Hauptform der Geradengleichung einfach erklärt: So beschreibst du jede Gerade mathematisch

Stell dir vor, du baust eine Rampe für dein Skateboard. Du weisst: Die Rampe startet bei 20 cm Höhe und steigt pro Meter Länge um weitere 30 cm an. Mit diesen zwei Informationen – Starthöhe und Anstieg – kannst du die Höhe der Rampe an jeder beliebigen Stelle berechnen. Genau so funktioniert die Hauptform der Geradengleichung. Sie beschreibt jede Gerade im Koordinatensystem mit nur zwei Zahlen: der Steigung und dem $y$-Achsenabschnitt. Am Ende dieser Seite wirst du in der Lage sein, jede Gerade mathematisch zu beschreiben und aus einer Gleichung sofort die wichtigsten Eigenschaften abzulesen.

Von der Rampe zur Geradengleichung

Greifen wir das Rampen-Beispiel wieder auf. Die Starthöhe von 20 cm ist der Punkt, an dem die Rampe die senkrechte Achse schneidet. Der Anstieg von 30 cm pro Meter beschreibt, wie steil die Rampe ist. Diese beiden Grössen reichen aus, um die Höhe an jeder Stelle zu berechnen.

Übertragen wir das ins Koordinatensystem. Dort beschreibt eine Gerade alle Punkte, die auf einer geraden Linie liegen. Statt Länge und Höhe sprechen wir von $x$-Werten und $y$-Werten. Die Starthöhe wird zum $y$-Achsenabschnitt. Der Anstieg wird zur Steigung.

Eine Wertetabelle hilft uns, diesen Zusammenhang zu verstehen:

$x$	Berechnung	$y$
0	$0.3 \cdot 0 + 0.2$	0.2
1	$0.3 \cdot 1 + 0.2$	0.5
2	$0.3 \cdot 2 + 0.2$	0.8
3	$0.3 \cdot 3 + 0.2$	1.1

Du siehst: Der $y$-Wert ergibt sich immer aus der gleichen Formel. Diese Formel ist die Geradengleichung.

Die Hauptform der Geradengleichung

Die Hauptform beschreibt den Zusammenhang zwischen $x$ und $y$ für jeden Punkt auf einer Geraden. Sie folgt einem einfachen Aufbau:

Schritt 1: Bestimme die Steigung $m$. Sie gibt an, um wie viele Einheiten der $y$-Wert steigt, wenn $x$ um 1 zunimmt.

Schritt 2: Bestimme den $y$-Achsenabschnitt $q$. Das ist der $y$-Wert an der Stelle $x = 0$.

Schritt 3: Setze beide Werte in die Formel ein.

DEFINITION

Jede nicht-senkrechte Gerade lässt sich in der Form

$y = m \cdot x + q$

darstellen. Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $q$ der $y$-Achsenabschnitt. Die Steigung $m$ gibt an, wie stark die Gerade ansteigt oder fällt. Der $y$-Achsenabschnitt $q$ ist der Schnittpunkt mit der $y$-Achse.

Was bedeutet die Steigung?

Die Steigung $m$ beschreibt das Verhältnis von vertikaler zu horizontaler Änderung. Du berechnest sie mit der Formel:

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Dabei sind $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$ zwei beliebige Punkte auf der Geraden.

Eine positive Steigung bedeutet: Die Gerade verläuft von links unten nach rechts oben. Eine negative Steigung bedeutet: Die Gerade fällt von links oben nach rechts unten. Bei $m = 0$ verläuft die Gerade horizontal.

Was bedeutet der $y$-Achsenabschnitt?

Der $y$-Achsenabschnitt $q$ ist der Wert, den du erhältst, wenn du $x = 0$ einsetzt. Geometrisch ist das der Punkt, an dem die Gerade die $y$-Achse schneidet. Dieser Punkt hat die Koordinaten $(0, q)$.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Steigung und $y$-Achsenabschnitt vertauschen

Viele Schüler verwechseln, welche Zahl die Steigung und welche der $y$-Achsenabschnitt ist. Merke dir: Die Zahl vor dem $x$ ist immer die Steigung. Die Zahl ohne $x$ ist der $y$-Achsenabschnitt.

Fehler 2: Vorzeichen bei der Steigungsberechnung vergessen

Bei $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ musst du die Reihenfolge der Punkte beibehalten. Wenn du oben $y_2 - y_1$ rechnest, dann muss unten auch $x_2 - x_1$ stehen. Ein Vertauschen führt zu einem falschen Vorzeichen.

Fehler 3: Senkrechte Geraden mit der Hauptform beschreiben

Senkrechte Geraden haben die Form $x = c$ (z.B. $x = 3$). Sie lassen sich nicht in der Hauptform $y = mx + q$ schreiben, weil ihre Steigung unendlich ist.

Beispiele

Beispiel 1: Geradengleichung aus Steigung und Punkt bestimmen

Eine Gerade hat die Steigung $m = 2$ und verläuft durch den Punkt $P(3, 7)$. Bestimme die Geradengleichung in Hauptform.

Lösung:

Wir wissen: $y = m \cdot x + q$ mit $m = 2$.

Der Punkt $P(3, 7)$ liegt auf der Geraden. Also gilt: $7 = 2 \cdot 3 + q$.

Wir lösen nach $q$ auf:

$7 = 6 + q$

$q = 1$

Die Geradengleichung lautet:

$y = 2x + 1$

Probe: Setze $x = 3$ ein: $y = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ ✓

Beispiel 2: Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen

Eine Gerade verläuft durch die Punkte $A(1, 4)$ und $B(5, 12)$. Stelle die Geradengleichung auf.

