topic: "Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse"
Stell dir vor, du spielst mit deinen Freunden ein Brettspiel. Du brauchst eine 6, um zu gewinnen – oder zumindest eine 5, dann wärst du noch im Rennen. Wie gross ist eigentlich die Chance, dass du eine 5 **oder** eine 6 würfelst? Oder denk an einen regnerischen Montagmorgen: Wie wahrscheinlich ist es, dass der Bus Verspätung hat **und** du gleichzeitig deinen Regenschirm vergessen hast? Im Alltag interessieren uns selten einzelne Ereignisse allein. Meistens wollen wir wissen, was passiert, wenn mehrere Dinge zusammenkommen. Genau das lernst du jetzt: Wie du die Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignissen berechnest – egal ob sie zusammen oder alternativ auftreten sollen.
## Vom Alltag zur Mathematik: Wie hängen zwei Ereignisse zusammen?
Bleiben wir beim Würfelbeispiel. Du hast einen fairen Würfel mit sechs Seiten. Jede Zahl hat die gleiche Wahrscheinlichkeit:
P(\text{eine bestimmte Zahl}) = \frac{1}{6}
Jetzt wird es spannend. Du fragst dich: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 5 **oder** eine 6 zu würfeln?
Dein erster Instinkt sagt vielleicht: "Einfach addieren!" Und tatsächlich – in diesem Fall liegst du richtig. Aber Vorsicht: Das funktioniert nicht immer so einfach. Manchmal überschneiden sich Ereignisse. Dann würdest du etwas doppelt zählen.
Deshalb brauchen wir klare Regeln. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es zwei zentrale Fragen:
1. **"Oder"-Fragen:** Wie wahrscheinlich ist es, dass Ereignis $A$ **oder** Ereignis $B$ eintritt?
2. **"Und"-Fragen:** Wie wahrscheinlich ist es, dass Ereignis $A$ **und** Ereignis $B$ beide eintreten?
Für jede dieser Fragen gibt es eine eigene Formel. Lass uns beide Schritt für Schritt erkunden.
## Der Additionssatz: Wahrscheinlichkeit bei "oder"
Wenn du wissen willst, ob **mindestens eines** von zwei Ereignissen eintritt, brauchst du den Additionssatz.
### Schritt-für-Schritt-Anleitung
1. **Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeiten:** Berechne $P(A)$ und $P(B)$ separat.
2. **Prüfe auf Überschneidung:** Gibt es Ergebnisse, die zu **beiden** Ereignissen gehören? Falls ja, berechne $P(A \cap B)$.
3. **Wende die Formel an:** Setze alles in den Additionssatz ein.
<Definition title="Der Additionssatz">
Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis $A$ **oder** Ereignis $B$ eintritt, berechnet sich so:
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
- $P(A \cup B)$: Wahrscheinlichkeit, dass $A$ oder $B$ (oder beide) eintreten
- $P(A)$: Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$
- $P(B)$: Wahrscheinlichkeit von Ereignis $B$
- $P(A \cap B)$: Wahrscheinlichkeit, dass **beide** Ereignisse gleichzeitig eintreten
### Warum ziehen wir etwas ab?
Stell dir zwei Kreise vor, die sich überlappen – wie bei einem Venn-Diagramm. Der überlappende Bereich gehört zu beiden Ereignissen. Wenn du einfach $P(A) + P(B)$ rechnest, zählst du diesen Bereich **doppelt**. Deshalb musst du $P(A \cap B)$ einmal abziehen.
### Der Spezialfall: Sich ausschliessende Ereignisse
Manchmal können zwei Ereignisse gar nicht gleichzeitig passieren. Beim Würfeln kannst du nicht gleichzeitig eine 5 **und** eine 6 bekommen. Solche Ereignisse heissen **disjunkt** oder **sich gegenseitig ausschliessend**.
Für disjunkte Ereignisse gilt: $P(A \cap B) = 0$
Die Formel vereinfacht sich dann zu:
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
## Der Multiplikationssatz: Wahrscheinlichkeit bei "und"
Jetzt zur zweiten grossen Frage: Was, wenn **beide** Ereignisse eintreten sollen?
Denk an folgendes Szenario: Du wirfst eine Münze und danach einen Würfel. Wie wahrscheinlich ist es, Kopf **und** eine 6 zu bekommen?
### Schritt-für-Schritt-Anleitung
1. **Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeiten:** Berechne $P(A)$ und $P(B)$.
