Wahrscheinlichkeitsskala verstehen: Von unmöglich bis sicher in Zahlen

Stell dir vor, du stehst morgens auf und überlegst: Wird es heute regnen? Du schaust aus dem Fenster. Der Himmel ist strahlend blau, keine einzige Wolke. Du denkst: “Regen? Das ist praktisch ausgeschlossen.” Am nächsten Tag sieht es anders aus. Schwarze Wolken türmen sich, es donnert in der Ferne. Jetzt würdest du sagen: “Regen ist so gut wie sicher.”

Zwischen “ausgeschlossen” und “sicher” liegt ein ganzes Spektrum von Möglichkeiten. Vielleicht regnet es “wahrscheinlich” oder “eher unwahrscheinlich”. Im Alltag benutzen wir solche Wörter ständig. Aber Wörter sind ungenau. Was der eine als “wahrscheinlich” bezeichnet, hält der andere vielleicht nur für “möglich”.

Die Mathematik löst dieses Problem elegant: Sie ersetzt schwammige Wörter durch exakte Zahlen. Das Werkzeug dafür ist die Wahrscheinlichkeitsskala. Sie verwandelt dein Bauchgefühl in präzise Angaben – und genau das lernst du jetzt.

Von Wörtern zu Zahlen: Warum wir eine Skala brauchen

Zurück zu unserem Wetter-Beispiel. Stell dir vor, ein Meteorologe sagt: “Es wird wahrscheinlich regnen.” Was bedeutet das genau? Für den einen heisst “wahrscheinlich” vielleicht 60%, für den anderen 80%. Diese Unklarheit kann Probleme verursachen – etwa wenn du entscheidest, ob du einen Regenschirm mitnimmst.

In der Mathematik wollen wir Missverständnisse vermeiden. Deshalb ordnen wir jeder Wahrscheinlichkeit eine Zahl zu. Diese Zahl liegt immer zwischen 0 und 1. Das ist die Wahrscheinlichkeitsskala.

Denk an ein Thermometer. Es zeigt die Temperatur nicht mit Wörtern wie “kalt” oder “warm” an, sondern mit einer Zahl auf einer Skala. Genauso funktioniert die Wahrscheinlichkeitsskala: Sie misst, wie “wahrscheinlich” etwas ist – aber eben mit einer Zahl statt mit einem Wort.

Die Wahrscheinlichkeitsskala von 0 bis 1

Die Wahrscheinlichkeitsskala ist überraschend einfach aufgebaut. Sie beginnt bei 0 und endet bei 1. Jede mögliche Wahrscheinlichkeit liegt irgendwo auf dieser Strecke.

Die Eckpunkte der Skala:

• 0 bedeutet: unmöglich. Das Ereignis kann unter keinen Umständen eintreten. Beispiel: Du wirfst einen normalen Würfel und erhältst die Zahl 7. Das ist unmöglich, weil ein Würfel nur die Zahlen 1 bis 6 hat.

• 1 bedeutet: sicher. Das Ereignis tritt garantiert ein. Beispiel: Du wirfst einen Würfel und erhältst eine Zahl zwischen 1 und 6. Das passiert mit Sicherheit.

• 0,5 bedeutet: fifty-fifty. Das Ereignis tritt genauso oft ein, wie es nicht eintritt. Beispiel: Du wirfst eine faire Münze. Kopf oder Zahl – beide Seiten sind gleich wahrscheinlich.

Alle anderen Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen diesen Werten. Je näher die Zahl an 1 liegt, desto wahrscheinlicher ist das Ereignis. Je näher sie an 0 liegt, desto unwahrscheinlicher.

DEFINITION

Die Wahrscheinlichkeit $P$ eines Ereignisses ist eine Zahl zwischen 0 und 1:

$0 \leq P \leq 1$

Dabei gilt:

• $P = 0$: Das Ereignis ist unmöglich.
• $P = 1$: Das Ereignis ist sicher.
• $P = 0{,}5$: Das Ereignis tritt in der Hälfte aller Fälle ein.