Lösung:

Schritt 1: Berechne die Steigung.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{12 - 4}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2$

Schritt 2: Setze die Steigung und einen Punkt in die Hauptform ein.

Mit Punkt $A(1, 4)$:

$4 = 2 \cdot 1 + q$

$4 = 2 + q$

$q = 2$

Schritt 3: Schreibe die Gleichung auf.

$y = 2x + 2$

Probe mit Punkt $B$: $y = 2 \cdot 5 + 2 = 12$ ✓

Beispiel 3: Steigung und $y$-Achsenabschnitt aus der Gleichung ablesen

Gegeben ist die Geradengleichung $y = -3x + 5$. Lies die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt ab. Berechne zusätzlich den $y$-Wert für $x = 4$.

Lösung:

Die Gleichung liegt bereits in Hauptform vor: $y = mx + q$.

Durch Vergleich erkennst du:

• Steigung: $m = -3$
• $y$-Achsenabschnitt: $q = 5$

Die negative Steigung bedeutet, dass die Gerade fällt. Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse liegt bei $(0, 5)$.

Für $x = 4$:

$y = -3 \cdot 4 + 5 = -12 + 5 = -7$

Der Punkt $(4, -7)$ liegt auf der Geraden.

Beispiel 4: Praxisaufgabe mit Kontext

Ein Handwerker berechnet seine Kosten für einen Auftrag. Er verlangt eine Anfahrtspauschale von 50 CHF und zusätzlich 80 CHF pro Arbeitsstunde. Stelle die Kostenfunktion als Geradengleichung auf und berechne die Kosten für einen 4-stündigen Einsatz.

Lösung:

Wir definieren:

• $x$ = Anzahl der Arbeitsstunden
• $y$ = Gesamtkosten in CHF

Die Anfahrtspauschale ist ein fester Betrag, unabhängig von der Arbeitszeit. Das ist der $y$-Achsenabschnitt: $q = 50$.

Die 80 CHF pro Stunde beschreiben, wie stark die Kosten pro zusätzlicher Stunde steigen. Das ist die Steigung: $m = 80$.

Die Kostenfunktion lautet:

$y = 80x + 50$

Für $x = 4$ Stunden:

$y = 80 \cdot 4 + 50 = 320 + 50 = 370$

Der Einsatz kostet 370 CHF.

Beispiel 5: Parallele Geraden erkennen

Entscheide, ob die Geraden $g_1: y = \frac{1}{2}x + 3$ und $g_2: y = \frac{1}{2}x - 4$ parallel sind.

Lösung:

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben, aber unterschiedliche $y$-Achsenabschnitte.

Gerade $g_1$: $m_1 = \frac{1}{2}$, $q_1 = 3$

Gerade $g_2$: $m_2 = \frac{1}{2}$, $q_2 = -4$

Da $m_1 = m_2 = \frac{1}{2}$ und $q_1 \neq q_2$, sind die Geraden parallel.

Sie haben denselben Anstieg, schneiden die $y$-Achse aber an verschiedenen Stellen.

Sonderfälle der Geradengleichung

Es gibt zwei wichtige Sonderfälle, die du kennen solltest.

Horizontale Geraden: Bei $m = 0$ wird die Gleichung zu $y = q$. Die Gerade verläuft parallel zur $x$-Achse. Alle Punkte auf ihr haben denselben $y$-Wert.

Geraden durch den Ursprung: Bei $q = 0$ wird die Gleichung zu $y = mx$. Die Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung $(0, 0)$.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Hauptform der Geradengleichung lautet $y = mx + q$.
• Die Steigung $m$ gibt an, wie stark die Gerade ansteigt oder fällt. Du berechnest sie mit $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
• Der $y$-Achsenabschnitt $q$ ist der Schnittpunkt der Geraden mit der $y$-Achse.
• Um die Gleichung aufzustellen, brauchst du entweder zwei Punkte oder einen Punkt und die Steigung.
• Parallele Geraden haben die gleiche Steigung, aber unterschiedliche $y$-Achsenabschnitte.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Eine Gerade hat die Gleichung $y = -2x + 6$. Welche Steigung hat sie?

Lösung anzeigen

Die Steigung ist $m = -2$. Du erkennst sie als Faktor vor dem $x$. Die negative Steigung bedeutet, dass die Gerade von links oben nach rechts unten verläuft.

❓ Frage: Eine Gerade verläuft durch die Punkte $(2, 5)$ und $(6, 13)$. Wie lautet die Geradengleichung in Hauptform?

Lösung anzeigen

Steigung: $m = \frac{13 - 5}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$

Mit Punkt $(2, 5)$: $5 = 2 \cdot 2 + q$, also $q = 1$.

Die Geradengleichung lautet $y = 2x + 1$.

❓ Frage: Ein Streamingdienst kostet 12 CHF Grundgebühr plus 3 CHF pro heruntergeladenem Film. Wie lautet die Kostenfunktion und was kosten 7 Filme?

Lösung anzeigen

Die Kostenfunktion lautet $y = 3x + 12$, wobei $x$ die Anzahl der Filme ist.

Für 7 Filme: $y = 3 \cdot 7 + 12 = 21 + 12 = 33$ CHF.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Mit der Hauptform der Geradengleichung hast du das wichtigste Werkzeug der analytischen Geometrie kennengelernt. Im nächsten Schritt wirst du lernen, wie du den Schnittpunkt zweier Geraden berechnest. Dabei setzt du zwei Geradengleichungen gleich und löst das entstehende Gleichungssystem. Ausserdem wirst du die Punkt-Steigungs-Form kennenlernen, eine alternative Darstellung, die in manchen Situationen praktischer ist. Später erweitert sich das Thema auf die Vektorgeometrie, wo Geraden im dreidimensionalen Raum beschrieben werden.