Rechnen mit Vektoren: Dein Einstieg in die analytische Geometrie

Stell dir vor, du spielst ein Videospiel und steuerst deine Spielfigur durch eine Welt. Du drückst erst “3 Felder nach rechts”, dann “2 Felder nach oben”. Die Spielfigur landet an einem ganz bestimmten Punkt. Jetzt stell dir vor, du müsstest einem Freund erklären, wo die Figur jetzt steht – nicht den Weg, sondern direkt das Ergebnis. Genau dafür gibt es in der Mathematik Vektoren. Sie beschreiben Verschiebungen, Richtungen und Bewegungen auf eine extrem praktische Weise. Mit ihnen kannst du Wege kombinieren, verkürzen oder verlängern – und das alles mit einfachen Rechenregeln. In diesem Kapitel lernst du, wie du Vektoren addierst, subtrahierst und mit Zahlen multiplizierst.

Was ist eigentlich ein Vektor?

Bevor wir rechnen, müssen wir verstehen, was ein Vektor ist. Zurück zu unserem Videospiel: Die Anweisung “3 Felder nach rechts und 2 Felder nach oben” ist mehr als nur eine Zahl. Sie hat eine Richtung und eine Länge (wie weit du gehst). Genau das macht einen Vektor aus.

Ein Vektor ist ein Pfeil, der zwei Informationen enthält:

1. Richtung: Wohin zeigt der Pfeil?
2. Betrag (Länge): Wie lang ist der Pfeil?

In der Mathematik schreiben wir Vektoren als Spalten von Zahlen. Ein Vektor in der Ebene (2D) hat zwei Komponenten, ein Vektor im Raum (3D) hat drei.

Der Vektor “3 nach rechts, 2 nach oben” wird so geschrieben:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

Das kleine Pfeilchen über dem $a$ zeigt an, dass es sich um einen Vektor handelt. Die obere Zahl (hier 3) gibt die Verschiebung in $x$-Richtung an, die untere Zahl (hier 2) die Verschiebung in $y$-Richtung.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Komponente für die $z$-Richtung hinzu:

$\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix}$

Dieser Vektor beschreibt eine Verschiebung um 1 in $x$-Richtung, um 4 entgegen der $y$-Richtung (daher negativ) und um 5 in $z$-Richtung.

DEFINITION

Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das durch seine Richtung und seinen Betrag (Länge) definiert ist. Er wird durch eine geordnete Liste von Zahlen dargestellt, die seine Komponenten heissen. In der Ebene hat ein Vektor zwei Komponenten, im Raum drei:

$\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \quad \text{(2D)} \qquad \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \quad \text{(3D)}$

Dabei ist $v_1$ die $x$-Komponente, $v_2$ die $y$-Komponente und $v_3$ die $z$-Komponente.

Vektoren addieren – Wege kombinieren

Stell dir vor, du gehst zuerst den Weg $\vec{a}$, dann den Weg $\vec{b}$. Wo landest du insgesamt? Die Antwort liefert die Vektoraddition. Du kombinierst beide Verschiebungen zu einer einzigen Gesamtverschiebung.

Die Regel ist verblüffend einfach: Du addierst die Vektoren komponentenweise. Das bedeutet, du addierst die ersten Komponenten miteinander, dann die zweiten, und so weiter.

Für zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ in der Ebene gilt:

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{pmatrix}$

Grafisch kannst du dir das so vorstellen: Du zeichnest den ersten Vektor. An seine Spitze hängst du den zweiten Vektor dran. Der Ergebnisvektor (auch Summenvektor genannt) zeigt vom Startpunkt des ersten Vektors direkt zur Spitze des zweiten.

Beispiel 1: Addition in der Ebene

Gegeben sind die Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Berechne $\vec{a} + \vec{b}$.

Lösung:

Wir addieren komponentenweise:

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + (-2) \\ 1 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

Der Summenvektor lautet $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$. Das bedeutet: Wenn du erst 4 nach rechts und 1 nach oben gehst, dann 2 nach links und 3 nach oben, landest du insgesamt bei 2 nach rechts und 4 nach oben.

Beispiel 2: Addition im Raum

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Berechne $\vec{u} + \vec{v}$.

Lösung:

$\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 \\ -3 + 7 \\ 5 + (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

Das Prinzip bleibt identisch: Jede Komponente wird einzeln addiert.