Je grösser $P$, desto wahrscheinlicher ist das Ereignis.

Wahrscheinlichkeiten als Prozent oder Bruch

Du kannst Wahrscheinlichkeiten auf drei Arten angeben: als Dezimalzahl, als Bruch oder als Prozentzahl. Alle drei Formen beschreiben dasselbe – sie sind nur unterschiedliche Schreibweisen.

Die Umrechnung:

Dezimalzahl	Bruch	Prozent
$0$	$\frac{0}{1}$	$0\%$
$0{,}25$	$\frac{1}{4}$	$25\%$
$0{,}5$	$\frac{1}{2}$	$50\%$
$0{,}75$	$\frac{3}{4}$	$75\%$
$1$	$\frac{1}{1}$	$100\%$

Umrechnungsregeln:

• Von Dezimalzahl zu Prozent: Multipliziere mit 100. Beispiel: $0{,}35 \cdot 100 = 35\%$
• Von Prozent zu Dezimalzahl: Dividiere durch 100. Beispiel: $72\% : 100 = 0{,}72$
• Von Bruch zu Dezimalzahl: Führe die Division aus. Beispiel: $\frac{3}{5} = 3 : 5 = 0{,}6$

In der Schule und im Alltag begegnen dir alle drei Formen. Wettervorhersagen nutzen oft Prozent (“30% Regenwahrscheinlichkeit”). In der Mathematik arbeiten wir meist mit Dezimalzahlen oder Brüchen.

Alltagsbegriffe auf der Skala einordnen

Jetzt kommt der spannende Teil: Wir übersetzen alltägliche Wörter in Zahlen. Diese Zuordnung ist nicht in Stein gemeisselt, aber es gibt übliche Richtwerte.

Alltagsbegriff	Ungefähre Wahrscheinlichkeit
Unmöglich	$P = 0$
Sehr unwahrscheinlich	$P \approx 0{,}1$
Unwahrscheinlich	$P \approx 0{,}2 - 0{,}3$
Möglich, aber nicht wahrscheinlich	$P \approx 0{,}3 - 0{,}4$
Etwa fifty-fifty	$P \approx 0{,}5$
Eher wahrscheinlich	$P \approx 0{,}6 - 0{,}7$
Wahrscheinlich	$P \approx 0{,}7 - 0{,}8$
Sehr wahrscheinlich	$P \approx 0{,}9$
Sicher	$P = 1$

Diese Tabelle hilft dir, Wahrscheinlichkeiten einzuschätzen. Wenn jemand sagt “Es ist unwahrscheinlich, dass der Bus pünktlich kommt”, kannst du das als $P \approx 0{,}2$ bis $0{,}3$ interpretieren.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest:

1. Wahrscheinlichkeiten über 1 oder unter 0 angeben. Manche Schüler schreiben $P = 1{,}5$ oder $P = -0{,}2$. Das ist mathematisch unmöglich. Die Wahrscheinlichkeitsskala endet bei 1 und beginnt bei 0 – Werte ausserhalb existieren nicht.

2. Prozent und Dezimalzahl verwechseln. $50\%$ ist nicht dasselbe wie $50$. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt: $50\% = 0{,}5$. Achte genau darauf, welche Schreibweise verlangt wird.

3. “Wahrscheinlich” mit “sicher” gleichsetzen. Auch wenn etwas sehr wahrscheinlich ist (z.B. $P = 0{,}95$), ist es nicht sicher. Nur $P = 1$ bedeutet Sicherheit. Ein Ereignis mit $P = 0{,}99$ kann trotzdem nicht eintreten – wenn auch selten.

Beispiele

Beispiel 1: Wahrscheinlichkeit beim Würfeln

Aufgabe: Du wirfst einen fairen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln? Gib das Ergebnis als Dezimalzahl, Bruch und Prozent an.

