Ähnliche Dreiecke einfach erklärt: So erkennst du sie auf einen Blick

Stell dir vor, du machst ein Foto von einem Dreieck und vergrösserst es am Computer auf das Doppelte. Das neue Dreieck sieht genauso aus wie das Original – nur grösser. Die Winkel sind identisch, die Seiten sind im gleichen Verhältnis länger geworden. Genau das passiert auch bei Landkarten: Die Schweiz auf einer kleinen Wanderkarte hat dieselbe Form wie auf einer grossen Schulkarte. Nur der Massstab ist anders.

In der Mathematik nennen wir solche Figuren ähnlich. Ähnliche Dreiecke begegnen dir überall: in der Architektur, bei Schatten, in der Navigation und sogar bei der Berechnung von Baumhöhen. Mit dem Konzept der Ähnlichkeit kannst du unbekannte Längen berechnen, ohne sie direkt zu messen – ein mächtiges Werkzeug, das du heute meistern wirst.

Von der Kopie zum mathematischen Prinzip

Kehren wir zu unserem Foto-Beispiel zurück. Wenn du ein Dreieck um den Faktor $2$ vergrösserst, passiert Folgendes:

• Jede Seite wird doppelt so lang
• Alle drei Winkel bleiben exakt gleich
• Das Verhältnis der Seiten zueinander bleibt konstant

Hatte das Original die Seiten $3 \, \text{cm}$, $4 \, \text{cm}$ und $5 \, \text{cm}$, so hat die Vergrösserung die Seiten $6 \, \text{cm}$, $8 \, \text{cm}$ und $10 \, \text{cm}$. Das Verhältnis von kürzester zu längster Seite bleibt gleich: $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0{,}6$.

Dieser Vergrösserungsfaktor hat einen Namen: den Ähnlichkeitsfaktor $k$. Er gibt an, um wie viel eine Figur gestreckt oder gestaucht wurde.

Was bedeutet Ähnlichkeit bei Dreiecken?

Zwei Dreiecke heissen ähnlich, wenn sie die gleiche Form haben – unabhängig von ihrer Grösse. Mathematisch bedeutet das zwei Dinge:

1. Alle entsprechenden Winkel sind gleich gross.
2. Alle entsprechenden Seiten stehen im gleichen Verhältnis.

Wir schreiben für ähnliche Dreiecke $ABC$ und $DEF$:

$$\triangle ABC \sim \triangle DEF$$

Das Zeichen $\sim$ bedeutet “ist ähnlich zu”. Die Reihenfolge der Buchstaben ist wichtig: Sie zeigt dir, welche Ecken einander entsprechen. $A$ entspricht $D$, $B$ entspricht $E$ und $C$ entspricht $F$.

DEFINITION

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in allen drei Winkeln übereinstimmen. In diesem Fall gilt für die entsprechenden Seiten:

$$\frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f} = k$$

Der Ähnlichkeitsfaktor $k$ gibt das Verhältnis der entsprechenden Seiten an. Ist $k > 1$, liegt eine Vergrösserung vor. Ist $k < 1$, liegt eine Verkleinerung vor.

Die Ähnlichkeitssätze: Dein Werkzeugkasten

Um zu prüfen, ob zwei Dreiecke ähnlich sind, musst du nicht alle Seiten und Winkel kennen. Es reicht, bestimmte Bedingungen zu überprüfen. Dafür gibt es drei Ähnlichkeitssätze:

Erster Ähnlichkeitssatz (WW)

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

Warum reichen zwei Winkel? Die Winkelsumme im Dreieck beträgt immer $180°$. Kennst du zwei Winkel, ist der dritte automatisch festgelegt:

$$\gamma = 180° - \alpha - \beta$$

Zweiter Ähnlichkeitssatz (SWS)

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in einem Winkel übereinstimmen und die anliegenden Seiten im gleichen Verhältnis stehen.

Dritter Ähnlichkeitssatz (SSS)

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn alle drei Seitenverhältnisse gleich sind.

In der Praxis verwendest du meistens den ersten Satz (WW), weil Winkel oft am einfachsten zu erkennen oder zu messen sind.

Schritt-für-Schritt: Ähnlichkeit erkennen und nutzen

So gehst du bei Aufgaben zu ähnlichen Dreiecken vor:

1. Dreiecke identifizieren: Markiere die beiden Dreiecke, die du vergleichen willst.
2. Entsprechende Ecken zuordnen: Finde heraus, welche Ecken einander entsprechen (gleiche Winkel).
3. Ähnlichkeit prüfen: Wende einen der drei Ähnlichkeitssätze an.
4. Verhältnisgleichung aufstellen: Setze die entsprechenden Seiten ins Verhältnis.
5. Unbekannte berechnen: Löse die Gleichung nach der gesuchten Grösse auf.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest:

1. Falsche Zuordnung der Ecken: Achte genau darauf, welche Ecken einander entsprechen. Die Reihenfolge der Buchstaben bei $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ist entscheidend. Tipp: Zeichne die Dreiecke in der gleichen Orientierung.

