Punkte in Ebene und Raum: Dein Einstieg in die analytische Geometrie

Stell dir vor, du spielst ein Strategiespiel auf dem Computer. Ein Gegner taucht auf dem Bildschirm auf. Das Spiel muss blitzschnell wissen: Wo genau befindet sich dieser Gegner? Ist er links oben, rechts unten oder vielleicht genau in der Mitte? Um das zu bestimmen, verwendet das Spiel ein unsichtbares Gitternetz – ein Koordinatensystem. Jeder Punkt auf dem Bildschirm hat eine eindeutige “Adresse” aus Zahlen.

Doch was passiert, wenn du ein 3D-Spiel spielst? Plötzlich kann der Gegner auch vor dir oder hinter dir stehen. Eine flache Adresse reicht nicht mehr aus. Du brauchst eine dritte Zahl, um die Tiefe anzugeben.

Genau dieses Prinzip – Orte mit Zahlen zu beschreiben – ist der Kern der analytischen Geometrie. Du wirst lernen, wie du jeden Punkt in der Ebene und im Raum präzise angeben, zeichnen und mit ihm rechnen kannst.

Vom Bildschirm zum Koordinatensystem

Das Gitternetz aus dem Computerspiel hat in der Mathematik einen Namen: Koordinatensystem. In der Ebene (also auf einem flachen Blatt Papier oder Bildschirm) verwenden wir zwei Achsen, die sich im rechten Winkel schneiden.

Die waagerechte Achse heisst $x$-Achse. Die senkrechte Achse heisst $y$-Achse. Der Schnittpunkt beider Achsen ist der Ursprung $O$. Er hat die Koordinaten $(0 \mid 0)$.

Jeder Punkt in der Ebene wird durch ein geordnetes Zahlenpaar beschrieben: $(x \mid y)$. Die erste Zahl gibt an, wie weit du nach rechts (positiv) oder links (negativ) gehst. Die zweite Zahl gibt an, wie weit du nach oben (positiv) oder unten (negativ) gehst.

Der Schritt in die dritte Dimension

In der Realität leben wir nicht auf einem flachen Blatt. Wir bewegen uns in einem dreidimensionalen Raum. Ein Flugzeug fliegt nicht nur nach rechts und nach vorne, sondern auch nach oben.

Für den Raum erweitern wir das Koordinatensystem um eine dritte Achse: die $z$-Achse. Diese steht senkrecht auf der $x$- und $y$-Achse und zeigt nach oben. Ein Punkt im Raum hat nun drei Koordinaten: $(x \mid y \mid z)$.

Stell dir einen Raum vor. Die $x$-Achse zeigt nach rechts, die $y$-Achse zeigt nach hinten, und die $z$-Achse zeigt nach oben. Der Ursprung $O(0 \mid 0 \mid 0)$ liegt in der Ecke, wo Boden und zwei Wände aufeinandertreffen.

Punkte ablesen und einzeichnen

Um mit Koordinaten zu arbeiten, musst du zwei Dinge beherrschen: Koordinaten eines Punktes ablesen und einen Punkt anhand seiner Koordinaten einzeichnen.

So liest du Koordinaten ab (Ebene):

1. Bestimme, wie weit der Punkt in $x$-Richtung vom Ursprung entfernt ist.
2. Bestimme, wie weit der Punkt in $y$-Richtung vom Ursprung entfernt ist.
3. Schreibe die Koordinaten als $(x \mid y)$.

So zeichnest du einen Punkt ein (Ebene):

1. Starte beim Ursprung $O$.
2. Gehe den Wert der $x$-Koordinate nach rechts (bei positivem Wert) oder nach links (bei negativem Wert).
3. Gehe von dort den Wert der $y$-Koordinate nach oben (positiv) oder nach unten (negativ).
4. Markiere den Punkt und beschrifte ihn.

Für den Raum funktioniert es genauso, nur mit einem dritten Schritt:

1. Gehe den $x$-Wert entlang der $x$-Achse.
2. Gehe den $y$-Wert parallel zur $y$-Achse.
3. Gehe den $z$-Wert parallel zur $z$-Achse.

