Wahrscheinlichkeit berechnen: So bestimmst du Chancen wie ein Profi

Stell dir vor, du spielst mit Freunden ein Brettspiel. Du brauchst unbedingt eine Sechs, um zu gewinnen. Dein Herz klopft, du schüttelst den Würfel – und fragst dich: Wie gross ist eigentlich meine Chance? Oder denk an einen Wetterbericht: “Morgen regnet es mit 70% Wahrscheinlichkeit.” Was bedeutet das genau? Die Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt dir die Werkzeuge, um solche Fragen präzise zu beantworten. Du lernst, Chancen und Risiken in Zahlen auszudrücken – eine Fähigkeit, die dir im Alltag, in der Schule und später im Beruf ständig begegnen wird.

Vom Alltag zur Mathematik: Was bedeutet Wahrscheinlichkeit?

Zurück zum Würfel: Du weisst intuitiv, dass eine Sechs “eher unwahrscheinlich” ist. Aber wie unwahrscheinlich genau? Die Mathematik hilft dir, diese vage Ahnung in eine exakte Zahl zu verwandeln.

Wenn du einen fairen Würfel wirfst, hat er sechs Seiten. Jede Seite zeigt eine andere Zahl: 1, 2, 3, 4, 5 oder 6. Alle Seiten sind gleich gross und der Würfel ist nicht gezinkt. Das bedeutet: Jede Zahl hat die gleiche Chance, oben zu landen.

Du möchtest eine Sechs. Das ist genau ein Ergebnis von sechs möglichen. Diese Verhältnis – ein günstiges Ergebnis von sechs möglichen – ist die Wahrscheinlichkeit.

Die Grundformel der Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung basiert auf einem einfachen Prinzip: Du zählst, wie viele Ergebnisse für dich “günstig” sind, und setzt das ins Verhältnis zu allen möglichen Ergebnissen.

Das funktioniert so:

1. Bestimme alle möglichen Ergebnisse. Diese Menge nennt man den Ergebnisraum.
2. Zähle die günstigen Ergebnisse. Das sind die Ergebnisse, die das Ereignis erfüllen, das dich interessiert.
3. Berechne das Verhältnis. Teile die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

DEFINITION

Wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, gilt:

$P(E) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$

Dabei ist $P(E)$ die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$. Der Buchstabe $P$ kommt vom englischen Wort “Probability” (Wahrscheinlichkeit).

Diese Formel heisst Laplace-Formel, benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace. Sie funktioniert immer dann, wenn alle Ergebnisse die gleiche Chance haben – man nennt das ein Laplace-Experiment.

Wahrscheinlichkeit als Zahl verstehen

Die Wahrscheinlichkeit ist immer eine Zahl zwischen 0 und 1:

• $P(E) = 0$ bedeutet: Das Ereignis ist unmöglich. Es kann nicht eintreten.
• $P(E) = 1$ bedeutet: Das Ereignis ist sicher. Es tritt garantiert ein.
• $P(E) = 0{,}5$ bedeutet: Das Ereignis tritt in der Hälfte aller Fälle ein.

Du kannst die Wahrscheinlichkeit auch in Prozent angeben. Dazu multiplizierst du den Wert mit 100:

$P(E) = 0{,}25 \quad \Rightarrow \quad 0{,}25 \cdot 100\% = 25\%$

Das Gegenereignis

Manchmal ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils zu berechnen. Wenn du wissen willst, wie wahrscheinlich es ist, keine Sechs zu würfeln, nutzt du das Gegenereignis.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und seines Gegenereignisses ergeben zusammen immer 1:

$P(E) + P(\overline{E}) = 1$

Daraus folgt:

$P(\overline{E}) = 1 - P(E)$

Das Symbol $\overline{E}$ steht für das Gegenereignis von $E$.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Ergebnisse nicht richtig zählen Viele Schüler vergessen Ergebnisse oder zählen welche doppelt. Beim Würfel gibt es genau 6 Ergebnisse – nicht 5 und nicht 7. Erstelle dir immer eine vollständige Liste aller möglichen Ergebnisse.

Fehler 2: Bruch und Prozent verwechseln Die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ ist nicht dasselbe wie $16\%$. Korrekt: $\frac{1}{6} \approx 0{,}167 = 16{,}7\%$. Rechne sorgfältig um.

Fehler 3: Die Formel bei ungleichen Chancen anwenden Die Laplace-Formel funktioniert nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Bei einem gezinkten Würfel oder einer verbogenen Münze darfst du sie nicht anwenden.

Beispiele

Beispiel 1: Der klassische Würfelwurf

Aufgabe: Du wirfst einen fairen Würfel einmal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln?

Lösung:

Schritt 1: Bestimme alle möglichen Ergebnisse. Der Würfel kann 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zeigen. Das sind 6 mögliche Ergebnisse.

Schritt 2: Zähle die günstigen Ergebnisse. Du möchtest eine Sechs. Das ist genau 1 günstiges Ergebnis.

Schritt 3: Wende die Formel an.

$P(\text{Sechs}) = \frac{1}{6}$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{6} \approx 16{,}7\%$.

Beispiel 2: Eine gerade Zahl würfeln

Aufgabe: Du wirfst einen fairen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln?

