Ähnliche Figuren: Fläche und Volumen strecken – So funktioniert's

Stell dir vor, du bestellst eine Pizza. Die kleine Pizza hat einen Durchmesser von 20 cm, die grosse einen von 40 cm – also das Doppelte. Dein Freund behauptet: “Die grosse Pizza ist doppelt so viel wie die kleine, also teilen wir uns die Kosten fair!” Aber stimmt das wirklich? Spoiler: Dein Freund liegt komplett daneben. Die grosse Pizza hat nicht doppelt so viel Belag – sie hat viermal so viel. Und genau dieses Phänomen werden wir heute mathematisch verstehen. Du wirst lernen, warum das Vergrössern einer Figur die Fläche und das Volumen nicht einfach verdoppelt, sondern viel stärker anwachsen lässt.

Vom Pizzabeispiel zur Mathematik

Lass uns das Pizzabeispiel genauer anschauen. Die kleine Pizza hat einen Durchmesser von 20 cm, die grosse einen von 40 cm. Das Verhältnis der Durchmesser ist also:

$$k = \frac{40 \, \text{cm}}{20 \, \text{cm}} = 2$$

Dieses Verhältnis nennen wir den Streckfaktor $k$. Er sagt uns, um wie viel grösser die eine Figur im Vergleich zur anderen ist – bezogen auf die Längen.

Aber was passiert mit der Fläche? Die Fläche eines Kreises berechnet sich mit $A = \pi \cdot r^2$. Wenn der Radius doppelt so gross wird, dann wird $r^2$ nicht doppelt, sondern viermal so gross. Denn:

$$(2r)^2 = 4r^2$$

Das ist der Schlüssel zum Verständnis: Flächen wachsen quadratisch mit dem Streckfaktor.

Der Streckfaktor und seine Auswirkungen

Wenn zwei Figuren ähnlich sind, dann stimmen alle Winkel überein und alle entsprechenden Längen stehen im gleichen Verhältnis zueinander. Dieses Verhältnis ist der Streckfaktor $k$.

Aber Längen, Flächen und Volumen verhalten sich unterschiedlich:

1. Längen werden mit dem Streckfaktor $k$ multipliziert.
2. Flächen werden mit $k^2$ multipliziert (dem Quadrat des Streckfaktors).
3. Volumen werden mit $k^3$ multipliziert (der dritten Potenz des Streckfaktors).

Hier siehst du das Prinzip in einer Tabelle:

Grösse	Formel für die Vergrösserung
Länge	$L_{\text{neu}} = k \cdot L_{\text{alt}}$
Fläche	$A_{\text{neu}} = k^2 \cdot A_{\text{alt}}$
Volumen	$V_{\text{neu}} = k^3 \cdot V_{\text{alt}}$

DEFINITION

Bei ähnlichen Figuren mit Streckfaktor $k$ gilt:

• Alle Längen werden mit $k$ multipliziert.
• Alle Flächen werden mit $k^2$ multipliziert.
• Alle Volumen werden mit $k^3$ multipliziert.

Der Streckfaktor $k$ ist das Verhältnis zweier entsprechender Längen: $k = \frac{L_{\text{neu}}}{L_{\text{alt}}}$.

Warum ist das so? Eine anschauliche Erklärung

Stell dir ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm vor. Seine Fläche beträgt $1 \, \text{cm}^2$.

Jetzt verdoppelst du die Seitenlänge auf 2 cm. Das neue Quadrat hat die Fläche $2 \cdot 2 = 4 \, \text{cm}^2$. In das grosse Quadrat passen genau vier kleine Quadrate hinein. Die Fläche ist also $2^2 = 4$-mal so gross.

Das gleiche Prinzip gilt für einen Würfel. Ein kleiner Würfel mit Kantenlänge 1 cm hat das Volumen $1 \, \text{cm}^3$. Verdoppelst du die Kante auf 2 cm, dann ist das neue Volumen $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \, \text{cm}^3$. In den grossen Würfel passen acht kleine Würfel. Das Volumen ist $2^3 = 8$-mal so gross.

