Strahlensätze einfach erklärt: So berechnest du ähnliche Figuren mit Leichtigkeit

Stell dir vor, du stehst an einem sonnigen Tag vor einem hohen Baum. Du möchtest wissen, wie hoch er ist – aber klettern kommt nicht in Frage. Dein Freund stellt sich neben den Baum. Du misst seinen Schatten und den Schatten des Baumes. Mit diesen beiden Längen und der Körpergrösse deines Freundes kannst du die Höhe des Baumes berechnen. Kein Klettern, kein Messen in luftiger Höhe. Nur ein bisschen Mathematik.

Dieses “Schattenspiel” funktioniert, weil die Sonnenstrahlen parallel einfallen. Sie erzeugen geometrische Verhältnisse, die immer gleich bleiben. Genau hier kommen die Strahlensätze ins Spiel. Sie sind dein Werkzeug, um unbekannte Längen in ähnlichen Figuren zu berechnen – ob bei Bäumen, Landkarten oder technischen Zeichnungen.

Von Schatten zu Strahlen: Das mathematische Prinzip

Lass uns das Baum-Beispiel genauer anschauen. Die Sonnenstrahlen treffen parallel auf den Boden. Dein Freund und der Baum stehen senkrecht. Ihre Schatten liegen auf dem Boden.

Wenn du das als Zeichnung darstellst, erkennst du ein Muster:

• Die Sonnenstrahlen bilden parallele Linien.
• Der Freund und der Baum bilden senkrechte Strecken.
• Die Schatten liegen auf einer gemeinsamen Geraden.

Diese Anordnung erzeugt zwei Dreiecke. Ein kleines Dreieck beim Freund. Ein grosses Dreieck beim Baum. Beide Dreiecke haben die gleiche Form – sie sind ähnlich. Und bei ähnlichen Figuren stehen die entsprechenden Seiten immer im gleichen Verhältnis.

Die Strahlensatzfigur: Dein Werkzeug für Verhältnisse

Die Strahlensätze beschreiben Verhältnisse in einer bestimmten Figur. Diese Figur entsteht, wenn von einem Punkt $S$ (dem Scheitel oder Zentrum) zwei Strahlen ausgehen. Diese Strahlen werden von parallelen Geraden geschnitten.

Stell dir vor:

• Vom Punkt $S$ gehen zwei Geraden aus.
• Eine parallele Gerade schneidet beide Strahlen. Die Schnittpunkte heissen $A$ und $B$.
• Eine zweite parallele Gerade schneidet beide Strahlen weiter aussen. Die Schnittpunkte heissen $A'$ und $B'$.

Die Strecken auf den Strahlen sind $\overline{SA}$, $\overline{SA'}$, $\overline{SB}$ und $\overline{SB'}$. Die Strecken zwischen den Parallelen sind $\overline{AB}$ und $\overline{A'B'}$.

Die drei Strahlensätze: Dein Rezept

Es gibt drei Strahlensätze. Jeder beschreibt ein bestimmtes Verhältnis.

1. Strahlensatz: Die Abschnitte auf einem Strahl verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.

$\frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}}$

2. Strahlensatz: Die Abschnitte auf einem Strahl verhalten sich wie die Abschnitte auf demselben Strahl, aber anders aufgeteilt.

$\frac{\overline{SA}}{\overline{AA'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{BB'}}$

3. Strahlensatz: Die parallelen Strecken verhalten sich wie die Abschnitte vom Scheitel aus.

$\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}}$

DEFINITION

Wenn zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, dann gilt:

1. Die Abschnitte auf den verschiedenen Strahlen stehen im gleichen Verhältnis.
2. Die Abschnitte auf demselben Strahl stehen im gleichen Verhältnis zu den Abschnitten zwischen den Parallelen.
3. Die parallelen Strecken stehen im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden Streckenabschnitte vom Scheitel.