Lösung:

Schritt 1: Bestimme alle möglichen Ergebnisse. Der Würfel zeigt 1, 2, 3, 4, 5 oder 6. Das sind 6 Ergebnisse.

Schritt 2: Zähle die günstigen Ergebnisse. Gerade Zahlen auf dem Würfel: 2, 4 und 6. Das sind 3 günstige Ergebnisse.

Schritt 3: Wende die Formel an.

$P(\text{gerade Zahl}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{2} = 50\%$.

Beispiel 3: Ziehen aus einem Beutel

Aufgabe: In einem Beutel liegen 4 rote, 3 blaue und 5 grüne Kugeln. Du ziehst ohne hinzusehen eine Kugel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen?

Lösung:

Schritt 1: Bestimme alle möglichen Ergebnisse. Gesamtzahl der Kugeln: $4 + 3 + 5 = 12$. Es gibt 12 mögliche Ergebnisse.

Schritt 2: Zähle die günstigen Ergebnisse. Es gibt 3 blaue Kugeln. Das sind 3 günstige Ergebnisse.

Schritt 3: Wende die Formel an.

$P(\text{blau}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{4} = 25\%$.

Beispiel 4: Das Gegenereignis nutzen

Aufgabe: Du wirfst einen fairen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, keine Eins zu würfeln?

Lösung:

Hier ist es einfacher, zuerst die Wahrscheinlichkeit für eine Eins zu berechnen und dann das Gegenereignis zu nutzen.

Schritt 1: Berechne $P(\text{Eins})$.

$P(\text{Eins}) = \frac{1}{6}$

Schritt 2: Berechne das Gegenereignis.

$P(\text{keine Eins}) = 1 - P(\text{Eins}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{5}{6} \approx 83{,}3\%$.

Beispiel 5: Lottoziehung vereinfacht

Aufgabe: Bei einer kleinen Verlosung gibt es Lose mit den Nummern 1 bis 20. Du kaufst das Los mit der Nummer 7. Es wird ein Los gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du gewinnst?

Lösung:

Schritt 1: Bestimme alle möglichen Ergebnisse. Es gibt 20 verschiedene Lose. Jedes kann gezogen werden. Das sind 20 mögliche Ergebnisse.

Schritt 2: Zähle die günstigen Ergebnisse. Nur dein Los (Nummer 7) ist günstig. Das ist 1 günstiges Ergebnis.

Schritt 3: Wende die Formel an.

$P(\text{Gewinn}) = \frac{1}{20}$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{20} = 5\%$.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Wahrscheinlichkeit gibt an, wie gross die Chance ist, dass ein Ereignis eintritt. Sie liegt immer zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher).
• Bei einem Laplace-Experiment (alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich) gilt: $P(E) = \frac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}$
• Das Gegenereignis hilft, wenn du die Wahrscheinlichkeit für “nicht E” brauchst: $P(\overline{E}) = 1 - P(E)$.
• Du kannst Wahrscheinlichkeiten als Bruch, Dezimalzahl oder Prozent angeben.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Glücksrad hat 8 gleich grosse Felder, nummeriert von 1 bis 8. Du drehst das Rad. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl grösser als 6 zu erhalten?

Lösung anzeigen

Die Zahlen grösser als 6 sind: 7 und 8. Das sind 2 günstige Ergebnisse. Insgesamt gibt es 8 mögliche Ergebnisse.

$P(\text{grösser als 6}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 25\%$

❓ Frage: In einer Schachtel liegen 10 Pralinen: 6 mit Nussfüllung und 4 mit Karamellfüllung. Du greifst blind hinein. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, KEINE Nusspralinen zu erwischen?

Lösung anzeigen

“Keine Nusspralinen” bedeutet: Du erwischst eine Karamellfüllung. Günstige Ergebnisse: 4 (Karamellpralinen) Alle Ergebnisse: 10 (alle Pralinen)

$P(\text{Karamell}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 40\%$

Alternativ mit Gegenereignis: $P(\text{Nuss}) = \frac{6}{10}$, also $P(\text{keine Nuss}) = 1 - \frac{6}{10} = \frac{4}{10} = 40\%$

❓ Frage: Richtig oder falsch: Wenn die Wahrscheinlichkeit für Regen morgen 30% beträgt, dann ist die Wahrscheinlichkeit für “kein Regen” genau 70%.

Lösung anzeigen

Richtig!

“Kein Regen” ist das Gegenereignis von “Regen”. Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis ergeben immer 1 (bzw. 100%):

$P(\text{kein Regen}) = 1 - P(\text{Regen}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7 = 70\%$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Fundament der Wahrscheinlichkeitsrechnung gelegt. Im nächsten Schritt lernst du, wie du Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten berechnest – zum Beispiel, wenn du einen Würfel zweimal wirfst oder zwei Kugeln nacheinander ziehst. Dabei helfen dir Baumdiagramme, den Überblick zu behalten. Du wirst die Pfadregeln kennenlernen: die Multiplikationsregel für Pfade und die Additionsregel für verschiedene Pfade. Mit diesen Werkzeugen kannst du auch komplexere Aufgaben lösen, etwa die Wahrscheinlichkeit für einen Sechserpasch oder das Ziehen von zwei roten Kugeln.