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Lage von Geraden im Raum: So bestimmst du Schnittpunkte und parallele Geraden

Stell dir vor, du stehst in einer grossen Lagerhalle. Von der Decke hängen Schienen für Kräne, am Boden verlaufen Schienen für Transportwagen. Manche dieser Schienen kreuzen sich – dort muss man aufpassen, dass nichts zusammenstösst. Andere Schienen verlaufen parallel zueinander, sie treffen sich nie. Und dann gibt es noch etwas Besonderes: Schienen, die sich weder kreuzen noch parallel sind. Eine Deckenschiene und eine Bodenschiene können aneinander “vorbeigehen”, ohne sich je zu berühren – obwohl sie nicht parallel sind.

Genau diese drei Möglichkeiten gibt es auch in der Mathematik, wenn zwei Geraden durch den dreidimensionalen Raum verlaufen. In diesem Kapitel lernst du, wie du herausfindest, welche Lagebeziehung zwei Geraden zueinander haben.

Von der Lagerhalle zur Mathematik

Abschnitt betitelt „Von der Lagerhalle zur Mathematik“

In der Lagerhalle hast du intuitiv erkannt: Zwei Schienen können sich schneiden, parallel sein oder “aneinander vorbeilaufen”. In der analytischen Geometrie beschreiben wir Geraden mit Gleichungen. Eine Gerade im Raum wird durch eine Parametergleichung dargestellt:

g:x⃗=a⃗+t⋅u⃗g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{u}

Dabei ist a⃗\vec{a} ein Punkt auf der Geraden (der Stützvektor), u⃗\vec{u} gibt die Richtung an (der Richtungsvektor), und tt ist ein Parameter, der jeden Punkt auf der Geraden erzeugt.

Wenn du jetzt zwei solche Geraden hast – nennen wir sie gg und hh – dann willst du wissen: Wie liegen sie zueinander? Schneiden sie sich? Sind sie parallel? Oder sind sie windschief?

Die drei möglichen Lagebeziehungen

Abschnitt betitelt „Die drei möglichen Lagebeziehungen“

Im dreidimensionalen Raum gibt es genau drei Möglichkeiten, wie zwei verschiedene Geraden zueinander liegen können:

1. Die Geraden schneiden sich Sie haben genau einen gemeinsamen Punkt. Wie zwei Strassen, die sich an einer Kreuzung treffen.

2. Die Geraden sind parallel Sie haben keinen gemeinsamen Punkt, aber dieselbe Richtung. Wie Eisenbahnschienen, die immer denselben Abstand halten.

3. Die Geraden sind windschief Sie haben keinen gemeinsamen Punkt und auch nicht dieselbe Richtung. Das ist der Fall, der in der Ebene nicht existiert – nur im Raum möglich. Wie eine Deckenschiene und eine Bodenschiene, die sich “verfehlen”.

DEFINITION

Zwei Geraden gg und hh im Raum können sich schneiden (ein gemeinsamer Punkt), parallel sein (kein gemeinsamer Punkt, aber gleiche Richtung) oder windschief sein (kein gemeinsamer Punkt, unterschiedliche Richtungen). Identische Geraden sind ein Spezialfall paralleler Geraden.

Die Methode: So bestimmst du die Lagebeziehung

Abschnitt betitelt „Die Methode: So bestimmst du die Lagebeziehung“

Um herauszufinden, wie zwei Geraden zueinander liegen, gehst du systematisch vor. Hier ist dein Schritt-für-Schritt-Plan:

Schritt 1: Prüfe die Richtungsvektoren Untersuche, ob die Richtungsvektoren u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v} der beiden Geraden parallel sind. Zwei Vektoren sind parallel, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist:

u⃗=k⋅v⃗fu¨r ein k∈R\vec{u} = k \cdot \vec{v} \quad \text{für ein } k \in \mathbb{R}

Schritt 2a: Falls die Richtungsvektoren parallel sind Prüfe, ob ein Punkt der einen Geraden auf der anderen liegt. Falls ja: Die Geraden sind identisch. Falls nein: Die Geraden sind echt parallel.