Wichtig: Die Parallelen sind die Voraussetzung. Ohne parallele Geraden gelten die Strahlensätze nicht!

So wendest du die Strahlensätze an: Schritt für Schritt

1. Erkenne die Strahlensatzfigur: Suche den Scheitel $S$ und die beiden Strahlen. Identifiziere die parallelen Geraden.

2. Beschrifte die Punkte: Nenne die Schnittpunkte auf dem ersten Strahl $A$ und $A'$, auf dem zweiten Strahl $B$ und $B'$.

3. Wähle den passenden Strahlensatz: Überlege, welche Strecken du kennst und welche du suchst.

4. Stelle die Verhältnisgleichung auf: Schreibe die Formel mit den bekannten und unbekannten Werten.

5. Löse nach der Unbekannten auf: Multipliziere kreuzweise und rechne aus.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Die Parallelen vergessen zu prüfen Die Strahlensätze gelten NUR, wenn die schneidenden Geraden parallel sind. Prüfe das immer zuerst! Steht in der Aufgabe nichts von Parallelen, darfst du die Strahlensätze nicht anwenden.

Fehler 2: Die falschen Strecken ins Verhältnis setzen Achte genau darauf, welche Strecken “zusammengehören”. Im 1. Strahlensatz stehen sich $\overline{SA}$ und $\overline{SA'}$ gegenüber – nicht $\overline{SA}$ und $\overline{SB}$.

Fehler 3: Die Streckenabschnitte verwechseln $\overline{SA'}$ ist die gesamte Strecke vom Scheitel bis $A'$. $\overline{AA'}$ ist nur der Abschnitt zwischen $A$ und $A'$. Das ist ein grosser Unterschied! Es gilt: $\overline{SA'} = \overline{SA} + \overline{AA'}$.

Fehler 4: Die Reihenfolge in der Proportion vertauschen Wenn du $\frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}}$ aufschreibst, müssen oben die “entsprechenden” Strecken stehen. Beide Zähler sind die kürzeren Abschnitte, beide Nenner die längeren.

Beispiele

Beispiel 1: Die Grundaufgabe

Gegeben ist eine Strahlensatzfigur mit Scheitel $S$. Zwei Parallelen schneiden die Strahlen.

Bekannt: $\overline{SA} = 3 \, \text{cm}$, $\overline{AA'} = 5 \, \text{cm}$, $\overline{SB} = 4{,}5 \, \text{cm}$

Gesucht: $\overline{BB'}$

Lösung:

Zuerst berechnen wir $\overline{SA'}$: $\overline{SA'} = \overline{SA} + \overline{AA'} = 3 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm}$

Wir nutzen den 1. Strahlensatz: $\frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}}$

Einsetzen: $\frac{3}{8} = \frac{4{,}5}{\overline{SB'}}$

Kreuzweise multiplizieren: $3 \cdot \overline{SB'} = 8 \cdot 4{,}5$

$3 \cdot \overline{SB'} = 36$

$\overline{SB'} = 12 \, \text{cm}$

Damit ist $\overline{BB'} = \overline{SB'} - \overline{SB} = 12 \, \text{cm} - 4{,}5 \, \text{cm} = 7{,}5 \, \text{cm}$.

Beispiel 2: Die Baumhöhe berechnen

Ein Schüler (Körpergrösse $1{,}70 \, \text{m}$) steht neben einem Baum. Sein Schatten ist $2{,}40 \, \text{m}$ lang. Der Schatten des Baumes ist $8{,}40 \, \text{m}$ lang.

Gesucht: Die Höhe des Baumes.

Lösung:

Die Sonnenstrahlen fallen parallel ein. Die Person und der Baum stehen senkrecht. Das ergibt eine Strahlensatzfigur.

Die Schattenlängen liegen auf einem Strahl. Die Höhen entsprechen der parallelen Strecke.