DEFINITION

Ein Punkt in der Ebene wird durch ein geordnetes Zahlenpaar $P(x \mid y)$ beschrieben. Die Zahl $x$ heisst Abszisse (Rechtswert), die Zahl $y$ heisst Ordinate (Hochwert).

Ein Punkt im Raum wird durch ein geordnetes Zahlentripel $P(x \mid y \mid z)$ beschrieben. Die Zahl $z$ heisst Applikate (Höhenwert).

Die Reihenfolge der Koordinaten ist entscheidend: $(3 \mid 5)$ ist ein anderer Punkt als $(5 \mid 3)$.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Die Reihenfolge der Koordinaten vertauschen Viele Schüler schreiben $(y \mid x)$ statt $(x \mid y)$. Merke dir: Zuerst kommt immer die $x$-Koordinate (der Schritt nach rechts/links), dann die $y$-Koordinate (der Schritt nach oben/unten). Im Raum folgt zuletzt die $z$-Koordinate.

Fehler 2: Vorzeichen ignorieren Ein Punkt mit negativer $x$-Koordinate liegt links der $y$-Achse. Ein Punkt mit negativer $y$-Koordinate liegt unterhalb der $x$-Achse. Achte genau auf die Vorzeichen, sonst landet dein Punkt im falschen Quadranten.

Fehler 3: Im Raum die Achsen verwechseln Die $z$-Achse zeigt nach oben, nicht die $y$-Achse. Das ist anders als bei manchen Grafikprogrammen. In der Schulmathematik gilt: $x$ nach rechts, $y$ nach hinten, $z$ nach oben.

Der Abstand zwischen zwei Punkten

Eine der wichtigsten Berechnungen in der analytischen Geometrie ist der Abstand zwischen zwei Punkten. Wie weit ist Punkt $A$ von Punkt $B$ entfernt?

Abstand in der Ebene

Stell dir zwei Punkte $A(x_1 \mid y_1)$ und $B(x_2 \mid y_2)$ vor. Der Abstand zwischen ihnen ist die Länge der direkten Verbindungslinie. Diese Strecke bildet die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.

Die Katheten dieses Dreiecks haben die Längen $|x_2 - x_1|$ und $|y_2 - y_1|$. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Abstand im Raum

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Richtung hinzu. Für zwei Punkte $A(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ und $B(x_2 \mid y_2 \mid z_2)$ lautet die Formel:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Diese Formel ist eine Erweiterung des Satzes von Pythagoras auf drei Dimensionen.

DEFINITION

Der Abstand $d$ zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ berechnet sich wie folgt:

In der Ebene: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Im Raum: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Dabei sind $(x_1, y_1, z_1)$ die Koordinaten von Punkt $A$ und $(x_2, y_2, z_2)$ die Koordinaten von Punkt $B$.

Der Mittelpunkt einer Strecke

Eine weitere wichtige Berechnung ist der Mittelpunkt zwischen zwei Punkten. Der Mittelpunkt $M$ liegt genau in der Mitte der Strecke $\overline{AB}$.

Die Koordinaten des Mittelpunkts erhältst du, indem du die jeweiligen Koordinaten der beiden Punkte addierst und durch $2$ teilst.

In der Ebene: $M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2} \mid \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$

Im Raum: $M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2} \mid \frac{y_1 + y_2}{2} \mid \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$

Diese Formel ergibt sich daraus, dass du zu jedem Punkt den halben Weg zum anderen Punkt addierst.

Beispiele

Beispiel 1: Punkte in der Ebene einzeichnen und ablesen

Aufgabe: Zeichne die Punkte $A(3 \mid 2)$, $B(-2 \mid 4)$ und $C(-1 \mid -3)$ in ein Koordinatensystem ein.

Lösung:

Für Punkt $A(3 \mid 2)$:

• Starte beim Ursprung $O$.
• Gehe $3$ Einheiten nach rechts (positive $x$-Richtung).
• Gehe $2$ Einheiten nach oben (positive $y$-Richtung).
• Markiere den Punkt und beschrifte ihn mit $A$.