2. Seitenverhältnisse vertauscht: Wenn $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, dann gilt $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}$. Vertausche niemals Zähler und Nenner willkürlich.

3. Ähnlichkeitsfaktor falsch berechnet: Der Faktor $k$ hängt davon ab, welches Dreieck du als Ausgangspunkt wählst. Von klein nach gross ergibt $k > 1$, von gross nach klein ergibt $k < 1$.

Beispiele

Beispiel 1: Ähnlichkeit über Winkel erkennen

Aufgabe: Gegeben sind zwei Dreiecke. Im Dreieck $ABC$ gilt $\alpha = 50°$ und $\beta = 70°$. Im Dreieck $DEF$ gilt $\delta = 50°$ und $\epsilon = 70°$. Sind die Dreiecke ähnlich?

Lösung:

Schritt 1: Berechne den dritten Winkel in beiden Dreiecken.

Für Dreieck $ABC$:

$$\gamma = 180° - 50° - 70° = 60°$$

Für Dreieck $DEF$:

$$\zeta = 180° - 50° - 70° = 60°$$

Schritt 2: Vergleiche die Winkel.

• $\alpha = \delta = 50°$
• $\beta = \epsilon = 70°$
• $\gamma = \zeta = 60°$

Alle drei Winkelpaare stimmen überein.

Antwort: Ja, die Dreiecke sind ähnlich nach dem Satz WW. Es gilt $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Beispiel 2: Unbekannte Seite berechnen

Aufgabe: Die Dreiecke $ABC$ und $DEF$ sind ähnlich mit $\triangle ABC \sim \triangle DEF$. Gegeben sind:

• $AB = 6 \, \text{cm}$
• $BC = 8 \, \text{cm}$
• $DE = 9 \, \text{cm}$

Berechne die Länge von $EF$.

Lösung:

Schritt 1: Stelle die Verhältnisgleichung auf.

Da $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, entspricht $AB$ der Seite $DE$ und $BC$ der Seite $EF$.

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}$$

Schritt 2: Setze die bekannten Werte ein.

$$\frac{6}{9} = \frac{8}{EF}$$

Schritt 3: Löse nach $EF$ auf.

$$EF = \frac{8 \cdot 9}{6} = \frac{72}{6} = 12$$

Antwort: Die Seite $EF$ ist $12 \, \text{cm}$ lang.

Beispiel 3: Baumhöhe mit Schatten berechnen

Aufgabe: Ein Baum wirft einen Schatten von $15 \, \text{m}$ Länge. Gleichzeitig wirft ein $1{,}80 \, \text{m}$ grosser Mensch einen Schatten von $2{,}40 \, \text{m}$. Wie hoch ist der Baum?

Lösung:

Schritt 1: Erkenne die ähnlichen Dreiecke.

Die Sonnenstrahlen fallen parallel ein. Dadurch entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke mit dem gleichen Winkel zur Sonne. Nach dem Satz WW sind diese Dreiecke ähnlich.

• Dreieck 1: Baum (Höhe $h$) und sein Schatten ($15 \, \text{m}$)
• Dreieck 2: Mensch ($1{,}80 \, \text{m}$) und sein Schatten ($2{,}40 \, \text{m}$)

Schritt 2: Stelle die Verhältnisgleichung auf.

$$\frac{\text{Höhe Baum}}{\text{Höhe Mensch}} = \frac{\text{Schatten Baum}}{\text{Schatten Mensch}}$$$$\frac{h}{1{,}80} = \frac{15}{2{,}40}$$

Schritt 3: Löse nach $h$ auf.

$$h = \frac{15 \cdot 1{,}80}{2{,}40} = \frac{27}{2{,}40} = 11{,}25$$

Antwort: Der Baum ist $11{,}25 \, \text{m}$ hoch.

Beispiel 4: Ähnlichkeitsfaktor bestimmen und anwenden

Aufgabe: Ein Dreieck $ABC$ hat die Seiten $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 7 \, \text{cm}$ und $c = 9 \, \text{cm}$. Ein ähnliches Dreieck $DEF$ hat die Seite $d = 15 \, \text{cm}$. Berechne den Ähnlichkeitsfaktor und die Seiten $e$ und $f$.

Lösung:

Schritt 1: Bestimme den Ähnlichkeitsfaktor $k$.