Lösung:

Schritt 1: Bestimme die günstigen Ergebnisse. Ein Würfel hat die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6. Die geraden Zahlen sind 2, 4 und 6. Anzahl der günstigen Ergebnisse: $3$

Schritt 2: Bestimme die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse. Der Würfel hat 6 Seiten. Anzahl der möglichen Ergebnisse: $6$

Schritt 3: Berechne die Wahrscheinlichkeit.

$P(\text{gerade Zahl}) = \frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{mögliche Ergebnisse}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Schritt 4: Wandle in andere Darstellungen um.

• Dezimalzahl: $\frac{1}{2} = 0{,}5$
• Prozent: $0{,}5 \cdot 100 = 50\%$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{2}$, also $0{,}5$ oder $50\%$.

Einordnung auf der Skala: Das Ergebnis liegt genau in der Mitte der Skala. Es ist ein klassisches Fifty-fifty-Ereignis.

Beispiel 2: Lottogewinn einschätzen

Aufgabe: Die Wahrscheinlichkeit, den Jackpot im Schweizer Lotto zu gewinnen, beträgt etwa $\frac{1}{31'500'000}$. Ordne diese Wahrscheinlichkeit auf der Skala ein und gib sie als Dezimalzahl an.

Lösung:

Schritt 1: Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um.

$P = \frac{1}{31'500'000} \approx 0{,}0000000317$

Schritt 2: Ordne den Wert auf der Skala ein. Diese Zahl ist extrem nahe an 0. Sie ist viel kleiner als $0{,}1$ (sehr unwahrscheinlich).

Schritt 3: Interpretiere das Ergebnis. Der Lottogewinn ist zwar nicht unmöglich ($P \neq 0$), aber er liegt so nahe an 0, dass er als “praktisch unmöglich” gilt.

Antwort: $P \approx 0{,}0000000317$. Auf der Skala liegt dieser Wert fast bei 0 – der Gewinn ist extrem unwahrscheinlich, aber nicht unmöglich.

Beispiel 3: Wettervorhersage interpretieren

Aufgabe: Der Wetterdienst meldet für morgen eine Regenwahrscheinlichkeit von $35\%$. a) Gib diese Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl und als Bruch an. b) Ordne sie in der Tabelle der Alltagsbegriffe ein. c) Solltest du einen Regenschirm mitnehmen?

Lösung:

a) Umrechnung:

Dezimalzahl:

$35\% : 100 = 0{,}35$

Bruch:

$35\% = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$

b) Einordnung: Der Wert $0{,}35$ liegt zwischen $0{,}3$ und $0{,}4$. Laut unserer Tabelle entspricht das “möglich, aber nicht wahrscheinlich”. Es regnet also eher nicht, aber die Möglichkeit besteht.

c) Entscheidung: Das ist eine persönliche Abwägung. Mathematisch gesehen ist es wahrscheinlicher, dass es nicht regnet ($65\%$) als dass es regnet ($35\%$). Wenn du aber nicht nass werden willst, könnte ein Regenschirm trotzdem sinnvoll sein.

Antwort: a) $0{,}35$ oder $\frac{7}{20}$ b) “Möglich, aber nicht wahrscheinlich” c) Der Schirm ist optional – die Wahrscheinlichkeit spricht eher dagegen.

Beispiel 4: Unmögliche und sichere Ereignisse erkennen

Aufgabe: Bestimme für jedes Ereignis die Wahrscheinlichkeit und begründe deine Antwort.

a) Du ziehst aus einem Korb mit nur roten Äpfeln einen grünen Apfel. b) Du atmest in den nächsten 10 Sekunden mindestens einmal. c) Beim Münzwurf erhältst du Kopf oder Zahl.

Lösung:

a) Grüner Apfel aus roten Äpfeln: Im Korb sind nur rote Äpfel. Ein grüner Apfel existiert dort nicht.

