie wahrscheinlich ist es, dass genau eine davon fehlerhaft ist?

Schritt 1: Ist das eine Bernoulli-Kette?

• Zwei Ausgänge: fehlerhaft (Erfolg) oder einwandfrei (Misserfolg) ✓
• Konstantes $p$: 5% Fehlerquote bleibt gleich ✓
• Unabhängigkeit: Bei grosser Produktion vernachlässigbar ✓

Schritt 2: Parameter bestimmen

• $n = 10$
• $k = 1$
• $p = 0{,}05$

Schritt 3: Binomialkoeffizient berechnen

$\binom{10}{1} = \frac{10!}{1! \cdot 9!} = 10$

Schritt 4: In die Formel einsetzen

$P(X = 1) = 10 \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^9$

$P(X = 1) = 10 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}6302$

$P(X = 1) = 0{,}3151$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit für genau eine fehlerhafte Schraube beträgt etwa 31,5%.

Beispiel 3: Mindestens-Aufgabe beim Basketball

Ein Basketballspieler hat eine Freiwurfquote von 70%. Er wirft fünfmal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens vier Treffer erzielt?

“Mindestens vier” bedeutet: genau vier ODER genau fünf Treffer.

Wir müssen also $P(X = 4) + P(X = 5)$ berechnen.

Für $k = 4$:

$\binom{5}{4} = 5$

$P(X = 4) = 5 \cdot 0{,}7^4 \cdot 0{,}3^1 = 5 \cdot 0{,}2401 \cdot 0{,}3 = 0{,}36015$

Für $k = 5$:

$\binom{5}{5} = 1$

$P(X = 5) = 1 \cdot 0{,}7^5 \cdot 0{,}3^0 = 1 \cdot 0{,}16807 \cdot 1 = 0{,}16807$

Gesamtwahrscheinlichkeit:

$P(X \geq 4) = 0{,}36015 + 0{,}16807 = 0{,}52822$

Antwort: Mit etwa 52,8% Wahrscheinlichkeit trifft der Spieler mindestens viermal.

Beispiel 4: Höchstens-Aufgabe mit dem Gegenereignis

Bei einem Multiple-Choice-Test hat jede Frage vier Antwortmöglichkeiten. Ein Schüler rät bei allen 8 Fragen zufällig. Wie wahrscheinlich ist es, dass er höchstens zwei Fragen richtig beantwortet?

Parameter:

• $n = 8$
• $p = 0{,}25$ (eine von vier Antworten ist richtig)
• “Höchstens zwei” bedeutet $k = 0$ oder $k = 1$ oder $k = 2$

Für $k = 0$:

$P(X = 0) = \binom{8}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^8 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}1001 = 0{,}1001$

Für $k = 1$:

$P(X = 1) = \binom{8}{1} \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^7 = 8 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}1335 = 0{,}2670$

Für $k = 2$:

$P(X = 2) = \binom{8}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^6 = 28 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}1780 = 0{,}3115$

Gesamtwahrscheinlichkeit:

$P(X \leq 2) = 0{,}1001 + 0{,}2670 + 0{,}3115 = 0{,}6786$

Antwort: Mit etwa 67,9% Wahrscheinlichkeit errät der Schüler höchstens zwei Fragen richtig.

Der Erwartungswert und die Standardabweichung

Neben einzelnen Wahrscheinlichkeiten interessieren uns oft auch Durchschnittswerte. Der Erwartungswert $\mu$ gibt an, wie viele Erfolge wir im Mittel erwarten.

$\mu = n \cdot p$

Wirfst du eine faire Münze 100-mal, erwartest du im Durchschnitt $100 \cdot 0{,}5 = 50$ Mal Kopf.

Die Standardabweichung $\sigma$ misst, wie stark die Ergebnisse typischerweise vom Erwartungswert abweichen.

$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot \left(1-p\right)}$

Für unser Münzbeispiel:

$\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{25} = 5$

Das bedeutet: Die meisten Ergebnisse liegen etwa zwischen 45 und 55 Mal Kopf.

Wann ist die Binomialverteilung anwendbar?

Nicht jede Aufgabe lässt sich mit der Binomialverteilung lösen. Prüfe immer diese Checkliste:

• Gibt es genau zwei mögliche Ausgänge pro Versuch?
• Bleibt die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ bei jedem Versuch gleich?
• Sind die einzelnen Versuche unabhängig voneinander?

Ein Gegenbeispiel: Du ziehst nacheinander 5 Karten aus einem Stapel von 52 Karten, ohne sie zurückzulegen. Die Wahrscheinlichkeit ändert sich mit jeder Ziehung. Das ist keine Bernoulli-Kette. Hier brauchst du die hypergeometrische Verteilung.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein Bernoulli-Experiment hat genau zwei Ausgänge: Erfolg (Wahrscheinlichkeit $p$) und Misserfolg (Wahrscheinlichkeit $1-p$).
• Eine Bernoulli-Kette ist die $n$-fache unabhängige Wiederholung eines Bernoulli-Experiments bei konstantem $p$.
• Die Binomialverteilung berechnet die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Erfolge: $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
• Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ zählt die möglichen Anordnungen.
• Bei “mindestens” oder “höchstens” addierst du mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Eine Würfel wird viermal geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, genau zweimal eine 6 zu würfeln? Runde auf drei Dezimalstellen.

Lösung anzeigen

Lösung: Mit $n = 4$, $k = 2$ und $p = \frac{1}{6}$:

$P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} \approx 0{,}116$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 11,6%.

❓ Frage: Bei einem Bernoulli-Experiment ist $p = 0{,}4$. Du führst es 20-mal durch. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung.

Lösung anzeigen

Erwartungswert:

$\mu = n \cdot p = 20 \cdot 0{,}4 = 8$

Standardabweichung:

$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6} = \sqrt{4{,}8} \approx 2{,}19$

Du erwartest im Mittel 8 Erfolge mit einer Standardabweichung von etwa 2,19.

❓ Frage: Erkläre in eigenen Worten, warum der Binomialkoeffizient in der Formel der Binomialverteilung benötigt wird.

Lösung anzeigen

Der Binomialkoeffizient zählt, auf wie viele verschiedene Arten die $k$ Erfolge auf die $n$ Versuche verteilt werden können.

Ohne ihn würden wir nur die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Reihenfolge berechnen (z.B. erst alle Erfolge, dann alle Misserfolge). Da uns aber die Reihenfolge egal ist und wir nur die Anzahl der Erfolge interessiert, müssen wir alle möglichen Anordnungen berücksichtigen. Genau das leistet der Binomialkoeffizient.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Die Binomialverteilung ist ein Grundpfeiler der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Darauf aufbauend wirst du in den nächsten Klassenstufen weitere Konzepte kennenlernen.

Mit der kumulierten Binomialverteilung berechnest du Wahrscheinlichkeiten wie $P(X \leq k)$ effizienter. Statt viele Einzelwerte zu addieren, nutzt du Tabellen oder den Taschenrechner.

Das Testen von Hypothesen verwendet die Binomialverteilung, um wissenschaftliche Fragen zu beantworten. Zum Beispiel: Ist eine Münze wirklich fair, wenn bei 100 Würfen 65-mal Kopf fällt?

Bei sehr grossen $n$ wird die Berechnung mit der Binomialformel unpraktisch. Dann hilft die Normalverteilung als Näherung. Diese Approximation ist ein wichtiges Werkzeug in der Statistik und begegnet dir in der Oberstufe.