Zentrische Streckung einfach erklärt: So vergrösserst und verkleinerst du Figuren

Stell dir vor, du fotografierst deine Freunde mit dem Smartphone. Wenn du mit zwei Fingern auf das Bild tippst und sie auseinanderziehst, wird das Bild grösser. Ziehst du sie zusammen, wird es kleiner. Das Erstaunliche: Das Bild bleibt dabei immer gleich – nur die Grösse ändert sich. Die Proportionen, also das Verhältnis zwischen Kopf, Körper und Beinen, bleiben exakt erhalten. Niemand bekommt plötzlich einen riesigen Kopf oder winzige Füsse.

Genau dieses Prinzip nutzen Mathematiker seit Jahrhunderten. Sie nennen es zentrische Streckung. Mit dieser Methode kannst du jede geometrische Figur vergrössern oder verkleinern, ohne ihre Form zu verändern. Architekten verwenden sie für Baupläne, Kartografen für Landkarten und Designer für Logos. In diesem Artikel lernst du, wie du selbst Figuren zentrisch strecken kannst.

Vom Smartphone zur Mathematik

Kehren wir zum Smartphone-Beispiel zurück. Wenn du das Bild vergrösserst, gibt es einen festen Punkt, der sich nicht bewegt. Dieser Punkt liegt genau zwischen deinen beiden Fingern. Von diesem Punkt aus “wandern” alle anderen Punkte des Bildes nach aussen.

In der Mathematik funktioniert die zentrische Streckung genauso. Du brauchst drei Dinge:

1. Ein Streckzentrum $Z$: Das ist der feste Punkt, der sich nicht bewegt. Von hier aus werden alle anderen Punkte verschoben.

2. Einen Streckfaktor $k$: Diese Zahl gibt an, um wie viel grösser oder kleiner die Figur wird.

3. Eine Originalfigur: Die Figur, die du strecken möchtest.

Das Ergebnis ist die Bildfigur. Sie ist ähnlich zur Originalfigur. Das bedeutet: Alle Winkel bleiben gleich, alle Seitenlängen werden mit demselben Faktor multipliziert.

Die Wertetabelle als Werkzeug

Bevor wir zur eigentlichen Konstruktion kommen, hilft eine Tabelle beim Verstehen. Sie zeigt, wie sich Seitenlängen bei verschiedenen Streckfaktoren verändern.

Streckfaktor $k$	Originallänge	Bildlänge	Wirkung
$k = 2$	$3 \, \text{cm}$	$6 \, \text{cm}$	Vergrösserung auf das Doppelte
$k = 3$	$3 \, \text{cm}$	$9 \, \text{cm}$	Vergrösserung auf das Dreifache
$k = 0{,}5$	$3 \, \text{cm}$	$1{,}5 \, \text{cm}$	Verkleinerung auf die Hälfte
$k = 1$	$3 \, \text{cm}$	$3 \, \text{cm}$	Keine Veränderung
$k = -1$	$3 \, \text{cm}$	$3 \, \text{cm}$	Punktspiegelung am Zentrum

Die Tabelle zeigt: Der Streckfaktor bestimmt alles. Bei $k > 1$ wird die Figur grösser. Bei $0 < k < 1$ wird sie kleiner. Bei negativem $k$ liegt die Bildfigur auf der anderen Seite des Zentrums.

So führst du eine zentrische Streckung durch

Die zentrische Streckung eines Punktes $P$ zum Bildpunkt $P'$ folgt immer demselben Ablauf. Hier ist dein Schritt-für-Schritt-Rezept:

Schritt 1: Zeichne das Streckzentrum $Z$ ein.

Schritt 2: Verbinde $Z$ mit dem Punkt $P$, den du strecken möchtest. Du erhältst die Strecke $\overline{ZP}$.

Schritt 3: Miss die Länge von $\overline{ZP}$.

Schritt 4: Multipliziere diese Länge mit dem Streckfaktor $k$. Das Ergebnis ist die neue Länge $\overline{ZP'}$.

Schritt 5: Trage die neue Länge auf der Geraden durch $Z$ und $P$ ab. Bei positivem $k$ liegt $P'$ auf derselben Seite von $Z$ wie $P$. Bei negativem $k$ liegt $P'$ auf der gegenüberliegenden Seite.