$P(\text{grüner Apfel}) = 0$

Das Ereignis ist unmöglich.

b) Atmen in 10 Sekunden: Du wirst in den nächsten 10 Sekunden mit absoluter Sicherheit atmen (vorausgesetzt, du lebst und bist gesund).

$P(\text{mindestens einmal atmen}) = 1$

Das Ereignis ist sicher.

c) Kopf oder Zahl beim Münzwurf: Eine Münze hat nur zwei Seiten: Kopf und Zahl. Eine der beiden muss oben liegen.

$P(\text{Kopf oder Zahl}) = 1$

Das Ereignis ist sicher (wir ignorieren den Fall, dass die Münze auf der Kante landet).

Antwort: a) $P = 0$ (unmöglich) b) $P = 1$ (sicher) c) $P = 1$ (sicher)

Das Wichtigste in Kürze

• Die Wahrscheinlichkeitsskala reicht von $0$ (unmöglich) bis $1$ (sicher). Jede Wahrscheinlichkeit liegt auf dieser Strecke.

• Wahrscheinlichkeiten können als Dezimalzahl, Bruch oder Prozent angegeben werden. Alle drei Formen sind gleichwertig.

• Der Wert $0{,}5$ oder $50\%$ markiert die Mitte der Skala. Das bedeutet: Das Ereignis tritt genauso oft ein, wie es nicht eintritt.

• Werte ausserhalb des Bereichs $[0; 1]$ sind in der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht erlaubt.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Eine Wettervorhersage gibt die Regenwahrscheinlichkeit mit $0{,}8$ an. Welche Aussage ist korrekt? A) Es wird sicher regnen. B) Es wird wahrscheinlich regnen. C) Es wird wahrscheinlich nicht regnen. D) Es ist unmöglich, dass es regnet.

Lösung anzeigen

B) Es wird wahrscheinlich regnen.

Der Wert $0{,}8$ entspricht $80\%$. Das liegt im Bereich “wahrscheinlich” bis “sehr wahrscheinlich” auf unserer Skala. Es ist aber nicht sicher ($P = 1$), denn in $20\%$ der Fälle bleibt es trocken.

❓ Frage:

Wandle die Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{8}$ in eine Dezimalzahl und in Prozent um.

Lösung anzeigen

Dezimalzahl: $\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375$

Prozent: $0{,}375 \cdot 100 = 37{,}5\%$

Die Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{8}$ entspricht also $0{,}375$ oder $37{,}5\%$.

❓ Frage:

Ein Schüler behauptet: “Die Wahrscheinlichkeit, dass ich morgen 2 Meter wachse, ist $-0{,}5$, also negativ unwahrscheinlich.” Was ist an dieser Aussage falsch?

Lösung anzeigen

Der Fehler: Negative Wahrscheinlichkeiten existieren nicht.

Die Wahrscheinlichkeitsskala beginnt bei $0$ und endet bei $1$. Werte unter $0$ sind mathematisch nicht definiert.

Richtig wäre: Die Wahrscheinlichkeit, morgen 2 Meter zu wachsen, ist $P = 0$ (unmöglich). Das ist der kleinstmögliche Wert auf der Skala.

Der Begriff “negativ unwahrscheinlich” ist keine mathematische Kategorie.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du kennst jetzt die Wahrscheinlichkeitsskala und kannst Wahrscheinlichkeiten einordnen. Im nächsten Schritt lernst du, wie man Wahrscheinlichkeiten berechnet. Dafür wirst du das Konzept des Laplace-Experiments kennenlernen.

Bei Laplace-Experimenten sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich – wie beim fairen Würfel oder der Münze. Du wirst die Formel anwenden:

$P(E) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$

Ausserdem wirst du lernen, wie du mit Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln komplexere Wahrscheinlichkeiten berechnest. Die Wahrscheinlichkeitsskala bleibt dabei immer dein Kompass: Jedes Ergebnis liegt zwischen 0 und 1.