2. **Prüfe auf Unabhängigkeit:** Beeinflusst das erste Ereignis das zweite? Falls nein, sind sie unabhängig.
3. **Wende die Formel an:** Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten.
<Definition title="Der Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse">
Wenn zwei Ereignisse $A$ und $B$ **unabhängig** voneinander sind, gilt:
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
- $P(A \cap B)$: Wahrscheinlichkeit, dass **beide** Ereignisse eintreten
- $P(A)$: Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$
- $P(B)$: Wahrscheinlichkeit von Ereignis $B$
- **Unabhängig** heisst: Das Eintreten von $A$ verändert die Wahrscheinlichkeit von $B$ nicht.
### Was bedeutet Unabhängigkeit?
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das eine das andere nicht beeinflusst. Beispiele:
- **Unabhängig:** Münzwurf und Würfelwurf. Was die Münze zeigt, hat keinen Einfluss auf den Würfel.
- **Unabhängig:** Zwei separate Lottoziehungen an verschiedenen Tagen.
- **Nicht unabhängig:** Du ziehst zwei Karten aus einem Stapel **ohne Zurücklegen**. Die erste Karte verändert die Wahrscheinlichkeiten für die zweite.
## Häufige Fehler und wie du sie vermeidest
**Fehler 1: "Oder" und "Und" verwechseln**
"Oder" bedeutet Addition (mit Korrektur). "Und" bedeutet Multiplikation. Lies die Aufgabe genau: Sollen beide Ereignisse eintreten, oder reicht eines?
**Fehler 2: Die Überschneidung vergessen**
Bei "oder"-Aufgaben mit sich überschneidenden Ereignissen musst du $P(A \cap B)$ abziehen. Zeichne im Zweifel ein Venn-Diagramm.
**Fehler 3: Unabhängigkeit falsch einschätzen**
Beim Ziehen ohne Zurücklegen sind die Ereignisse **nicht** unabhängig! Die Multiplikationsregel $P(A) \cdot P(B)$ gilt dann nicht direkt. Hier brauchst du bedingte Wahrscheinlichkeiten.
**Fehler 4: Brüche falsch multiplizieren**
Bei $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ multiplizierst du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner: $\frac{1 \cdot 1}{6 \cdot 6} = \frac{1}{36}$. Nicht addieren!
<Example title="Beispiel 1: Würfeln – Eine 5 oder eine 6">
**Aufgabe:** Du wirfst einen fairen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 5 **oder** eine 6 zu würfeln?
- $A$: "Es fällt eine 5" mit $P(A) = \frac{1}{6}$
- $B$: "Es fällt eine 6" mit $P(B) = \frac{1}{6}$
Die Ereignisse sind disjunkt – du kannst nicht gleichzeitig 5 und 6 würfeln. Also: $P(A \cap B) = 0$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
P(A \cup B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - 0 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
**Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{3}$ oder etwa $33{,}3\%$.
<Example title="Beispiel 2: Münze und Würfel – Kopf und eine 6">
**Aufgabe:** Du wirfst eine Münze und danach einen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, Kopf **und** eine 6 zu bekommen?
- $A$: "Die Münze zeigt Kopf" mit $P(A) = \frac{1}{2}$
- $B$: "Der Würfel zeigt 6" mit $P(B) = \frac{1}{6}$
Die Ereignisse sind unabhängig – die Münze beeinflusst den Würfel nicht.
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
P(A \cap B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}
**Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{12}$ oder etwa $8{,}3\%$.
<Example title="Beispiel 3: Kartenziehen – Eine rote Karte oder ein Ass">
**Aufgabe:** Aus einem Skatblatt mit 32 Karten (8 Herz, 8 Karo, 8 Pik, 8 Kreuz; je 4 Asse) ziehst du eine Karte. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Karte (Herz oder Karo) **oder** ein Ass zu ziehen?
- $A$: "Die Karte ist rot" (Herz oder Karo) – es gibt 16 rote Karten. Also $P(A) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$
- $B$: "Die Karte ist ein Ass" – es gibt 4 Asse. Also $P(B) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$
**Achtung:** Die Ereignisse überschneiden sich! Es gibt 2 rote Asse (Herz-Ass und Karo-Ass).
P(A \cap B) = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
P(A \cup B) = \frac{16}{32} + \frac{4}{32} - \frac{2}{32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}
**Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{9}{16}$ oder $56{,}25\%$.
<Example title="Beispiel 4: Zweimal Würfeln – Zwei Sechsen hintereinander">
**Aufgabe:** Du wirfst einen Würfel zweimal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, **zweimal hintereinander** eine 6 zu würfeln?
