Vektoren einfach erklärt: Dein Einstieg in die analytische Geometrie

Stell dir vor, du spielst ein Videospiel und musst deiner Spielfigur sagen, wohin sie laufen soll. “Geh nach rechts” reicht nicht aus – du musst auch angeben, wie weit. “Geh 5 Schritte nach rechts und 3 Schritte nach oben” ist eine viel präzisere Anweisung. Genau das ist die Grundidee eines Vektors: eine Anweisung, die sowohl eine Richtung als auch eine Länge enthält. In der Mathematik nutzen wir Vektoren, um Bewegungen, Kräfte und Positionen im Raum exakt zu beschreiben. Lass uns gemeinsam entdecken, wie du mit diesem mächtigen Werkzeug arbeitest.

Was ist ein Vektor?

Im Alltag beschreibst du Wege oft mit Richtungsangaben. “Das Kino ist 500 Meter nördlich” enthält zwei Informationen: die Richtung (Norden) und die Entfernung (500 Meter). Ein Vektor macht genau das – nur mathematisch präzise.

Denke an einen Pfeil. Der Pfeil hat einen Startpunkt und einen Endpunkt. Die Richtung des Pfeils zeigt, wohin es geht. Die Länge des Pfeils zeigt, wie weit es geht. In der Mathematik schreiben wir Vektoren nicht als Pfeile, sondern als Zahlenkolonnen.

Ein Vektor in der Ebene (2D) sieht so aus:

$\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

Das bedeutet: Gehe 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben.

Ein Vektor im Raum (3D) hat eine zusätzliche Komponente:

$\vec{w} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$

Das bedeutet: Gehe 4 Einheiten nach rechts, 1 Einheit nach hinten und 5 Einheiten nach oben.

DEFINITION

Ein Vektor ist eine gerichtete Grösse, die durch Betrag (Länge) und Richtung bestimmt ist. Wir schreiben Vektoren als Spalten von Zahlen, die Komponenten genannt werden. Die erste Komponente gibt die Verschiebung in $x$-Richtung an, die zweite in $y$-Richtung und die dritte (falls vorhanden) in $z$-Richtung. Vektoren werden mit einem Pfeil über dem Buchstaben gekennzeichnet: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{v}$.

Ortsvektoren und Verbindungsvektoren

Es gibt zwei wichtige Arten, Vektoren zu verwenden. Der Unterschied liegt im Startpunkt.

Ein Ortsvektor startet immer im Koordinatenursprung $O = (0, 0)$ oder $O = (0, 0, 0)$. Er zeigt direkt auf einen Punkt im Koordinatensystem. Wenn ein Punkt $P$ die Koordinaten $(3, 5)$ hat, dann ist sein Ortsvektor:

$\vec{OP} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$

Ein Verbindungsvektor verbindet zwei beliebige Punkte. Er beschreibt, wie du von einem Punkt zum anderen kommst. Den Verbindungsvektor von Punkt $A$ zu Punkt $B$ berechnest du so:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

Das heisst: Nimm die Koordinaten des Endpunkts und ziehe die Koordinaten des Startpunkts ab.

Beispiel 1: Verbindungsvektor berechnen

Gegeben sind die Punkte $A = (2, 1)$ und $B = (5, 4)$.

Berechne den Verbindungsvektor $\vec{AB}$.

Lösung:

Wir subtrahieren die Koordinaten von $A$ von den Koordinaten von $B$:

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 4 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

Der Vektor $\vec{AB}$ sagt uns: Um von $A$ nach $B$ zu gelangen, gehen wir 3 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben.

Die Länge eines Vektors – der Betrag

Wie lang ist ein Vektor? Diese Frage beantwortet der Betrag eines Vektors. Der Betrag entspricht der Länge des Pfeils.

Für einen 2D-Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ nutzen wir den Satz des Pythagoras:

$|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Für einen 3D-Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ erweitern wir die Formel:

$|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Die senkrechten Striche $| \cdot |$ bedeuten “Betrag von”.

Beispiel 2: Betrag eines Vektors berechnen

Berechne den Betrag des Vektors $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.

Lösung:

Wir setzen die Komponenten in die Formel ein:

$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2}$

$|\vec{v}| = \sqrt{9 + 16}$

$|\vec{v}| = \sqrt{25}$

$|\vec{v}| = 5$

Der Vektor hat die Länge 5.

Beispiel 3: Betrag eines 3D-Vektors

Berechne den Betrag des Vektors $\vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Lösung:

$|\vec{w}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}$

$|\vec{w}| = \sqrt{4 + 4 + 1}$

$|\vec{w}| = \sqrt{9}$

$|\vec{w}| = 3$

Beachte: Auch negative Komponenten werden quadriert und ergeben positive Werte.

Rechnen mit Vektoren

Vektoren können addiert, subtrahiert und mit Zahlen multipliziert werden. Diese Operationen sind einfacher, als sie klingen.

Vektoren addieren

Bei der Addition addierst du die Komponenten einzeln:

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{pmatrix}$

Anschaulich bedeutet das: Du gehst zuerst den Weg, den $\vec{a}$ beschreibt, und dann den Weg, den $\vec{b}$ beschreibt.