Für Punkt $B(-2 \mid 4)$:

• Starte beim Ursprung $O$.
• Gehe $2$ Einheiten nach links (negative $x$-Richtung).
• Gehe $4$ Einheiten nach oben (positive $y$-Richtung).
• Markiere den Punkt und beschrifte ihn mit $B$.

Für Punkt $C(-1 \mid -3)$:

• Starte beim Ursprung $O$.
• Gehe $1$ Einheit nach links (negative $x$-Richtung).
• Gehe $3$ Einheiten nach unten (negative $y$-Richtung).
• Markiere den Punkt und beschrifte ihn mit $C$.

Punkt $A$ liegt im ersten Quadranten (rechts oben), Punkt $B$ im zweiten Quadranten (links oben), Punkt $C$ im dritten Quadranten (links unten).

Beispiel 2: Abstand zwischen zwei Punkten in der Ebene

Aufgabe: Berechne den Abstand zwischen den Punkten $P(1 \mid 2)$ und $Q(4 \mid 6)$.

Lösung:

Wir setzen die Koordinaten in die Abstandsformel ein:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Mit $P(1 \mid 2)$ und $Q(4 \mid 6)$:

$d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2}$

$d = \sqrt{3^2 + 4^2}$

$d = \sqrt{9 + 16}$

$d = \sqrt{25}$

$d = 5$

Der Abstand zwischen $P$ und $Q$ beträgt $5$ Längeneinheiten.

Kontrolle: Die Zahlen $3$, $4$ und $5$ bilden ein pythagoreisches Zahlentripel. Das bestätigt unser Ergebnis.

Beispiel 3: Mittelpunkt und Abstand im Raum

Aufgabe: Gegeben sind die Punkte $A(2 \mid 0 \mid 4)$ und $B(6 \mid 4 \mid 0)$. a) Berechne den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$. b) Berechne den Abstand zwischen $A$ und $B$.

Lösung Teil a) – Mittelpunkt:

$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2} \mid \frac{y_1 + y_2}{2} \mid \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$

$M = \left( \frac{2 + 6}{2} \mid \frac{0 + 4}{2} \mid \frac{4 + 0}{2} \right)$

$M = \left( \frac{8}{2} \mid \frac{4}{2} \mid \frac{4}{2} \right)$

$M = (4 \mid 2 \mid 2)$

Der Mittelpunkt hat die Koordinaten $M(4 \mid 2 \mid 2)$.

Lösung Teil b) – Abstand:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

$d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (4 - 0)^2 + (0 - 4)^2}$

$d = \sqrt{4^2 + 4^2 + (-4)^2}$

$d = \sqrt{16 + 16 + 16}$

$d = \sqrt{48}$

$d = \sqrt{16 \cdot 3}$

$d = 4\sqrt{3}$

Der Abstand zwischen $A$ und $B$ beträgt $4\sqrt{3}$ Längeneinheiten (etwa $6{,}93$ LE).

Beispiel 4: Anwendung – Drohnenflug

Aufgabe: Eine Drohne startet am Punkt $S(0 \mid 0 \mid 0)$ und fliegt zum Punkt $Z(30 \mid 40 \mid 12)$. Alle Angaben sind in Metern. Wie lang ist die direkte Flugstrecke?

Lösung:

Wir berechnen den Abstand vom Startpunkt zum Zielpunkt:

$d = \sqrt{(30 - 0)^2 + (40 - 0)^2 + (12 - 0)^2}$

$d = \sqrt{30^2 + 40^2 + 12^2}$

$d = \sqrt{900 + 1600 + 144}$

$d = \sqrt{2644}$

$d \approx 51{,}42 \, \text{m}$

Die Drohne muss eine Strecke von etwa $51{,}42$ Metern zurücklegen.

