Lineare Abhängigkeit von Vektoren einfach erklärt: So erkennst du abhängige Vektoren

Stell dir vor, du planst eine Wanderung. Du hast eine Karte und zwei Richtungsangaben: “3 km nach Osten” und “6 km nach Osten”. Bringt dich die zweite Angabe wirklich weiter? Nein – sie zeigt in dieselbe Richtung, nur doppelt so weit. Du könntest sie auch einfach durch “2 mal die erste Richtung” ersetzen. Die zweite Angabe ist also überflüssig.

Genau so funktioniert lineare Abhängigkeit bei Vektoren. Manche Vektoren liefern “neue Informationen” über Richtungen im Raum. Andere sind nur Vielfache oder Kombinationen von bereits bekannten Vektoren. Diesen Unterschied zu erkennen, ist ein Schlüsselkonzept der analytischen Geometrie.

Was bedeutet lineare Abhängigkeit?

Kehren wir zur Wanderung zurück. Du stehst an einem Startpunkt und hast drei Wegbeschreibungen:

• Vektor $\vec{a}$: “3 Schritte nach Osten”
• Vektor $\vec{b}$: “4 Schritte nach Norden”
• Vektor $\vec{c}$: “6 Schritte nach Osten”

Mit $\vec{a}$ und $\vec{b}$ kannst du jeden Punkt in der Ebene erreichen. Du kombinierst einfach “etwas nach Osten” und “etwas nach Norden”. Aber was ist mit $\vec{c}$? Er zeigt genau in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$, nur doppelt so lang. Du kannst $\vec{c}$ durch $2 \cdot \vec{a}$ ersetzen. Der Vektor $\vec{c}$ ist damit abhängig von $\vec{a}$.

In der Mathematik sagen wir: Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{c}$ sind linear abhängig. Einer lässt sich durch den anderen ausdrücken.

Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ hingegen zeigen in komplett verschiedene Richtungen. Keiner ist ein Vielfaches des anderen. Sie sind linear unabhängig.

Die mathematische Definition

Jetzt übersetzen wir die Wanderungs-Idee in die Sprache der Mathematik.

Wir betrachten mehrere Vektoren und fragen: Kann ich den Nullvektor $\vec{0}$ als Kombination dieser Vektoren darstellen – und zwar so, dass nicht alle Faktoren null sind?

Das klingt zunächst seltsam. Warum der Nullvektor? Die Idee dahinter ist clever: Wenn ich den Nullvektor “nichttrivial” darstellen kann, dann löschen sich die Vektoren gegenseitig aus. Das bedeutet, mindestens einer ist überflüssig.

DEFINITION

Die Vektoren $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n$ heissen linear abhängig, wenn es Zahlen $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ gibt, die nicht alle null sind, sodass gilt:

$$\lambda_1 \cdot \vec{v}_1 + \lambda_2 \cdot \vec{v}_2 + \ldots + \lambda_n \cdot \vec{v}_n = \vec{0}$$

Gibt es nur die triviale Lösung $\lambda_1 = \lambda_2 = \ldots = \lambda_n = 0$, dann heissen die Vektoren linear unabhängig.

Die Zahlen $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ nennt man Koeffizienten oder Skalare. Das Wort “trivial” bedeutet hier: die offensichtliche, langweilige Lösung, bei der alle Faktoren null sind.

Schritt-für-Schritt: So prüfst du lineare Abhängigkeit

Du hast zwei oder drei Vektoren vor dir. Wie findest du heraus, ob sie linear abhängig sind? Hier ist deine Anleitung:

Für zwei Vektoren in der Ebene oder im Raum:

1. Schreibe die Gleichung $\lambda_1 \cdot \vec{v}_1 + \lambda_2 \cdot \vec{v}_2 = \vec{0}$ auf.
2. Forme um zu $\lambda_1 \cdot \vec{v}_1 = -\lambda_2 \cdot \vec{v}_2$.
3. Prüfe: Ist ein Vektor ein Vielfaches des anderen?
4. Falls ja: Die Vektoren sind linear abhängig.
5. Falls nein: Die Vektoren sind linear unabhängig.

Für drei Vektoren im Raum (oder mehr):

1. Stelle die Gleichung $\lambda_1 \cdot \vec{v}_1 + \lambda_2 \cdot \vec{v}_2 + \lambda_3 \cdot \vec{v}_3 = \vec{0}$ auf.
2. Schreibe das zugehörige Gleichungssystem auf (eine Gleichung pro Koordinate).
3. Löse das Gleichungssystem (z.B. mit dem Gauss-Verfahren).
4. Hat das System nur die triviale Lösung $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$? Dann sind die Vektoren linear unabhängig.
5. Gibt es auch andere Lösungen? Dann sind die Vektoren linear abhängig.

