Länge und Mittelpunkt einer Strecke: Analytische Geometrie verständlich erklärt

Stell dir vor, du planst mit deinen Freunden eine Wanderung. Auf der Karte seht ihr den Startpunkt und das Ziel – aber wie weit ist es wirklich? Und wo genau liegt die perfekte Stelle für eine Pause auf halbem Weg? Diese Fragen beantwortest du täglich intuitiv. Wenn du auf deinem Handy die Entfernung zu einem Restaurant checkst oder den Treffpunkt genau zwischen zwei Wohnorten suchst, nutzt du unbewusst geometrische Prinzipien. In der Mathematik nennen wir das analytische Geometrie. Hier lernst du, wie du mit Koordinaten präzise Entfernungen und Mittelpunkte berechnest – Werkzeuge, die dir in Physik, Informatik und im Alltag enorm nützlich sein werden.

Von der Landkarte zum Koordinatensystem

Denke nochmal an die Wanderkarte. Jeder Ort hat dort eine Position, die du mit zwei Zahlen beschreiben kannst: wie weit nach rechts und wie weit nach oben. Genau so funktioniert das Koordinatensystem. Jeder Punkt hat einen $x$-Wert (horizontal) und einen $y$-Wert (vertikal).

Wenn du zwei Punkte verbindest, entsteht eine Strecke. Diese Strecke hat zwei wichtige Eigenschaften:

• Eine Länge – wie lang ist die Verbindung?
• Einen Mittelpunkt – wo liegt die exakte Mitte?

Das Spannende: Beide lassen sich mit einfachen Formeln berechnen, sobald du die Koordinaten der Endpunkte kennst.

Die Strecke als Hypothenuse

Der Schlüssel zur Längenberechnung ist ein alter Bekannter: der Satz des Pythagoras. Zeichnest du eine Strecke zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ ein, kannst du immer ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren.

Die horizontale Seite entspricht dem Unterschied der $x$-Werte. Die vertikale Seite entspricht dem Unterschied der $y$-Werte. Die Strecke selbst ist die Hypothenuse – die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel.

Die Länge einer Strecke berechnen

So gehst du vor, um die Länge einer Strecke zu berechnen:

1. Punkte notieren: Schreibe die Koordinaten beider Punkte auf: $A(x_1 | y_1)$ und $B(x_2 | y_2)$.
2. Differenzen bilden: Berechne $\Delta x = x_2 - x_1$ und $\Delta y = y_2 - y_1$.
3. Pythagoras anwenden: Setze die Differenzen in die Formel ein.
4. Wurzel ziehen: Das Ergebnis ist die Länge der Strecke.

DEFINITION

Die Länge $d$ einer Strecke zwischen den Punkten $A(x_1 | y_1)$ und $B(x_2 | y_2)$ berechnet sich mit:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Dabei ist:

• $x_2 - x_1$: der horizontale Abstand zwischen den Punkten
• $y_2 - y_1$: der vertikale Abstand zwischen den Punkten
• $d$: die Länge der Strecke (immer positiv)

Warum quadrieren wir die Differenzen?

Das Quadrieren hat zwei wichtige Effekte. Erstens werden negative Differenzen positiv – es spielt keine Rolle, ob du von links nach rechts oder umgekehrt rechnest. Zweitens entspricht das Quadrieren genau dem Satz des Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$.

Der Mittelpunkt einer Strecke

Den Mittelpunkt zu finden ist sogar noch einfacher. Du bildest einfach den Durchschnitt der jeweiligen Koordinaten. Logisch eigentlich: Die Mitte zwischen 10 und 20 ist 15 – also der Durchschnitt.

So berechnest du den Mittelpunkt:

1. Punkte notieren: Schreibe die Koordinaten beider Endpunkte auf: $A(x_1 | y_1)$ und $B(x_2 | y_2)$.
2. $x$-Koordinate des Mittelpunkts: Bilde den Durchschnitt der $x$-Werte.
3. $y$-Koordinate des Mittelpunkts: Bilde den Durchschnitt der $y$-Werte.
4. Mittelpunkt angeben: Schreibe den Punkt $M$ mit beiden Koordinaten auf.