Interpretation: Die Drohne fliegt $30 \, \text{m}$ nach rechts, $40 \, \text{m}$ nach hinten und $12 \, \text{m}$ nach oben. Die direkte Flugbahn ist kürzer als die Summe der Einzelstrecken ($30 + 40 + 12 = 82 \, \text{m}$).

Beispiel 5: Liegt ein Punkt auf einer Strecke?

Aufgabe: Gegeben sind die Punkte $A(1 \mid 1)$, $B(5 \mid 5)$ und $C(3 \mid 3)$. Liegt $C$ auf der Strecke $\overline{AB}$?

Lösung:

Wenn $C$ auf der Strecke $\overline{AB}$ liegt, dann muss gelten:

$d(A, C) + d(C, B) = d(A, B)$

Wir berechnen alle drei Abstände:

Abstand $A$ zu $C$: $d(A, C) = \sqrt{(3-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Abstand $C$ zu $B$: $d(C, B) = \sqrt{(5-3)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Abstand $A$ zu $B$: $d(A, B) = \sqrt{(5-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

Prüfung: $d(A, C) + d(C, B) = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} = d(A, B)$

Die Gleichung ist erfüllt. Der Punkt $C$ liegt auf der Strecke $\overline{AB}$.

Tatsächlich ist $C$ sogar der Mittelpunkt von $\overline{AB}$, da beide Teilstrecken gleich lang sind.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein Punkt in der Ebene wird durch zwei Koordinaten $(x \mid y)$ beschrieben, ein Punkt im Raum durch drei Koordinaten $(x \mid y \mid z)$.
• Die Reihenfolge der Koordinaten ist entscheidend: Erst $x$ (rechts/links), dann $y$ (oben/unten bzw. hinten/vorne), zuletzt $z$ (Höhe).
• Der Abstand zwischen zwei Punkten berechnet sich mit einer erweiterten Form des Satzes des Pythagoras.
• Der Mittelpunkt einer Strecke ergibt sich aus dem arithmetischen Mittel der jeweiligen Koordinaten.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Punkt liegt $4$ Einheiten links vom Ursprung und $3$ Einheiten unterhalb der $x$-Achse. Welche Koordinaten hat er?

Lösung anzeigen

Der Punkt hat die Koordinaten $(-4 \mid -3)$.

“Links vom Ursprung” bedeutet negative $x$-Koordinate, also $x = -4$. “Unterhalb der $x$-Achse” bedeutet negative $y$-Koordinate, also $y = -3$.

❓ Frage: Berechne den Abstand zwischen $A(0 \mid 0)$ und $B(5 \mid 12)$.

Lösung anzeigen

$d = \sqrt{(5-0)^2 + (12-0)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

Der Abstand beträgt $13$ Längeneinheiten.

(Dies ist das bekannte pythagoreische Tripel $5$-$12$-$13$.)

❓ Frage: Bestimme den Mittelpunkt der Strecke von $P(2 \mid 4 \mid 6)$ nach $Q(8 \mid 2 \mid 0)$.

Lösung anzeigen

$M = \left( \frac{2+8}{2} \mid \frac{4+2}{2} \mid \frac{6+0}{2} \right) = \left( \frac{10}{2} \mid \frac{6}{2} \mid \frac{6}{2} \right) = (5 \mid 3 \mid 3)$

Der Mittelpunkt hat die Koordinaten $M(5 \mid 3 \mid 3)$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast gelernt, einzelne Punkte im Raum zu beschreiben und mit ihnen zu rechnen. Der nächste logische Schritt ist, Punkte miteinander zu verbinden und Vektoren einzuführen.

Vektoren beschreiben nicht nur einen Ort, sondern eine Richtung und eine Länge. Mit ihnen kannst du Bewegungen im Raum darstellen, Geraden beschreiben und später sogar Ebenen im dreidimensionalen Raum untersuchen.

Ausserdem wirst du lernen, wie man mit Vektoren Winkel berechnet, Parallelität prüft und geometrische Körper analysiert. Die Punkte, die du heute kennengelernt hast, sind das Fundament für all diese Konzepte.