Geometrische Bedeutung

Linear abhängige Vektoren haben eine klare geometrische Bedeutung:

Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie auf derselben Geraden liegen. Sie sind kollinear. Einer zeigt in dieselbe oder in die entgegengesetzte Richtung wie der andere.

Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie alle in derselben Ebene liegen. Sie sind komplanar. Der dritte Vektor lässt sich als Kombination der ersten beiden darstellen.

Stell dir einen Tisch vor. Zwei Kanten des Tisches, die von einer Ecke ausgehen, spannen die Tischfläche auf. Jeder weitere Vektor, der in der Tischfläche liegt, ist von diesen beiden abhängig. Erst ein Vektor, der aus der Tischfläche herausragt (z.B. senkrecht nach oben), wäre linear unabhängig von den beiden Kanten.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Den Nullvektor vergessen

Der Nullvektor $\vec{0}$ macht jede Menge von Vektoren linear abhängig. Warum? Weil $1 \cdot \vec{0} + 0 \cdot \vec{v}_1 + 0 \cdot \vec{v}_2 = \vec{0}$ immer gilt. Hier ist $\lambda_1 = 1 \neq 0$. Prüfe also zuerst, ob einer deiner Vektoren der Nullvektor ist.

Fehler 2: Triviale und nichttriviale Lösung verwechseln

Die triviale Lösung (alle $\lambda = 0$) existiert immer. Sie sagt nichts über Abhängigkeit aus. Nur wenn es zusätzlich eine nichttriviale Lösung gibt, sind die Vektoren abhängig.

Fehler 3: Kollinearität falsch prüfen

Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind kollinear, wenn $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ für ein $k \in \mathbb{R}$ gilt. Dabei muss $k$ für alle Koordinaten gleich sein. Prüfe nicht nur eine Koordinate.

Beispiele

Beispiel 1: Zwei kollineare Vektoren

Gegeben sind die Vektoren:

$$\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$$

Frage: Sind $\vec{a}$ und $\vec{b}$ linear abhängig?

Lösung:

Wir prüfen, ob $\vec{b}$ ein Vielfaches von $\vec{a}$ ist.

Für die erste Koordinate: $3 = k \cdot 2$, also $k = 1.5$.

Für die zweite Koordinate: $6 = k \cdot 4$, also $k = 1.5$.

Der Faktor $k$ stimmt überein. Es gilt $\vec{b} = 1.5 \cdot \vec{a}$.

Wir können schreiben: $1.5 \cdot \vec{a} - 1 \cdot \vec{b} = \vec{0}$.

Das ist eine nichttriviale Lösung mit $\lambda_1 = 1.5$ und $\lambda_2 = -1$.

Antwort: Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind linear abhängig.

Beispiel 2: Zwei unabhängige Vektoren

Gegeben sind die Vektoren:

$$\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Frage: Sind $\vec{u}$ und $\vec{v}$ linear abhängig?

Lösung:

Wir prüfen, ob $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$ für ein $k$ gilt.

Für die erste Koordinate: $3 = k \cdot 1$, also $k = 3$.

Für die zweite Koordinate: $1 = k \cdot 2$, also $k = 0.5$.

Die Werte für $k$ sind verschieden. Es gibt kein $k$, das für beide Koordinaten funktioniert.

Antwort: Die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind linear unabhängig.

Beispiel 3: Drei Vektoren im Raum

Gegeben sind die Vektoren:

$$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}$$

Frage: Sind $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ linear abhängig?

Lösung:

Wir setzen an: $\lambda_1 \cdot \vec{a} + \lambda_2 \cdot \vec{b} + \lambda_3 \cdot \vec{c} = \vec{0}$.

Das ergibt das Gleichungssystem:

$$\lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2 \cdot 0 + \lambda_3 \cdot 2 = 0$$$$\lambda_1 \cdot 0 + \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 3 = 0$$$$\lambda_1 \cdot 2 + \lambda_2 \cdot 1 + \lambda_3 \cdot 7 = 0$$

Vereinfacht:

• Gleichung 1: $\lambda_1 + 2\lambda_3 = 0$
• Gleichung 2: $\lambda_2 + 3\lambda_3 = 0$
• Gleichung 3: $2\lambda_1 + \lambda_2 + 7\lambda_3 = 0$

Aus Gleichung 1: $\lambda_1 = -2\lambda_3$.

Aus Gleichung 2: $\lambda_2 = -3\lambda_3$.