Schritt 2b: Falls die Richtungsvektoren nicht parallel sind Setze die beiden Geradengleichungen gleich und löse das Gleichungssystem. Falls es eine Lösung gibt: Die Geraden schneiden sich. Falls es keine Lösung gibt: Die Geraden sind windschief.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Abschnitt betitelt „Häufige Fehler und wie du sie vermeidest“

Fehler 1: Nur eine Gleichung des Gleichungssystems lösen Wenn du prüfst, ob sich zwei Geraden schneiden, erhältst du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen (für xx, yy und zz) und zwei Unbekannten (die Parameter tt und ss). Viele Schüler lösen nur zwei Gleichungen und vergessen, die dritte zu überprüfen. Die Lösung muss aber alle drei Gleichungen erfüllen!

Fehler 2: Parallele Richtungsvektoren übersehen Bevor du das Gleichungssystem aufstellst, prüfe immer zuerst die Richtungsvektoren. Sind sie parallel, ist das Gleichungssystem unlösbar – aber das bedeutet nur “parallel”, nicht automatisch “windschief”.

Fehler 3: Parameter verwechseln Jede Gerade hat ihren eigenen Parameter. Nenne sie unterschiedlich (z.B. tt und ss). Wenn du beide tt nennst, führt das zu falschen Ergebnissen.

Beispiele

Abschnitt betitelt „Beispiele“
Beispiel 1: Zwei Geraden schneiden sich

Gegeben sind die Geraden:

g:x⃗=(123)+t⋅(101)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

h:x⃗=(321)+s⋅(11−1)h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}

Schritt 1: Richtungsvektoren prüfen

u⃗=(101),v⃗=(11−1)\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}

Ist u⃗=k⋅v⃗\vec{u} = k \cdot \vec{v}? Das würde bedeuten: 1=k⋅11 = k \cdot 1, also k=1k = 1. Aber dann müsste auch 0=k⋅1=10 = k \cdot 1 = 1 gelten. Das ist falsch!

Die Richtungsvektoren sind nicht parallel.

Schritt 2: Gleichungssystem aufstellen Wir setzen g=hg = h:

(123)+t⋅(101)=(321)+s⋅(11−1)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}

Das ergibt drei Gleichungen:

  • Gleichung I: 1+t=3+s1 + t = 3 + s
  • Gleichung II: 2=2+s2 = 2 + s
  • Gleichung III: 3+t=1−s3 + t = 1 - s

Schritt 3: Gleichungssystem lösen Aus Gleichung II folgt direkt: s=0s = 0

Einsetzen in Gleichung I: 1+t=3+01 + t = 3 + 0, also t=2t = 2

Schritt 4: Probe mit Gleichung III 3+2=1−03 + 2 = 1 - 0? Das heisst: 5=15 = 1. Das ist falsch!

Moment – hier stimmt etwas nicht. Lass uns die Rechnung prüfen. Gleichung III lautet: 3+t=1−s3 + t = 1 - s.

Mit t=2t = 2 und s=0s = 0: 3+2=53 + 2 = 5 und 1−0=11 - 0 = 1. Also 5≠15 \neq 1.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Da die Richtungsvektoren nicht parallel sind, sind die Geraden windschief.

Ich korrigiere das Beispiel mit anderen Geraden:

Gegeben sind die Geraden:

g:x⃗=(123)+t⋅(211)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

h:x⃗=(540)+s⋅(11−1)h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}

Schritt 1: Richtungsvektoren prüfen u⃗=(211)\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ist kein Vielfaches von v⃗=(11−1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.

Die Richtungsvektoren sind nicht parallel.

Schritt 2: Gleichungssystem aufstellen

  • Gleichung I: 1+2t=5+s1 + 2t = 5 + s
  • Gleichung II: 2+t=4+s2 + t = 4 + s
  • Gleichung III: 3+t=−s3 + t = -s

Schritt 3: Lösen Aus I und II: Subtrahiere II von I: (1+2t)−(2+t)=(5+s)−(4+s)(1 + 2t) - (2 + t) = (5 + s) - (4 + s) −1+t=1-1 + t = 1 t=2t = 2

Einsetzen in II: 2+2=4+s2 + 2 = 4 + s, also s=0s = 0

Schritt 4: Probe mit Gleichung III 3+2=−03 + 2 = -0? Das heisst: 5=05 = 0. Wieder falsch!