Vektoren subtrahieren – den Unterschied finden

Was passiert, wenn du wissen möchtest, wie du von einem Punkt zu einem anderen kommst? Oder welcher Vektor die Differenz zwischen zwei Verschiebungen darstellt? Dann brauchst du die Vektorsubtraktion.

Auch hier ist die Regel simpel: Du subtrahierst komponentenweise.

$\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \end{pmatrix}$

Grafisch bedeutet $\vec{a} - \vec{b}$: Der Vektor, der von der Spitze von $\vec{b}$ zur Spitze von $\vec{a}$ zeigt (wenn beide am gleichen Punkt starten).

Eine wichtige Anwendung: Du hast zwei Punkte $A$ und $B$ und möchtest den Vektor $\overrightarrow{AB}$ berechnen, der von $A$ nach $B$ zeigt. Die Formel lautet:

$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

Dabei ist $\vec{a}$ der Ortsvektor von $A$ und $\vec{b}$ der Ortsvektor von $B$. Ein Ortsvektor ist einfach der Vektor vom Ursprung $(0,0)$ bzw. $(0,0,0)$ zu einem Punkt.

Beispiel 3: Subtraktion und Verbindungsvektor

Gegeben sind die Punkte $A(3, 1)$ und $B(7, 4)$. Berechne den Vektor $\overrightarrow{AB}$.

Lösung:

Die Ortsvektoren sind: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}$

Der Verbindungsvektor von $A$ nach $B$ ist: $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 3 \\ 4 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

Um von $A$ nach $B$ zu gelangen, gehst du also 4 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben.

DEFINITION

Vektoren werden komponentenweise addiert und subtrahiert:

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix} \qquad \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \\ a_3 - b_3 \end{pmatrix}$

Der Verbindungsvektor von Punkt $A$ nach Punkt $B$ lautet: $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ (Ziel minus Start).

Skalarmultiplikation – Vektoren strecken und stauchen

Manchmal möchtest du einen Vektor verlängern, verkürzen oder seine Richtung umkehren. Dafür multiplizierst du ihn mit einer Zahl, die in diesem Kontext Skalar genannt wird.

Die Regel: Du multiplizierst jede Komponente des Vektors mit dem Skalar.

$r \cdot \vec{a} = r \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cdot a_1 \\ r \cdot a_2 \\ r \cdot a_3 \end{pmatrix}$

Was bewirkt das geometrisch?

• $r > 1$: Der Vektor wird gestreckt (länger).
• $0 < r < 1$: Der Vektor wird gestaucht (kürzer).
• $r < 0$: Der Vektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung.
• $r = -1$: Der Vektor wird exakt umgekehrt. Dieser spezielle Vektor heisst Gegenvektor und wird als $-\vec{a}$ geschrieben.

Beispiel 4: Skalarmultiplikation

Gegeben ist der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$.

Berechne: a) $3 \cdot \vec{v}$ b) $-2 \cdot \vec{v}$ c) $\frac{1}{2} \cdot \vec{v}$

Lösung:

a) $3 \cdot \vec{v} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot (-1) \\ 3 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix}$

Der Vektor ist dreimal so lang wie $\vec{v}$ und zeigt in dieselbe Richtung.

b) $-2 \cdot \vec{v} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -8 \end{pmatrix}$

Der Vektor ist doppelt so lang und zeigt in die entgegengesetzte Richtung.

c) $\frac{1}{2} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ 2 \end{pmatrix}$

Der Vektor ist halb so lang und zeigt in dieselbe Richtung.

DEFINITION

Bei der Skalarmultiplikation wird jede Komponente eines Vektors mit einer Zahl (Skalar) $r$ multipliziert:

$r \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} r \cdot a_1 \\ r \cdot a_2 \\ r \cdot a_3 \end{pmatrix}$

Der Betrag des Vektors wird mit $|r|$ multipliziert. Bei $r < 0$ kehrt sich die Richtung um.

Der Nullvektor und der Gegenvektor

Zwei besondere Vektoren tauchen immer wieder auf:

Der Nullvektor $\vec{0}$: Alle Komponenten sind Null. Er hat keine Richtung und die Länge Null. Er entsteht z.B., wenn du $\vec{a} - \vec{a}$ rechnest.

$\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Der Gegenvektor $-\vec{a}$: Gleiche Länge wie $\vec{a}$, aber entgegengesetzte Richtung. Er entsteht durch $(-1) \cdot \vec{a}$.