DEFINITION

Der Mittelpunkt $M$ einer Strecke zwischen den Punkten $A(x_1 | y_1)$ und $B(x_2 | y_2)$ hat die Koordinaten:

$$M\left(\frac{x_1 + x_2}{2} \, \bigg| \, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

Dabei ist:

• $\frac{x_1 + x_2}{2}$: der Durchschnitt der $x$-Koordinaten
• $\frac{y_1 + y_2}{2}$: der Durchschnitt der $y$-Koordinaten

Die geometrische Bedeutung

Der Mittelpunkt teilt die Strecke in zwei gleich lange Hälften. Er liegt genau auf der Strecke – nicht daneben. Wenn du die Abstände von $M$ zu $A$ und von $M$ zu $B$ berechnest, erhältst du exakt den gleichen Wert.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Vorzeichen vergessen Bei negativen Koordinaten geraten viele durcheinander. Beispiel: $(-3) - 5 = -8$, nicht $-2$. Schreibe Klammern, um Vorzeichenfehler zu vermeiden.

Fehler 2: Wurzel vergessen Die Formel endet nicht beim Quadrieren! Viele schreiben $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ als Endergebnis. Das ist aber $d^2$, nicht $d$. Die Wurzel ist entscheidend.

Fehler 3: Punkte verwechseln Bei der Länge ist die Reihenfolge egal – $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$. Beim Mittelpunkt auch, weil Addition kommutativ ist. Trotzdem: Arbeite systematisch und halte dich an eine Reihenfolge.

Fehler 4: $x$ und $y$ vermischen Berechne die Differenzen getrennt: erst alle $x$-Werte, dann alle $y$-Werte. Kreuze niemals: $x_2 - y_1$ ergibt keinen Sinn!

Beispiele

Beispiel 1: Länge einer Strecke mit positiven Koordinaten

Gegeben sind die Punkte $A(2 | 3)$ und $B(6 | 6)$. Berechne die Länge der Strecke $\overline{AB}$.

Schritt 1: Differenzen bilden

$$\Delta x = 6 - 2 = 4$$$$\Delta y = 6 - 3 = 3$$

Schritt 2: In die Formel einsetzen

$$d = \sqrt{4^2 + 3^2}$$$$d = \sqrt{16 + 9}$$$$d = \sqrt{25}$$$$d = 5$$

Ergebnis: Die Strecke $\overline{AB}$ ist $5$ Längeneinheiten lang.

Tipp: Die Zahlen 3, 4 und 5 bilden ein pythagoreisches Tripel. Das kommt in Aufgaben häufig vor!

Beispiel 2: Mittelpunkt mit negativen Koordinaten

Gegeben sind die Punkte $P(-4 | 2)$ und $Q(6 | -8)$. Bestimme den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{PQ}$.

Schritt 1: $x$-Koordinate des Mittelpunkts

$$x_M = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Schritt 2: $y$-Koordinate des Mittelpunkts

$$y_M = \frac{2 + (-8)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Ergebnis: Der Mittelpunkt ist $M(1 | -3)$.

Kontrolle: $M$ liegt zwischen den $x$-Werten $-4$ und $6$, und zwischen den $y$-Werten $2$ und $-8$. Das passt!

Beispiel 3: Länge mit Wurzel, die nicht aufgeht

Gegeben sind die Punkte $C(1 | 1)$ und $D(4 | 5)$. Berechne die Länge der Strecke $\overline{CD}$.

Schritt 1: Differenzen bilden

$$\Delta x = 4 - 1 = 3$$$$\Delta y = 5 - 1 = 4$$

Schritt 2: In die Formel einsetzen

$$d = \sqrt{3^2 + 4^2}$$$$d = \sqrt{9 + 16}$$$$d = \sqrt{25}$$$$d = 5$$

Ergebnis: Die Strecke $\overline{CD}$ ist $5$ Längeneinheiten lang.