Wir verwenden den 3. Strahlensatz: $\frac{\text{Höhe Person}}{\text{Höhe Baum}} = \frac{\text{Schatten Person}}{\text{Schatten Baum}}$

$\frac{1{,}70}{h} = \frac{2{,}40}{8{,}40}$

Kreuzweise multiplizieren: $1{,}70 \cdot 8{,}40 = h \cdot 2{,}40$

$14{,}28 = h \cdot 2{,}40$

$h = \frac{14{,}28}{2{,}40} = 5{,}95 \, \text{m}$

Der Baum ist etwa $5{,}95 \, \text{m}$ hoch.

Beispiel 3: Die V-Figur (gekreuzte Strahlen)

Zwei Geraden schneiden sich im Punkt $S$. Sie werden von zwei Parallelen geschnitten. Auf der einen Seite von $S$ entstehen die Punkte $A$ und $B$, auf der anderen Seite $A'$ und $B'$.

Bekannt: $\overline{SA} = 6 \, \text{cm}$, $\overline{SA'} = 9 \, \text{cm}$, $\overline{AB} = 5 \, \text{cm}$

Gesucht: $\overline{A'B'}$

Lösung:

Bei der V-Figur (auch X-Figur genannt) liegt der Scheitel $S$ zwischen den Parallelen. Die Strahlensätze gelten trotzdem!

Der 3. Strahlensatz sagt: $\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}}$

Einsetzen: $\frac{5}{\overline{A'B'}} = \frac{6}{9}$

Vereinfachen: $\frac{5}{\overline{A'B'}} = \frac{2}{3}$

Kreuzweise multiplizieren: $5 \cdot 3 = \overline{A'B'} \cdot 2$

$15 = \overline{A'B'} \cdot 2$

$\overline{A'B'} = 7{,}5 \, \text{cm}$

Beispiel 4: Anwendung in der Kartografie

Auf einer Wanderkarte möchtest du die Breite eines Flusses bestimmen. Du kannst nicht hinüberschwimmen, aber du kannst am Ufer entlanglaufen.

Du wählst einen Punkt $S$ am Ufer. Du visierst einen markanten Punkt $B'$ am gegenüberliegenden Ufer an. Du gehst am Ufer entlang und steckst einen Stock bei $A$ in den Boden ($\overline{SA} = 12 \, \text{m}$).

Du gehst weiter und steckst bei $A'$ einen zweiten Stock ($\overline{AA'} = 18 \, \text{m}$, also $\overline{SA'} = 30 \, \text{m}$).

Dann gehst du seitlich weg, bis der Stock bei $A$ genau vor dem Punkt $B'$ steht. Diesen Punkt nennst du $B$. Du misst $\overline{SB} = 8 \, \text{m}$.

Du wiederholst das für den Stock bei $A'$ und erhältst Punkt $B''$ mit $\overline{SB''} = 20 \, \text{m}$.

Gesucht: Der Abstand $\overline{SB'}$ (vom Ufer zum gegenüberliegenden Punkt).

Lösung:

Die Linien $AB$ und $A'B''$ sind parallel (beide stehen senkrecht zur Uferlinie).

Wir nutzen den 1. Strahlensatz. Die Strahlen von $S$ gehen durch $A, A'$ und durch $B, B', B''$.

$\frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{SB''}}$

Das ist bereits erfüllt (Kontrolle): $\frac{12}{30} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ ✓

Für die Flussbreite nutzen wir: $\frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}}$

Wir brauchen ein anderes Verhältnis. Die Strecke zum gegenüberliegenden Ufer liegt auf der Verlängerung.

Da $\frac{\overline{SB}}{\overline{SB''}} = \frac{2}{5}$, gilt auch $\frac{\overline{SB'}}{\overline{SB'''}} = \frac{2}{5}$ für entsprechende Punkte.

Für diese Aufgabe benötigen wir zusätzliche Messungen. Angenommen, wir messen zusätzlich $\overline{BB'} = 16 \, \text{m}$ durch Peilung.