- $A$: "Der erste Wurf zeigt 6" mit $P(A) = \frac{1}{6}$
- $B$: "Der zweite Wurf zeigt 6" mit $P(B) = \frac{1}{6}$
Die Würfe sind unabhängig voneinander.
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
P(A \cap B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}
**Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{36}$ oder etwa $2{,}8\%$.
<Example title="Beispiel 5: Klassenumfrage – Sport oder Musik">
**Aufgabe:** In einer Klasse mit 25 Schülern spielen 12 ein Instrument, 15 sind im Sportverein, und 6 machen beides. Ein Schüler wird zufällig ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er ein Instrument spielt **oder** im Sportverein ist?
- $A$: "spielt ein Instrument" mit $P(A) = \frac{12}{25}$
- $B$: "ist im Sportverein" mit $P(B) = \frac{15}{25}$
- $A \cap B$: "macht beides" mit $P(A \cap B) = \frac{6}{25}$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
P(A \cup B) = \frac{12}{25} + \frac{15}{25} - \frac{6}{25} = \frac{21}{25}
**Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{21}{25}$ oder $84\%$.
## Das Wichtigste in Kürze
- **"Oder"-Wahrscheinlichkeiten** berechnest du mit dem **Additionssatz**: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- **"Und"-Wahrscheinlichkeiten** bei unabhängigen Ereignissen berechnest du mit dem **Multiplikationssatz**: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
- Bei **disjunkten Ereignissen** (keine Überschneidung) fällt der Korrekturterm weg: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
- **Unabhängigkeit** bedeutet: Ein Ereignis beeinflusst das andere nicht. Beim Ziehen ohne Zurücklegen sind Ereignisse **nicht** unabhängig!
<span slot="question">Du wirfst einen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl (2, 4 oder 6) **oder** eine Zahl grösser als 4 (also 5 oder 6) zu würfeln?</span>
- $A$: gerade Zahl → $\{2, 4, 6\}$ → $P(A) = \frac{3}{6}$
- $B$: Zahl $> 4$ → $\{5, 6\}$ → $P(B) = \frac{2}{6}$
- $A \cap B$: gerade und $> 4$ → $\{6\}$ → $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$
P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{2}{3}$ oder etwa $66{,}7\%$.
<span slot="question">Du wirfst zwei faire Münzen gleichzeitig. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass **beide** Kopf zeigen?</span>
Die Münzwürfe sind unabhängig.
- $P(\text{Münze 1 zeigt Kopf}) = \frac{1}{2}$
- $P(\text{Münze 2 zeigt Kopf}) = \frac{1}{2}$
P(\text{beide Kopf}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{4}$ oder $25\%$.
<span slot="question">In einer Lostrommel sind 10 Lose: 3 Gewinne und 7 Nieten. Du ziehst ein Los. Welche Formel verwendest du, wenn du wissen willst, ob du einen Gewinn **oder** eine Niete ziehst? Was ist das Ergebnis und warum?</span>
Die Ereignisse "Gewinn" und "Niete" sind disjunkt – ein Los kann nicht beides sein.
P(\text{Gewinn oder Niete}) = P(\text{Gewinn}) + P(\text{Niete}) = \frac{3}{10} + \frac{7}{10} = \frac{10}{10} = 1
Das Ergebnis ist $1$ (oder $100\%$), weil du **garantiert** entweder einen Gewinn oder eine Niete ziehst. Es gibt keine andere Möglichkeit. Die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis ist immer $1$.
## Ausblick: Was kommt als Nächstes?
Du hast jetzt das Werkzeug, um die Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignissen zu berechnen – sowohl bei "oder" als auch bei "und". Als Nächstes wirst du **bedingte Wahrscheinlichkeiten** kennenlernen. Dabei geht es um Fragen wie: "Wie wahrscheinlich ist Ereignis $B$, **wenn** ich schon weiss, dass $A$ eingetreten ist?" Das wird besonders wichtig beim Ziehen ohne Zurücklegen und bei komplexeren Baumdiagrammen. Ausserdem wirst du mehrstufige Zufallsexperimente analysieren, bei denen mehr als zwei Ereignisse nacheinander passieren.