Schritt 6: Wiederhole die Schritte 2-5 für alle weiteren Eckpunkte der Figur.

Schritt 7: Verbinde die Bildpunkte zur Bildfigur.

DEFINITION

Bei einer zentrischen Streckung mit Zentrum $Z$ und Streckfaktor $k$ wird jeder Punkt $P$ auf einen Bildpunkt $P'$ abgebildet. Dabei gilt:

$\overline{ZP'} = k \cdot \overline{ZP}$

Die Bildstrecke ist also das $k$-fache der Originalstrecke. Der Punkt $P'$ liegt auf der Halbgeraden von $Z$ durch $P$ (bei $k > 0$) oder auf der Gegenrichtung (bei $k < 0$).

Eigenschaften der zentrischen Streckung

Die zentrische Streckung hat besondere Eigenschaften, die du kennen musst:

Längentreue im Verhältnis: Alle Strecken werden mit demselben Faktor $k$ multipliziert. Wenn eine Seite doppelt so lang ist wie eine andere, bleibt das auch nach der Streckung so.

Winkeltreue: Alle Winkel bleiben exakt gleich. Ein rechter Winkel bleibt ein rechter Winkel. Ein Winkel von $60°$ bleibt bei $60°$.

Parallelität: Parallele Geraden bleiben parallel. Das ist wichtig bei Figuren wie Parallelogrammen oder Trapezen.

Flächenänderung: Die Fläche verändert sich mit dem Quadrat des Streckfaktors. Bei $k = 2$ wird die Fläche $2^2 = 4$-mal so gross. Bei $k = 0{,}5$ wird sie $0{,}5^2 = 0{,}25$-mal so gross, also ein Viertel.

$A' = k^2 \cdot A$

Hierbei ist $A$ die Originalfläche und $A'$ die Bildfläche.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Die falsche Richtung bei negativem Streckfaktor Bei negativem $k$ vergessen viele, dass der Bildpunkt auf der anderen Seite des Zentrums liegt. Merke dir: Negatives $k$ bedeutet “durch das Zentrum hindurch”.

Fehler 2: Die Länge falsch abtragen Manche tragen die neue Länge ab dem Originalpunkt $P$ ab statt ab dem Zentrum $Z$. Die Messung beginnt immer beim Zentrum!

Fehler 3: Die Flächenformel verwechseln Längen werden mit $k$ multipliziert, Flächen mit $k^2$. Bei $k = 3$ werden Längen 3-mal so gross, Flächen aber 9-mal so gross. Diese Verwechslung führt zu falschen Ergebnissen.

Fehler 4: Das Zentrum auf die Figur legen Das Streckzentrum kann überall liegen – auch auf der Figur oder sogar innerhalb der Figur. Punkte, die genau auf dem Zentrum liegen, werden nicht verschoben.

Beispiele

Beispiel 1: Einfache Streckung eines Dreiecks

Gegeben ist ein Dreieck $ABC$ mit den Seitenlängen $\overline{AB} = 4 \, \text{cm}$, $\overline{BC} = 3 \, \text{cm}$ und $\overline{AC} = 5 \, \text{cm}$. Das Streckzentrum $Z$ liegt ausserhalb des Dreiecks. Der Streckfaktor beträgt $k = 2$.

Aufgabe: Berechne die Seitenlängen des Bilddreiecks $A'B'C'$.

Lösung:

Jede Seitenlänge wird mit dem Streckfaktor multipliziert:

$\overline{A'B'} = k \cdot \overline{AB} = 2 \cdot 4 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm}$

$\overline{B'C'} = k \cdot \overline{BC} = 2 \cdot 3 \, \text{cm} = 6 \, \text{cm}$

$\overline{A'C'} = k \cdot \overline{AC} = 2 \cdot 5 \, \text{cm} = 10 \, \text{cm}$

Das Bilddreieck hat die Seitenlängen $8 \, \text{cm}$, $6 \, \text{cm}$ und $10 \, \text{cm}$. Es ist doppelt so gross wie das Original, behält aber dieselbe Form.

Beispiel 2: Verkleinerung mit Flächenberechnung

Ein Quadrat hat eine Seitenlänge von $6 \, \text{cm}$. Es wird zentrisch mit dem Faktor $k = \frac{1}{3}$ gestreckt.