Dann ist $\overline{SB'} = \overline{SB} + \overline{BB'} = 8 \, \text{m} + 16 \, \text{m} = 24 \, \text{m}$.

Der Fluss ist etwa $24 - 8 = 16 \, \text{m}$ breit.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Strahlensätze beschreiben Verhältnisse in einer Figur aus zwei Strahlen, die von parallelen Geraden geschnitten werden.
• Voraussetzung: Die schneidenden Geraden müssen parallel sein. Ohne Parallelen keine Strahlensätze!
• Der 1. Strahlensatz setzt die Abschnitte auf verschiedenen Strahlen ins Verhältnis.
• Der 3. Strahlensatz setzt die parallelen Strecken ins Verhältnis zu den Strahlenabschnitten.
• Anwendung: Unbekannte Längen berechnen, wenn direktes Messen nicht möglich ist (Baumhöhen, Flussbreiten, Gebäude).
• Vorgehen: Figur erkennen → Punkte beschriften → passenden Strahlensatz wählen → Verhältnisgleichung aufstellen → nach Unbekannter auflösen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: In einer Strahlensatzfigur gilt: $\overline{SA} = 4 \, \text{cm}$, $\overline{SA'} = 10 \, \text{cm}$, $\overline{SB} = 6 \, \text{cm}$. Wie lang ist $\overline{SB'}$?

Lösung anzeigen

Wir nutzen den 1. Strahlensatz: $\frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}}$

$\frac{4}{10} = \frac{6}{\overline{SB'}}$

$\overline{SB'} = \frac{6 \cdot 10}{4} = 15 \, \text{cm}$

❓ Frage: Warum darfst du die Strahlensätze nicht anwenden, wenn die schneidenden Geraden nicht parallel sind?

Lösung anzeigen

Die Strahlensätze basieren auf der Ähnlichkeit der entstehenden Dreiecke. Ähnliche Dreiecke haben gleiche Winkel. Die gleichen Winkel entstehen nur, wenn die schneidenden Geraden parallel sind (Stufenwinkel und Wechselwinkel an Parallelen sind gleich gross). Ohne Parallelen sind die Winkel verschieden, die Dreiecke nicht ähnlich, und die Verhältnisse stimmen nicht mehr.

❓ Frage: Ein Kirchturm wirft einen Schatten von $35 \, \text{m}$ Länge. Ein $2 \, \text{m}$ hoher Stab wirft gleichzeitig einen Schatten von $2{,}80 \, \text{m}$. Wie hoch ist der Kirchturm?

Lösung anzeigen

Die Sonnenstrahlen fallen parallel. Es entsteht eine Strahlensatzfigur.

$\frac{\text{Höhe Stab}}{\text{Höhe Turm}} = \frac{\text{Schatten Stab}}{\text{Schatten Turm}}$

$\frac{2}{h} = \frac{2{,}80}{35}$

$h = \frac{2 \cdot 35}{2{,}80} = \frac{70}{2{,}80} = 25 \, \text{m}$

Der Kirchturm ist $25 \, \text{m}$ hoch.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Die Strahlensätze sind ein Spezialfall der Ähnlichkeit von Figuren. Als Nächstes wirst du lernen, wann zwei Figuren allgemein ähnlich sind und wie du den Ähnlichkeitsfaktor (Massstabsfaktor) berechnest.

Ausserdem bilden die Strahlensätze die Grundlage für die zentrische Streckung – eine geometrische Abbildung, bei der Figuren vergrössert oder verkleinert werden. In der Oberstufe wirst du sehen, wie eng die Strahlensätze mit Trigonometrie und dem Satz des Thales verbunden sind. Du hast jetzt das Werkzeug in der Hand, um Entfernungen zu berechnen, die du nicht direkt messen kannst – eine Fähigkeit, die Landvermesser, Architekten und Ingenieure täglich nutzen.