Die Geraden sind windschief.

Beispiel 2: Zwei parallele Geraden

Gegeben sind die Geraden:

g:x⃗=(102)+t⋅(24−2)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}

h:x⃗=(315)+s⋅(12−1)h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

Schritt 1: Richtungsvektoren prüfen

u⃗=(24−2)=2⋅(12−1)=2⋅v⃗\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 2 \cdot \vec{v}

Die Richtungsvektoren sind parallel (mit k=2k = 2).

Schritt 2: Liegt ein Punkt der einen Geraden auf der anderen? Wir prüfen, ob der Stützpunkt von hh, also (315)\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}, auf gg liegt.

Dazu setzen wir an:

(315)=(102)+t⋅(24−2)\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}

Das ergibt:

  • 3=1+2t⇒t=13 = 1 + 2t \Rightarrow t = 1
  • 1=0+4t⇒t=0,251 = 0 + 4t \Rightarrow t = 0{,}25

Schon die ersten beiden Gleichungen liefern unterschiedliche Werte für tt.

Der Punkt liegt nicht auf gg. Die Geraden sind echt parallel.

Beispiel 3: Zwei Geraden, die sich schneiden

Gegeben sind die Geraden:

g:x⃗=(012)+t⋅(121)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}

h:x⃗=(253)+s⋅(10−1)h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}

Schritt 1: Richtungsvektoren prüfen u⃗=(121)\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} und v⃗=(10−1)\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} sind nicht parallel.

Denn 1=k⋅11 = k \cdot 1 ergibt k=1k = 1, aber 2=k⋅0=02 = k \cdot 0 = 0 ist falsch.

Schritt 2: Gleichungssystem aufstellen

  • Gleichung I: t=2+st = 2 + s
  • Gleichung II: 1+2t=51 + 2t = 5
  • Gleichung III: 2+t=3−s2 + t = 3 - s

Schritt 3: Lösen Aus Gleichung II: 1+2t=51 + 2t = 5, also 2t=42t = 4, also t=2t = 2.

Einsetzen in Gleichung I: 2=2+s2 = 2 + s, also s=0s = 0.

Schritt 4: Probe mit Gleichung III 2+2=3−02 + 2 = 3 - 0? Das heisst: 4=34 = 3. Das ist falsch!

Wieder windschief? Lass mich das Beispiel neu konstruieren.

Gegeben sind die Geraden:

g:x⃗=(111)+t⋅(101)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

h:x⃗=(203)+s⋅(011)h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Schritt 1: Richtungsvektoren prüfen u⃗=(101)\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} und v⃗=(011)\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} sind nicht parallel.

Schritt 2: Gleichungssystem aufstellen

  • Gleichung I: 1+t=21 + t = 2
  • Gleichung II: 1=s1 = s
  • Gleichung III: 1+t=3+s1 + t = 3 + s

Schritt 3: Lösen Aus Gleichung I: t=1t = 1 Aus Gleichung II: s=1s = 1

Schritt 4: Probe mit Gleichung III 1+1=3+11 + 1 = 3 + 1? Das heisst: 2=42 = 4. Falsch!

Ich konstruiere ein korrektes Beispiel:

g:x⃗=(123)+t⋅(110)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

h:x⃗=(341)+s⋅(001)h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Schritt 1: Richtungsvektoren prüfen Nicht parallel (unterschiedliche Richtungen).

Schritt 2: Gleichungssystem

  • I: 1+t=31 + t = 3
  • II: 2+t=42 + t = 4
  • III: 3=1+s3 = 1 + s

Aus I: t=2t = 2 Aus II: t=2t = 2 ✓ Aus III: s=2s = 2

Probe: gg mit t=2t = 2: (1+22+23)=(343)\begin{pmatrix} 1+2 \\ 2+2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}

hh mit s=2s = 2: (341+2)=(343)\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}

Die Geraden schneiden sich im Punkt S(3∣4∣3)S(3|4|3).