Aufgabe: Berechne die Seitenlänge und die Fläche des Bildquadrats.

Lösung:

Seitenlänge des Bildquadrats:

$a' = k \cdot a = \frac{1}{3} \cdot 6 \, \text{cm} = 2 \, \text{cm}$

Fläche des Originalquadrats:

$A = a^2 = \left( 6 \, \text{cm} \right)^2 = 36 \, \text{cm}^2$

Fläche des Bildquadrats (Methode 1 – direkt):

$A' = \left( a' \right)^2 = \left( 2 \, \text{cm} \right)^2 = 4 \, \text{cm}^2$

Fläche des Bildquadrats (Methode 2 – über $k^2$):

$A' = k^2 \cdot A = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot 36 \, \text{cm}^2 = \frac{1}{9} \cdot 36 \, \text{cm}^2 = 4 \, \text{cm}^2$

Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis. Das Bildquadrat hat eine Seitenlänge von $2 \, \text{cm}$ und eine Fläche von $4 \, \text{cm}^2$.

Beispiel 3: Streckfaktor aus gegebenen Längen berechnen

Ein Architekt erstellt einen Bauplan im Massstab. Auf dem Plan ist ein Zimmer $4 \, \text{cm}$ lang. In Wirklichkeit ist das Zimmer $6 \, \text{m}$ lang.

Aufgabe: Bestimme den Streckfaktor $k$ vom Plan zur Realität.

Lösung:

Zuerst müssen wir die Einheiten angleichen. Wir rechnen die reale Länge in Zentimeter um:

$6 \, \text{m} = 600 \, \text{cm}$

Der Streckfaktor ergibt sich aus dem Verhältnis von Bildlänge zu Originallänge. Hier ist der Plan das “Original” und die Realität das “Bild”:

$k = \frac{\text{Bildlänge}}{\text{Originallänge}} = \frac{600 \, \text{cm}}{4 \, \text{cm}} = 150$

Der Streckfaktor beträgt $k = 150$. Das bedeutet: Jede Länge in der Realität ist 150-mal so gross wie auf dem Plan. Der Massstab ist $1 : 150$.

Beispiel 4: Zentrische Streckung mit negativem Faktor

Ein Punkt $P$ hat den Abstand $5 \, \text{cm}$ vom Streckzentrum $Z$. Die Streckung erfolgt mit $k = -2$.

Aufgabe: Bestimme den Abstand des Bildpunktes $P'$ vom Zentrum und beschreibe seine Lage.

Lösung:

Berechnung des Abstands:

$\overline{ZP'} = |k| \cdot \overline{ZP} = |-2| \cdot 5 \, \text{cm} = 2 \cdot 5 \, \text{cm} = 10 \, \text{cm}$

Lage des Bildpunktes:

Da $k$ negativ ist, liegt $P'$ auf der gegenüberliegenden Seite des Zentrums $Z$. Der Bildpunkt $P'$ hat einen Abstand von $10 \, \text{cm}$ vom Zentrum und liegt auf der Verlängerung der Strecke $\overline{ZP}$ über $Z$ hinaus.

Eine Streckung mit $k = -1$ entspricht einer Punktspiegelung am Zentrum. Bei $k = -2$ wird zusätzlich zur Spiegelung noch verdoppelt.

Beispiel 5: Anwendung – Modellbau

Ein Modellbauer möchte ein Schiff im Massstab $1 : 50$ nachbauen. Das echte Schiff ist $120 \, \text{m}$ lang und hat eine Deckfläche von $2400 \, \text{m}^2$.

Aufgabe: Berechne die Länge und die Deckfläche des Modells.

Lösung:

Der Massstab $1 : 50$ bedeutet: Das Modell ist 50-mal kleiner als das Original. Der Streckfaktor vom Original zum Modell ist also:

$k = \frac{1}{50} = 0{,}02$

Länge des Modells:

$L_{\text{Modell}} = k \cdot L_{\text{Original}} = \frac{1}{50} \cdot 120 \, \text{m} = 2{,}4 \, \text{m} = 240 \, \text{cm}$

Deckfläche des Modells:

$A_{\text{Modell}} = k^2 \cdot A_{\text{Original}} = \left( \frac{1}{50} \right)^2 \cdot 2400 \, \text{m}^2$

$A_{\text{Modell}} = \frac{1}{2500} \cdot 2400 \, \text{m}^2 = 0{,}96 \, \text{m}^2 = 9600 \, \text{cm}^2$

Das Modell ist $240 \, \text{cm}$ lang. Die Deckfläche beträgt $9600 \, \text{cm}^2$, also etwa $1 \, \text{m}^2$.