Dieses Prinzip gilt für alle ähnlichen Figuren – egal ob Kreise, Dreiecke, Pyramiden oder komplizierte Formen.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Den Streckfaktor direkt auf die Fläche anwenden Viele Schüler denken: “Der Streckfaktor ist 3, also ist die Fläche 3-mal so gross.” Das ist falsch! Die Fläche ist $3^2 = 9$-mal so gross. Merke dir: Flächen brauchen immer $k^2$.

Fehler 2: Volumen mit $k^2$ statt $k^3$ berechnen Beim Volumen gilt die dritte Potenz. Ein Streckfaktor von 2 bedeutet ein $2^3 = 8$-mal so grosses Volumen – nicht ein 4-mal so grosses.

Fehler 3: Den Streckfaktor falsch herum berechnen Achte darauf, welche Figur die “neue” und welche die “alte” ist. Wenn du verkleinerst, ist $k < 1$. Zum Beispiel: Von 10 cm auf 5 cm ergibt $k = \frac{5}{10} = 0{,}5$.

Beispiele

Beispiel 1: Zwei ähnliche Dreiecke

Ein Dreieck hat eine Grundseite von 6 cm und eine Fläche von 18 cm². Ein ähnliches Dreieck hat eine Grundseite von 9 cm. Wie gross ist seine Fläche?

Schritt 1: Streckfaktor berechnen

$$k = \frac{9 \, \text{cm}}{6 \, \text{cm}} = 1{,}5$$

Schritt 2: Flächenfaktor berechnen

$$k^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$$

Schritt 3: Neue Fläche berechnen

$$A_{\text{neu}} = k^2 \cdot A_{\text{alt}} = 2{,}25 \cdot 18 \, \text{cm}^2 = 40{,}5 \, \text{cm}^2$$

Die Fläche des grösseren Dreiecks beträgt 40,5 cm².

Beispiel 2: Zwei ähnliche Quader – Volumenberechnung

Ein Quader hat die Masse $4 \, \text{cm} \times 3 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm}$ und somit ein Volumen von 24 cm³. Ein ähnlicher Quader hat Kanten, die dreimal so lang sind. Wie gross ist sein Volumen?

Schritt 1: Streckfaktor erkennen

Der Streckfaktor ist gegeben: $k = 3$.

Schritt 2: Volumenfaktor berechnen

$$k^3 = 3^3 = 27$$

Schritt 3: Neues Volumen berechnen

$$V_{\text{neu}} = k^3 \cdot V_{\text{alt}} = 27 \cdot 24 \, \text{cm}^3 = 648 \, \text{cm}^3$$

Das Volumen des grösseren Quaders beträgt 648 cm³.

Zur Kontrolle: Die neuen Kanten sind $12 \, \text{cm} \times 9 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm}$. Das Volumen ist $12 \cdot 9 \cdot 6 = 648 \, \text{cm}^3$. ✓

Beispiel 3: Modellbau – vom Kleinen aufs Grosse schliessen

Ein Architekt baut ein Modell eines Hauses im Massstab 1:50. Das Dach des Modells hat eine Fläche von 200 cm². Wie gross ist die tatsächliche Dachfläche in Quadratmetern?

Schritt 1: Streckfaktor bestimmen

Der Massstab 1:50 bedeutet: Das echte Haus ist 50-mal grösser als das Modell.

$$k = 50$$

Schritt 2: Flächenfaktor berechnen

$$k^2 = 50^2 = 2500$$

Schritt 3: Echte Fläche berechnen

$$A_{\text{echt}} = 2500 \cdot 200 \, \text{cm}^2 = 500\,000 \, \text{cm}^2$$

Schritt 4: In Quadratmeter umrechnen

$$500\,000 \, \text{cm}^2 = 500\,000 \div 10\,000 \, \text{m}^2 = 50 \, \text{m}^2$$

Die tatsächliche Dachfläche beträgt 50 m².

Beispiel 4: Rückwärts rechnen – vom Volumen zum Streckfaktor

Zwei ähnliche Kugeln haben Volumen von 36 cm³ und 972 cm³. Wie verhalten sich ihre Radien zueinander?

Schritt 1: Volumenverhältnis berechnen

$$\frac{V_{\text{gross}}}{V_{\text{klein}}} = \frac{972}{36} = 27$$

Schritt 2: Streckfaktor berechnen

Da $k^3 = 27$ gilt:

$$k = \sqrt[3]{27} = 3$$

Schritt 3: Interpretation

Der Radius der grossen Kugel ist 3-mal so gross wie der Radius der kleinen Kugel.