$-\vec{a} = \begin{pmatrix} -a_1 \\ -a_2 \\ -a_3 \end{pmatrix}$

Es gilt: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Vertauschte Reihenfolge beim Verbindungsvektor

Viele Schüler berechnen $\overrightarrow{AB}$ falsch als $\vec{a} - \vec{b}$ statt $\vec{b} - \vec{a}$. Merke dir: Ziel minus Start. Du willst nach $B$, also steht $\vec{b}$ vorne.

Fehler 2: Vektoren wie Zahlen addieren

Ein Vektor ist keine einzelne Zahl! Du darfst nicht einfach alle Komponenten zusammenwerfen. $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \neq 10$. Addiere immer komponentenweise: $\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$.

Fehler 3: Vorzeichenfehler bei negativen Komponenten

Bei $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ -4 \end{pmatrix}$ passieren schnell Fehler. Rechne sorgfältig: $3 + (-5) = -2$ und $(-2) + (-4) = -6$. Ergebnis: $\begin{pmatrix} -2 \\ -6 \end{pmatrix}$.

Fehler 4: Skalar nur auf eine Komponente anwenden

Bei $3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ musst du beide Komponenten mit 3 multiplizieren, nicht nur die erste!

Komplexere Berechnungen – Linearkombinationen

In der Praxis kombinierst du oft Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation in einer Rechnung. Solche Ausdrücke heissen Linearkombinationen.

Beispiel 5: Linearkombination berechnen

Gegeben sind $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $\vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Berechne $2\vec{a} - 3\vec{b} + \vec{c}$.

Lösung:

Schritt 1: Skalarmultiplikationen durchführen: $2\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \qquad -3\vec{b} = \begin{pmatrix} -9 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix} \qquad 1 \cdot \vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$

Schritt 2: Vektoren addieren: $2\vec{a} - 3\vec{b} + \vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -9 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 2 + (-9) + 0 \\ 4 + 3 + 4 \\ -2 + (-6) + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 11 \\ -7 \end{pmatrix}$

Beispiel 6: Mittelpunkt einer Strecke

Die Punkte $A(2, 6)$ und $B(8, 2)$ sind gegeben. Berechne den Ortsvektor des Mittelpunkts $M$ der Strecke $\overline{AB}$.

Lösung:

Der Mittelpunkt liegt genau in der Mitte zwischen $A$ und $B$. Du startest bei $A$ und gehst die Hälfte des Verbindungsvektors $\overrightarrow{AB}$.

$\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB}$

Zuerst berechnen wir $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}$

Nun setzen wir ein: $\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$

Der Mittelpunkt hat die Koordinaten $M(5, 4)$.

Kurzformel: Für den Mittelpunkt gilt auch $\vec{m} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{b})$.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung mit Richtung und Länge und wird als Spalte von Zahlen geschrieben.
• Addition und Subtraktion erfolgen komponentenweise. Für den Verbindungsvektor gilt: $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ (Ziel minus Start).
• Bei der Skalarmultiplikation wird jede Komponente mit dem Skalar multipliziert. Negative Skalare kehren die Richtung um.
• Linearkombinationen entstehen durch Verknüpfung mehrerer Vektoren mit Skalaren und werden schrittweise berechnet.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Berechne $\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ -4 \end{pmatrix}$.

Lösung anzeigen

Wir addieren komponentenweise: $\begin{pmatrix} 5 + (-2) \\ -3 + 7 \\ 2 + (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$

❓ Frage: Die Punkte $P(1, 3)$ und $Q(4, -1)$ sind gegeben. Wie lautet der Vektor $\overrightarrow{PQ}$?

Lösung anzeigen

Verbindungsvektor = Ziel minus Start: $\overrightarrow{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$

❓ Frage: Für $\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}$, berechne $-\frac{3}{2} \cdot \vec{v}$.

Lösung anzeigen

Jede Komponente wird mit $-\frac{3}{2}$ multipliziert: $-\frac{3}{2} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \cdot (-2) \\ -\frac{3}{2} \cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -9 \end{pmatrix}$ Der Vektor ist $\frac{3}{2}$-mal so lang und zeigt in die entgegengesetzte Richtung.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du beherrschst jetzt die Grundrechenarten mit Vektoren. Als Nächstes wirst du den Betrag eines Vektors kennenlernen – also wie du seine exakte Länge berechnest. Danach folgt das Skalarprodukt, mit dem du Winkel zwischen Vektoren berechnen und prüfen kannst, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen. Diese Werkzeuge öffnen die Tür zu Abstandsberechnungen, Geradengleichungen und vielem mehr in der analytischen Geometrie.