Beispiel 4: Komplexeres Beispiel mit Dezimalzahlen

Ein Dreieck hat die Eckpunkte $A(-3 | 1)$, $B(5 | 1)$ und $C(1 | 7)$. Berechne den Umfang des Dreiecks.

Seite $\overline{AB}$:

$$d_{AB} = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$$

Seite $\overline{BC}$:

$$d_{BC} = \sqrt{(1 - 5)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$$$$d_{BC} = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} \approx 7.21$$

Seite $\overline{CA}$:

$$d_{CA} = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

Umfang:

$$U = 8 + 2\sqrt{13} + 2\sqrt{13} = 8 + 4\sqrt{13} \approx 22.42$$

Ergebnis: Der Umfang beträgt $8 + 4\sqrt{13}$ Längeneinheiten, also ungefähr $22.42$ LE.

Beobachtung: Die Seiten $\overline{BC}$ und $\overline{CA}$ sind gleich lang – das Dreieck ist gleichschenklig!

Beispiel 5: Anwendungsaufgabe – Der perfekte Treffpunkt

Lisa wohnt bei den Koordinaten $L(2 | 8)$ und Max bei $M(10 | 2)$. Sie wollen sich genau in der Mitte treffen. Wo liegt der Treffpunkt $T$, und wie weit muss jeder gehen?

Teil 1: Treffpunkt berechnen

$$x_T = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$$$$y_T = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Der Treffpunkt ist $T(6 | 5)$.

Teil 2: Entfernung berechnen

Die Strecke von Lisa zum Treffpunkt:

$$d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (5 - 8)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Ergebnis: Der Treffpunkt liegt bei $T(6 | 5)$. Beide müssen jeweils $5$ Einheiten weit gehen.

Das ist der Vorteil des Mittelpunkts: Die Wege sind automatisch gleich lang!

Das Wichtigste in Kürze

• Die Länge einer Strecke berechnest du mit dem Satz des Pythagoras: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
• Den Mittelpunkt findest du durch den Durchschnitt der Koordinaten: $M\left(\frac{x_1 + x_2}{2} \, | \, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$
• Bei der Länge kannst du die Punkte vertauschen – das Ergebnis bleibt gleich, weil du quadrierst.
• Achte auf Vorzeichen bei negativen Koordinaten und vergiss niemals die Wurzel bei der Längenformel.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Berechne die Länge der Strecke zwischen $A(0 | 0)$ und $B(3 | 4)$.

Lösung anzeigen

Die Länge beträgt $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ Längeneinheiten.

❓ Frage: Bestimme den Mittelpunkt der Strecke zwischen $P(-2 | 6)$ und $Q(8 | -4)$.

Lösung anzeigen

$x_M = \frac{-2 + 8}{2} = 3$ und $y_M = \frac{6 + (-4)}{2} = 1$

Der Mittelpunkt ist $M(3 | 1)$.

❓ Frage: Die Punkte $A(1 | 2)$ und $B(7 | 10)$ sind Eckpunkte eines Quadrats. Wie lang ist die Diagonale des Quadrats?

Lösung anzeigen

Die Diagonale ist die Strecke $\overline{AB}$:

$d = \sqrt{(7-1)^2 + (10-2)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

Die Diagonale ist $10$ Längeneinheiten lang.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt die Werkzeuge, um Abstände und Mittelpunkte im Koordinatensystem zu berechnen. Als Nächstes wirst du lernen, wie du Geraden durch Gleichungen beschreibst. Mit der Geradengleichung kannst du dann untersuchen, ob Punkte auf einer Geraden liegen, wo sich zwei Geraden schneiden und welchen Abstand ein Punkt von einer Geraden hat. Diese Konzepte bauen direkt auf dem auf, was du heute gelernt hast – die Längenformel wird dabei dein ständiger Begleiter bleiben.