Vektoren subtrahieren

Bei der Subtraktion subtrahierst du die Komponenten einzeln:

$\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \end{pmatrix}$

Skalarmultiplikation

Bei der Multiplikation mit einer Zahl (Skalar) multiplizierst du jede Komponente mit dieser Zahl:

$k \cdot \vec{a} = k \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot a_1 \\ k \cdot a_2 \end{pmatrix}$

Ein Faktor $k > 1$ streckt den Vektor. Ein Faktor $0 < k < 1$ staucht ihn. Ein negativer Faktor dreht den Vektor um.

Beispiel 4: Rechnen mit Vektoren

Gegeben sind $\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Berechne:

• $\vec{a} + \vec{b}$
• $\vec{a} - \vec{b}$
• $3 \cdot \vec{b}$

Lösung:

Addition: $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 + 1 \\ -2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

Subtraktion: $\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ -2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$

Skalarmultiplikation: $3 \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix}$

Der Mittelpunkt einer Strecke

Mit Vektoren kannst du elegant den Mittelpunkt einer Strecke berechnen. Der Mittelpunkt $M$ zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ liegt genau in der Mitte.

Die Formel lautet:

$\vec{OM} = \frac{1}{2} \cdot \left( \vec{OA} + \vec{OB} \right)$

Oder in Koordinaten ausgedrückt: Du bildest den Durchschnitt der Koordinaten.

Beispiel 5: Mittelpunkt berechnen

Bestimme den Mittelpunkt $M$ der Strecke zwischen $A = (1, 3)$ und $B = (7, 9)$.

Lösung:

Wir berechnen den Mittelpunkt komponentenweise:

$x_M = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_M = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Der Mittelpunkt ist $M = (4, 6)$.

Probe mit Vektoren:

$\vec{OM} = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$

Parallele und kollineare Vektoren

Zwei Vektoren sind parallel (oder kollinear), wenn sie in die gleiche oder genau entgegengesetzte Richtung zeigen. Mathematisch bedeutet das: Ein Vektor ist ein Vielfaches des anderen.

$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} = k \cdot \vec{b} \text{ für ein } k \in \mathbb{R}$

Um zu prüfen, ob zwei Vektoren parallel sind, teilst du die entsprechenden Komponenten durcheinander. Wenn alle Quotienten gleich sind, sind die Vektoren parallel.

Beispiel 6: Parallelität prüfen

Sind die Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ parallel?

Lösung:

Wir prüfen, ob $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ für ein $k$ gilt:

$\frac{6}{2} = 3$

$\frac{9}{3} = 3$

Beide Quotienten sind gleich ($k = 3$). Die Vektoren sind parallel.

Es gilt: $\vec{a} = 3 \cdot \vec{b}$

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Verwechslung von $\vec{AB}$ und $\vec{BA}$

Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt von $A$ nach $B$. Der Vektor $\vec{BA}$ zeigt von $B$ nach $A$. Diese beiden Vektoren haben die gleiche Länge, aber entgegengesetzte Richtung. Es gilt: $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Achte immer darauf, welcher Punkt der Start- und welcher der Endpunkt ist.

Fehler 2: Vergessen des Minuszeichens beim Betrag

Beim Berechnen des Betrags werden alle Komponenten quadriert. Dadurch werden negative Werte positiv. Vergiss nicht, auch negative Komponenten korrekt einzusetzen: $(-3)^2 = 9$, nicht $-9$.

Fehler 3: Reihenfolge bei der Subtraktion vertauscht

Bei $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$ wird immer “Endpunkt minus Startpunkt” gerechnet. Viele Schüler rechnen versehentlich $\vec{OA} - \vec{OB}$ und erhalten den falschen Vektor.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein Vektor ist eine gerichtete Grösse mit Betrag (Länge) und Richtung. Er wird als Spalte von Zahlen geschrieben.
• Der Verbindungsvektor $\vec{AB}$ berechnet sich durch: Endpunkt minus Startpunkt.
• Der Betrag eines Vektors ist seine Länge: $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}$ (2D) oder $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ (3D).
• Bei Vektoroperationen (Addition, Subtraktion, Skalarmultiplikation) rechnest du komponentenweise.
• Zwei Vektoren sind parallel, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Berechne den Verbindungsvektor $\vec{PQ}$ für die Punkte $P = (3, -1)$ und $Q = (7, 4)$.

Lösung anzeigen

$\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 7 - 3 \\ 4 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

❓ Frage: Wie lang ist der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$?

Lösung anzeigen

$|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

Der Vektor hat die Länge 13.

❓ Frage: Gegeben sind $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$. Berechne $\vec{a} + 2 \cdot \vec{b}$.

Lösung anzeigen

Zuerst berechnen wir $2 \cdot \vec{b}$: $2 \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix}$

Dann addieren wir: $\vec{a} + 2 \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 + (-2) \\ -3 + 8 \\ 1 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt die Grundlagen der Vektorrechnung gemeistert. Im nächsten Schritt lernst du das Skalarprodukt kennen. Mit diesem Werkzeug kannst du Winkel zwischen Vektoren berechnen und prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Ausserdem wirst du Geraden im Raum mit Hilfe von Vektoren beschreiben. Die Vektorrechnung wird dein ständiger Begleiter in der Geometrie – und später auch in der Physik, Informatik und Technik.