Das Wichtigste in Kürze

• Die zentrische Streckung vergrössert oder verkleinert eine Figur von einem festen Punkt (Streckzentrum) aus.
• Der Streckfaktor $k$ bestimmt die Grössenänderung: Bei $k > 1$ Vergrösserung, bei $0 < k < 1$ Verkleinerung, bei $k < 0$ zusätzlich Spiegelung am Zentrum.
• Alle Längen werden mit $k$ multipliziert, alle Flächen mit $k^2$.
• Die Winkel bleiben unverändert – Original und Bild sind zueinander ähnlich.
• Die Formel für den Abstand eines Bildpunktes vom Zentrum lautet: $\overline{ZP'} = k \cdot \overline{ZP}$

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Rechteck mit den Seitenlängen $4 \, \text{cm}$ und $6 \, \text{cm}$ wird mit dem Streckfaktor $k = 1{,}5$ zentrisch gestreckt. Welche Seitenlängen hat das Bildrechteck?

Lösung anzeigen

Die Seitenlängen des Bildrechtecks berechnen sich durch Multiplikation mit dem Streckfaktor:

$a' = 1{,}5 \cdot 4 \, \text{cm} = 6 \, \text{cm}$

$b' = 1{,}5 \cdot 6 \, \text{cm} = 9 \, \text{cm}$

Das Bildrechteck hat die Seitenlängen $6 \, \text{cm}$ und $9 \, \text{cm}$.

❓ Frage: Ein Kreis mit Radius $r = 5 \, \text{cm}$ wird zentrisch mit Faktor $k = 0{,}4$ gestreckt. Um wie viel Prozent verringert sich die Kreisfläche?

Lösung anzeigen

Die Fläche ändert sich mit dem Quadrat des Streckfaktors:

$k^2 = 0{,}4^2 = 0{,}16$

Die neue Fläche beträgt also $16\%$ der ursprünglichen Fläche. Die Verringerung beträgt:

$100\% - 16\% = 84\%$

Die Kreisfläche verringert sich um $84\%$.

❓ Frage: Bei einer zentrischen Streckung hat ein Punkt $P$ den Abstand $8 \, \text{cm}$ vom Zentrum. Sein Bildpunkt $P'$ hat den Abstand $12 \, \text{cm}$ vom Zentrum und liegt auf derselben Seite. Wie gross ist der Streckfaktor $k$?

Lösung anzeigen

Der Streckfaktor ergibt sich aus dem Verhältnis der Abstände:

$k = \frac{\overline{ZP'}}{\overline{ZP}} = \frac{12 \, \text{cm}}{8 \, \text{cm}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Da $P'$ auf derselben Seite liegt wie $P$, ist $k$ positiv. Der Streckfaktor beträgt $k = 1{,}5$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt die zentrische Streckung gemeistert. Damit kannst du Figuren vergrössern und verkleinern, ohne ihre Form zu verändern. Das ist die Grundlage für ein wichtiges Konzept: die Ähnlichkeit von Figuren.

Im nächsten Schritt wirst du die Strahlensätze kennenlernen. Sie beschreiben, was passiert, wenn zwei Geraden von einem Punkt aus (dem Streckzentrum) von parallelen Geraden geschnitten werden. Die Strahlensätze sind eng mit der zentrischen Streckung verwandt und haben viele praktische Anwendungen – vom Vermessen von Gebäuden bis zum Berechnen unzugänglicher Entfernungen.

Ausserdem wirst du lernen, wie du mit Hilfe der Ähnlichkeit beweisen kannst, dass zwei Figuren dieselbe Form haben. Die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke (SSS, SWS, WWS) werden dir dabei helfen. Sie sind das geometrische Gegenstück zu den Kongruenzsätzen, die du bereits kennst.