Beispiel 4: Windschiefe Geraden erkennen

Gegeben sind die Geraden:

g:x⃗=(000)+t⋅(100)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

h:x⃗=(010)+s⋅(001)h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Geometrische Vorstellung: gg ist die xx-Achse (verläuft in xx-Richtung durch den Ursprung). hh verläuft parallel zur zz-Achse durch den Punkt (0∣1∣0)(0|1|0).

Schritt 1: Richtungsvektoren prüfen u⃗=(100)\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} und v⃗=(001)\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} sind nicht parallel.

Schritt 2: Gleichungssystem

  • I: t=0t = 0
  • II: 0=10 = 1
  • III: 0=s0 = s

Gleichung II ist niemals erfüllbar. Das System hat keine Lösung.

Da die Richtungsvektoren nicht parallel sind und es keinen Schnittpunkt gibt, sind die Geraden windschief.

Dies entspricht der Vorstellung: Die xx-Achse und eine Parallele zur zz-Achse, die um 1 in yy-Richtung verschoben ist, können sich nie treffen.

Das Wichtigste in Kürze

Abschnitt betitelt „Das Wichtigste in Kürze“
  • Im Raum gibt es drei Lagebeziehungen: schneidend, parallel oder windschief.
  • Prüfe zuerst die Richtungsvektoren: Sind sie parallel, können die Geraden nur parallel oder identisch sein.
  • Sind die Richtungsvektoren nicht parallel, stelle ein Gleichungssystem auf und prüfe, ob es eine Lösung gibt.
  • Eine Lösung existiert nur, wenn alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind – vergiss die Probe nicht!
  • Windschiefe Geraden sind ein Phänomen des Raumes, das in der Ebene nicht vorkommt.

Dein Wissen im Test

Abschnitt betitelt „Dein Wissen im Test“
❓ Frage: Zwei Geraden haben die Richtungsvektoren u⃗=(2−46)\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} und v⃗=(−12−3)\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}. Was kannst du über die Lagebeziehung aussagen?
Lösung anzeigen

Die Richtungsvektoren sind parallel, denn u⃗=−2⋅v⃗\vec{u} = -2 \cdot \vec{v}. Die Geraden können also nur parallel (echt parallel oder identisch) sein. Sie können sich weder schneiden noch windschief sein.

❓ Frage: Beim Gleichsetzen zweier Geraden erhältst du t=3t = 3 und s=1s = 1 aus zwei Gleichungen. Die dritte Gleichung lautet 5+t=7+2s5 + t = 7 + 2s. Schneiden sich die Geraden?
Lösung anzeigen

Probe: 5+3=85 + 3 = 8 und 7+2⋅1=97 + 2 \cdot 1 = 9. Da 8≠98 \neq 9, ist die dritte Gleichung nicht erfüllt. Die Geraden schneiden sich nicht. Da die Richtungsvektoren nicht parallel waren (sonst gäbe es keine Lösung für tt und ss), sind die Geraden windschief.

❓ Frage: Erkläre in einem Satz, warum windschiefe Geraden nur im Raum, aber nicht in der Ebene existieren können.
Lösung anzeigen

In der Ebene müssen sich zwei nicht-parallele Geraden immer schneiden, weil sie keine “Ausweichmöglichkeit” in eine dritte Dimension haben. Erst der Raum bietet die zusätzliche Dimension, in der Geraden aneinander “vorbeigehen” können.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Abschnitt betitelt „Ausblick: Was kommt als Nächstes?“

Du hast jetzt gelernt, wie zwei Geraden zueinander liegen können. Der nächste Schritt ist die Untersuchung von Geraden und Ebenen. Dabei wirst du fragen: Liegt eine Gerade in einer Ebene? Schneidet sie die Ebene in genau einem Punkt? Oder verläuft sie parallel zur Ebene? Die Methoden, die du hier gelernt hast – Richtungsvektoren vergleichen und Gleichungssysteme lösen – werden dir dabei wieder helfen.