Einsetzen in Gleichung 3: $2 \cdot (-2\lambda_3) + (-3\lambda_3) + 7\lambda_3 = -4\lambda_3 - 3\lambda_3 + 7\lambda_3 = 0$.

Das stimmt für jedes $\lambda_3$. Wählen wir zum Beispiel $\lambda_3 = 1$, dann ist $\lambda_1 = -2$ und $\lambda_2 = -3$.

Probe: $-2 \cdot \vec{a} - 3 \cdot \vec{b} + 1 \cdot \vec{c} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Es gibt eine nichttriviale Lösung.

Antwort: Die Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ sind linear abhängig.

Interpretation: Der Vektor $\vec{c}$ lässt sich als Kombination schreiben: $\vec{c} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$.

Beispiel 4: Drei unabhängige Vektoren (Standardbasis)

Gegeben sind die Einheitsvektoren:

$$\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Frage: Sind $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ und $\vec{e}_3$ linear abhängig?

Lösung:

Wir setzen an: $\lambda_1 \cdot \vec{e}_1 + \lambda_2 \cdot \vec{e}_2 + \lambda_3 \cdot \vec{e}_3 = \vec{0}$.

Das ergibt:

$$\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Die einzige Lösung ist $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$.

Antwort: Die Einheitsvektoren sind linear unabhängig.

Bedeutung: Diese drei Vektoren spannen den gesamten dreidimensionalen Raum auf. Jeder Punkt im Raum lässt sich als Kombination dieser Vektoren darstellen.

Das Wichtigste in Kürze

• Linear abhängig bedeutet: Mindestens ein Vektor ist durch die anderen darstellbar. Es gibt eine nichttriviale Lösung der Gleichung $\lambda_1 \vec{v}_1 + \ldots + \lambda_n \vec{v}_n = \vec{0}$.

• Linear unabhängig bedeutet: Kein Vektor ist durch die anderen darstellbar. Nur die triviale Lösung (alle $\lambda = 0$) existiert.

• Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie kollinear sind (auf einer Geraden liegen).

• Drei Vektoren im Raum sind linear abhängig, wenn sie komplanar sind (in einer Ebene liegen).

• Der Nullvektor macht jede Menge sofort linear abhängig.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind linear abhängig. Was bedeutet das geometrisch?

Lösung anzeigen

Die beiden Vektoren liegen auf derselben Geraden durch den Ursprung. Sie sind kollinear. Einer ist ein Vielfaches des anderen, d.h. $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ für ein $k \in \mathbb{R}$.

❓ Frage:

Gegeben sind $\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ und $\vec{q} = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix}$. Sind diese Vektoren linear abhängig oder unabhängig?

Lösung anzeigen

Wir prüfen: $\vec{q} = k \cdot \vec{p}$?

Erste Koordinate: $-6 = k \cdot 4$, also $k = -1.5$.

Zweite Koordinate: $3 = k \cdot (-2)$, also $k = -1.5$.

Der Faktor stimmt überein. Es gilt $\vec{q} = -1.5 \cdot \vec{p}$.

Antwort: Die Vektoren sind linear abhängig.

❓ Frage:

Warum ist eine Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthält, immer linear abhängig?

Lösung anzeigen

Wenn $\vec{0}$ in der Menge ist, können wir schreiben:

$1 \cdot \vec{0} + 0 \cdot \vec{v}_1 + 0 \cdot \vec{v}_2 + \ldots = \vec{0}$

Hier ist der Koeffizient vor $\vec{0}$ gleich 1 (also ungleich null). Das ist eine nichttriviale Lösung. Damit ist die Definition für lineare Abhängigkeit erfüllt.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du verstehst jetzt, wann Vektoren abhängig oder unabhängig sind. Dieses Konzept ist die Grundlage für viele weitere Themen.

Als Nächstes wirst du den Rang einer Matrix kennenlernen. Der Rang sagt dir, wie viele linear unabhängige Zeilen- oder Spaltenvektoren eine Matrix hat. Damit kannst du schnell feststellen, ob ein Gleichungssystem lösbar ist.

Ausserdem wirst du den Begriff der Basis vertiefen. Eine Basis ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, die einen Raum aufspannen. Im dreidimensionalen Raum brauchst du genau drei unabhängige Vektoren, um jeden Punkt zu erreichen.

Das Wissen über lineare Abhängigkeit hilft dir auch später bei Themen wie Geraden- und Ebenengleichungen. Dort prüfst du zum Beispiel, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt – und das führt genau auf die Frage zurück, ob bestimmte Vektoren abhängig sind.