Beispiel 5: Anwendung in der Realität – Kosten eines Pools

Ein rechteckiger Pool mit den Massen $4 \, \text{m} \times 2 \, \text{m} \times 1{,}5 \, \text{m}$ fasst 12’000 Liter Wasser. Die Wasserkosten betragen 180 CHF. Ein ähnlicher Pool ist doppelt so gross in jeder Dimension. Wie viel kostet seine Füllung?

Schritt 1: Streckfaktor erkennen

$$k = 2$$

Schritt 2: Volumenfaktor berechnen

$$k^3 = 2^3 = 8$$

Schritt 3: Neue Kosten berechnen

Das Volumen ist 8-mal so gross, also sind auch die Wasserkosten 8-mal so hoch:

$$\text{Kosten}_{\text{neu}} = 8 \cdot 180 \, \text{CHF} = 1440 \, \text{CHF}$$

Die Füllung des grösseren Pools kostet 1440 CHF.

Das Wichtigste in Kürze

• Der Streckfaktor $k$ ist das Verhältnis entsprechender Längen zweier ähnlicher Figuren.
• Längen skalieren linear mit $k$.
• Flächen skalieren quadratisch mit $k^2$. Eine Verdoppelung der Längen vervierfacht die Fläche.
• Volumen skalieren kubisch mit $k^3$. Eine Verdoppelung der Längen verachtfacht das Volumen.
• Um vom Flächen- oder Volumenverhältnis auf den Streckfaktor zu schliessen, ziehst du die entsprechende Wurzel: $k = \sqrt{A\text{-Verhältnis}}$ oder $k = \sqrt[3]{V\text{-Verhältnis}}$.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Quadrat hat eine Seitenlänge von 5 cm. Ein ähnliches Quadrat hat eine Seitenlänge von 15 cm. Wie viel mal grösser ist die Fläche des grossen Quadrats?

Lösung anzeigen

Der Streckfaktor ist $k = \frac{15}{5} = 3$.

Die Fläche ist $k^2 = 3^2 = 9$-mal so gross.

❓ Frage: Zwei ähnliche Zylinder haben Volumen von 50 cm³ und 400 cm³. Berechne den Streckfaktor $k$.

Lösung anzeigen

Das Volumenverhältnis ist $\frac{400}{50} = 8$.

Da $k^3 = 8$ gilt: $k = \sqrt[3]{8} = 2$.

Der Streckfaktor beträgt 2.

❓ Frage: Eine Landkarte hat den Massstab 1:25’000. Ein See auf der Karte hat eine Fläche von 4 cm². Wie gross ist die tatsächliche Seefläche in Quadratkilometern?

Lösung anzeigen

Der Streckfaktor ist $k = 25\,000$.

Der Flächenfaktor ist $k^2 = 25\,000^2 = 625\,000\,000$.

Die echte Fläche ist: $A = 625\,000\,000 \cdot 4 \, \text{cm}^2 = 2\,500\,000\,000 \, \text{cm}^2$.

Umrechnung: $2\,500\,000\,000 \, \text{cm}^2 = 250\,000 \, \text{m}^2 = 0{,}25 \, \text{km}^2$.

Die Seefläche beträgt 0,25 km² (oder 25 Hektar).

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt verstanden, wie Längen, Flächen und Volumen bei ähnlichen Figuren zusammenhängen. Dieses Wissen ist die Grundlage für viele weiterführende Themen. In der nächsten Zeit wirst du dich mit den Strahlensätzen beschäftigen, die dir helfen, unbekannte Längen in ähnlichen Figuren zu berechnen. Ausserdem wirst du lernen, wie du mit trigonometrischen Funktionen Winkel und Seiten in Dreiecken bestimmen kannst. Die Idee der Skalierung begegnet dir auch in der Physik – zum Beispiel bei der Frage, warum Ameisen im Verhältnis zu ihrer Grösse so stark sind, während Elefanten verhältnismässig schwächere Beine haben. Die Mathematik hinter den ähnlichen Figuren steckt überall!