Die Seite $a$ im ersten Dreieck entspricht der Seite $d$ im zweiten Dreieck.

$$k = \frac{d}{a} = \frac{15}{5} = 3$$

Schritt 2: Berechne die übrigen Seiten.

$$e = k \cdot b = 3 \cdot 7 = 21 \, \text{cm}$$$$f = k \cdot c = 3 \cdot 9 = 27 \, \text{cm}$$

Antwort: Der Ähnlichkeitsfaktor beträgt $k = 3$. Die Seiten sind $e = 21 \, \text{cm}$ und $f = 27 \, \text{cm}$.

Das Verhältnis der Flächeninhalte

Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind mit dem Ähnlichkeitsfaktor $k$, dann gilt für ihre Flächeninhalte:

$$\frac{A_2}{A_1} = k^2$$

Die Fläche wächst also quadratisch mit dem Ähnlichkeitsfaktor. Verdoppelst du alle Seiten ($k = 2$), vervierfacht sich die Fläche ($k^2 = 4$).

Beispiel 5: Flächenverhältnis berechnen

Aufgabe: Zwei ähnliche Dreiecke haben Seiten im Verhältnis $3 : 5$. In welchem Verhältnis stehen ihre Flächeninhalte?

Lösung:

Der Ähnlichkeitsfaktor ist $k = \frac{5}{3}$.

Das Flächenverhältnis beträgt:

$$k^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$$

Antwort: Die Flächeninhalte stehen im Verhältnis $9 : 25$.

Besondere Situationen: Strahlensätze und Parallelen

Ähnliche Dreiecke entstehen oft automatisch, wenn eine Parallele zu einer Dreiecksseite gezogen wird. Diese Situation führt zu den Strahlensätzen, die eng mit der Ähnlichkeit verwandt sind.

Wird in einem Dreieck $ABC$ eine Parallele zur Seite $BC$ gezogen, die die anderen beiden Seiten in $D$ und $E$ schneidet, dann gilt:

$$\triangle ADE \sim \triangle ABC$$

Die entstehenden Dreiecke sind ähnlich, weil sie alle Winkel teilen.

Das Wichtigste in Kürze

• Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn alle Winkel übereinstimmen oder alle Seitenverhältnisse gleich sind.
• Der Ähnlichkeitsfaktor $k$ gibt das Verhältnis entsprechender Seiten an.
• Mit dem Satz WW reichen zwei gleiche Winkel, um Ähnlichkeit nachzuweisen.
• Entsprechende Seiten stehen im gleichen Verhältnis: $\frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f} = k$.
• Das Flächenverhältnis ähnlicher Dreiecke ist $k^2$.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Dreieck hat die Winkel $40°$, $60°$ und $80°$. Ein zweites Dreieck hat die Winkel $60°$ und $80°$. Sind die beiden Dreiecke ähnlich?

Lösung anzeigen

Ja, die Dreiecke sind ähnlich. Der dritte Winkel des zweiten Dreiecks beträgt $180° - 60° - 80° = 40°$. Damit stimmen alle drei Winkel überein, und nach dem Satz WW sind die Dreiecke ähnlich.

❓ Frage: Die Seiten eines Dreiecks sind $4 \, \text{cm}$, $6 \, \text{cm}$ und $8 \, \text{cm}$. Ein ähnliches Dreieck hat die kürzeste Seite von $10 \, \text{cm}$. Wie lang ist die längste Seite des ähnlichen Dreiecks?

Lösung anzeigen

Der Ähnlichkeitsfaktor ist $k = \frac{10}{4} = 2{,}5$.

Die längste Seite des ähnlichen Dreiecks beträgt: $8 \cdot 2{,}5 = 20 \, \text{cm}$

❓ Frage: Zwei ähnliche Dreiecke haben Flächeninhalte von $16 \, \text{cm}^2$ und $64 \, \text{cm}^2$. Wie gross ist der Ähnlichkeitsfaktor $k$?

Lösung anzeigen

Das Flächenverhältnis ist $\frac{64}{16} = 4$.

Da das Flächenverhältnis gleich $k^2$ ist, gilt: $k^2 = 4$ $k = 2$

Der Ähnlichkeitsfaktor beträgt $k = 2$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Mit dem Konzept der Ähnlichkeit hast du ein wichtiges Fundament gelegt. Im nächsten Schritt lernst du die Strahlensätze kennen, die eine direkte Anwendung der Ähnlichkeit bei Geraden durch einen gemeinsamen Punkt sind. Die Strahlensätze ermöglichen es dir, Streckenverhältnisse schnell zu berechnen, ohne jedes Mal die vollständige Ähnlichkeit nachweisen zu müssen.

Später wirst du die Ähnlichkeit auch bei anderen Figuren anwenden und die zentrische Streckung als geometrische Abbildung kennenlernen. In der Oberstufe bilden ähnliche Dreiecke die Grundlage für die Trigonometrie – denn Sinus, Kosinus und Tangens sind nichts anderes als Seitenverhältnisse in ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken.