Mehrstufige Zufallsexperimente einfach erklärt: So berechnest du Wahrscheinlichkeiten Schritt für Schritt

Stell dir vor, du spielst ein Brettspiel und musst zweimal hintereinander würfeln. Beim ersten Wurf brauchst du eine 6, um überhaupt loszulaufen. Beim zweiten Wurf entscheidet sich, ob du auf ein Bonusfeld kommst. Wie gross ist die Chance, dass beides klappt?

Oder denk an einen Basketballspieler, der zwei Freiwürfe hintereinander wirft. Die Wahrscheinlichkeit für den ersten Treffer kennst du vielleicht. Aber wie berechnest du die Chance, dass beide Würfe sitzen?

Genau hier kommen mehrstufige Zufallsexperimente ins Spiel. Du wirst lernen, wie du solche Situationen mit einem cleveren Werkzeug – dem Baumdiagramm – übersichtlich darstellst und die Wahrscheinlichkeiten sicher berechnest.

Vom Alltag zur Mathematik: Was sind mehrstufige Zufallsexperimente?

Beim Brettspiel würfelst du nicht nur einmal, sondern mehrmals hintereinander. Jeder einzelne Wurf ist ein Zufallsexperiment. Wenn du mehrere solcher Experimente nacheinander durchführst, entsteht ein mehrstufiges Zufallsexperiment.

Die Stufen sind dabei die einzelnen Durchgänge. Beim zweimaligen Würfeln hast du zwei Stufen. Beim dreimaligen Münzwurf hast du drei Stufen.

Das Besondere: Die Ergebnisse der einzelnen Stufen kombinieren sich. Du möchtest nicht nur wissen, was bei einem Wurf passiert. Du möchtest wissen, was bei der gesamten Abfolge passiert.

Eine einfache Tabelle reicht hier nicht mehr aus. Du brauchst ein Werkzeug, das alle möglichen Kombinationen übersichtlich zeigt. Dieses Werkzeug ist das Baumdiagramm.

Das Baumdiagramm: Dein Werkzeug für mehrstufige Experimente

Ein Baumdiagramm sieht aus wie ein Baum, der auf der Seite liegt. Von links nach rechts verzweigt er sich immer weiter.

So baust du ein Baumdiagramm auf:

1. Startpunkt festlegen: Links beginnt alles mit einem Punkt.
2. Erste Stufe zeichnen: Vom Startpunkt gehen Äste zu allen möglichen Ergebnissen der ersten Stufe.
3. Wahrscheinlichkeiten eintragen: An jeden Ast schreibst du die Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis.
4. Weitere Stufen ergänzen: Von jedem Ergebnis der ersten Stufe gehen wieder Äste zu allen Ergebnissen der nächsten Stufe.
5. Pfade ablesen: Jeder Weg von links nach rechts ist ein vollständiger Pfad.

Beim zweimaligen Münzwurf sieht das so aus: Vom Start gehen zwei Äste ab – einer für Kopf, einer für Zahl. Von jedem dieser Punkte gehen wieder zwei Äste ab. Am Ende hast du vier Pfade: Kopf-Kopf, Kopf-Zahl, Zahl-Kopf und Zahl-Zahl.

DEFINITION

Ein mehrstufiges Zufallsexperiment besteht aus mehreren nacheinander ausgeführten Zufallsexperimenten. Jede Durchführung heisst Stufe. Ein Pfad im Baumdiagramm beschreibt eine vollständige Abfolge von Ergebnissen durch alle Stufen. Die Gesamtzahl der Pfade ergibt sich aus der Multiplikation der Ergebnisanzahlen jeder Stufe.

Die Pfadregeln: So berechnest du Wahrscheinlichkeiten

Für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Experimenten gibt es zwei goldene Regeln. Diese Regeln sind dein Schlüssel zu jeder Aufgabe.

Die erste Pfadregel: Multiplikationsregel

Wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Pfad berechnen willst, multiplizierst du alle Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.

$$P(\text{Pfad}) = P(\text{1. Stufe}) \cdot P(\text{2. Stufe}) \cdot P(\text{3. Stufe}) \cdot \ldots$$

Warum funktioniert das? Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei unabhängige Ereignisse beide eintreten, ist das Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten. Beim Münzwurf: Die Chance auf Kopf beim ersten Wurf ist $\frac{1}{2}$. Die Chance auf Kopf beim zweiten Wurf ist auch $\frac{1}{2}$. Die Chance auf zweimal Kopf ist:

$$P(\text{Kopf, Kopf}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Die zweite Pfadregel: Additionsregel

Wenn ein Ereignis durch mehrere verschiedene Pfade erreicht werden kann, addierst du die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade.

$$P(\text{Ereignis}) = P(\text{Pfad 1}) + P(\text{Pfad 2}) + P(\text{Pfad 3}) + \ldots$$

Beispiel: Du wirfst zweimal eine Münze und fragst nach der Wahrscheinlichkeit für genau einmal Kopf. Das kann auf zwei Wegen passieren: Kopf-Zahl oder Zahl-Kopf. Du addierst:

$$P(\text{genau 1x Kopf}) = P(\text{Kopf, Zahl}) + P(\text{Zahl, Kopf}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

DEFINITION

1. Pfadregel (Multiplikation): Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.

2. Pfadregel (Addition): Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Addieren statt Multiplizieren bei einem Pfad

Viele Schüler addieren die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades. Das ist falsch! Für einen einzelnen Pfad gilt immer die Multiplikation. Die Addition kommt erst ins Spiel, wenn du mehrere Pfade zu einem Ereignis zusammenfasst.

Fehler 2: Pfade vergessen

Bei der Frage “mindestens einmal” oder “genau zweimal” werden oft Pfade übersehen. Zeichne immer das vollständige Baumdiagramm und markiere alle relevanten Pfade, bevor du rechnest.

Fehler 3: Wahrscheinlichkeiten nicht anpassen bei “ohne Zurücklegen”

Wenn du aus einer Urne ziehst und die Kugel nicht zurücklegst, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten für die nächste Stufe. Die Gesamtzahl der Kugeln ist dann kleiner. Achte genau auf die Aufgabenstellung!

Beispiele

Beispiel 1: Zweimaliges Würfeln

Aufgabe: Du würfelst zweimal mit einem fairen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal eine 6 zu würfeln?

Lösung:

Schritt 1: Identifiziere die Stufen.

• Stufe 1: Erster Wurf
• Stufe 2: Zweiter Wurf

Schritt 2: Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeiten.

Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 bei einem Wurf beträgt:

$$P(6) = \frac{1}{6}$$

Schritt 3: Wende die erste Pfadregel an.

Da wir zweimal hintereinander eine 6 brauchen, multiplizieren wir:

$$P(\text{6, 6}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit für zweimal eine 6 beträgt $\frac{1}{36} \approx 2{,}8\%$.

Beispiel 2: Münzwurf mit mehreren günstigen Pfaden

Aufgabe: Du wirfst eine faire Münze dreimal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für genau zweimal Kopf?

Lösung:

Schritt 1: Zeichne das Baumdiagramm (gedanklich oder auf Papier).

Bei drei Würfen gibt es $2^3 = 8$ mögliche Pfade.

Schritt 2: Finde alle Pfade mit genau zweimal Kopf.

Die günstigen Pfade sind:

• Kopf – Kopf – Zahl (KKZ)
• Kopf – Zahl – Kopf (KZK)
• Zahl – Kopf – Kopf (ZKK)

Schritt 3: Berechne die Wahrscheinlichkeit für jeden Pfad.

Jeder Pfad hat die gleiche Wahrscheinlichkeit:

$$P(\text{ein Pfad}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$

Schritt 4: Wende die zweite Pfadregel an.

$$P(\text{genau 2x Kopf}) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit für genau zweimal Kopf beträgt $\frac{3}{8} = 37{,}5\%$.

Beispiel 3: Ziehen ohne Zurücklegen

Aufgabe: In einer Schachtel liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Du ziehst nacheinander zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal eine rote Kugel zu ziehen?

Lösung:

Schritt 1: Analysiere die Ausgangssituation.

Zu Beginn: 3 rote + 2 blaue = 5 Kugeln insgesamt.

Schritt 2: Berechne die Wahrscheinlichkeit für die erste Stufe.

$$P(\text{1. Kugel rot}) = \frac{3}{5}$$

Schritt 3: Berechne die Wahrscheinlichkeit für die zweite Stufe.

Achtung: Nach dem Ziehen einer roten Kugel sind nur noch 2 rote und 2 blaue Kugeln übrig. Das sind 4 Kugeln insgesamt.

$$P(\text{2. Kugel rot} \mid \text{1. Kugel rot}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Schritt 4: Wende die erste Pfadregel an.

$$P(\text{rot, rot}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, zweimal eine rote Kugel zu ziehen, beträgt $\frac{3}{10} = 30\%$.

Beispiel 4: Glücksrad mit Gewinnchance

Aufgabe: Ein Glücksrad hat vier gleich grosse Felder: 2 gelbe, 1 rotes und 1 blaues Feld. Du darfst zweimal drehen. Du gewinnst einen Preis, wenn du mindestens einmal Rot triffst. Wie gross ist deine Gewinnchance?

Lösung:

Schritt 1: Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeiten.

$$P(\text{Rot}) = \frac{1}{4}$$$$P(\text{nicht Rot}) = \frac{3}{4}$$

Schritt 2: Finde alle Gewinnpfade.

“Mindestens einmal Rot” bedeutet: Rot-Rot, Rot-nicht Rot, oder nicht Rot-Rot.

Schritt 3: Berechne jeden Pfad.

$$P(\text{Rot, Rot}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$$$$P(\text{Rot, nicht Rot}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$$$$P(\text{nicht Rot, Rot}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$$

Schritt 4: Addiere die Pfadwahrscheinlichkeiten.

$$P(\text{Gewinn}) = \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{7}{16}$$

Alternative Lösung mit dem Gegenereignis:

Das Gegenereignis zu “mindestens einmal Rot” ist “kein einziges Mal Rot”.

$$P(\text{kein Rot}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$$$$P(\text{Gewinn}) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$$

Antwort: Die Gewinnchance beträgt $\frac{7}{16} \approx 43{,}75\%$.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein mehrstufiges Zufallsexperiment besteht aus mehreren nacheinander durchgeführten Zufallsexperimenten.
• Das Baumdiagramm stellt alle möglichen Ergebniskombinationen übersichtlich dar. Jeder Pfad von links nach rechts ist eine vollständige Ergebnisfolge.
• Erste Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades erhältst du durch Multiplikation aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
• Zweite Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller zugehörigen Pfade.
• Bei “ohne Zurücklegen” ändern sich die Wahrscheinlichkeiten von Stufe zu Stufe.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Du wirfst eine faire Münze zweimal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Zahl?

Lösung anzeigen

Die Pfade mit mindestens einmal Zahl sind: Kopf-Zahl, Zahl-Kopf, Zahl-Zahl.

Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$.

$$P(\text{mind. 1x Zahl}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Alternative: $P(\text{mind. 1x Zahl}) = 1 - P(\text{kein Mal Zahl}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

❓ Frage: In einer Urne liegen 4 grüne und 6 weisse Kugeln. Du ziehst zweimal mit Zurücklegen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal Grün?

Lösung anzeigen

Mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten konstant.

$$P(\text{Grün}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$$$P(\text{Grün, Grün}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25} = 16\%$$

❓ Frage: Welche Pfadregel wendest du an, wenn ein Ereignis durch mehrere verschiedene Pfade im Baumdiagramm erreicht werden kann?

Lösung anzeigen

Du wendest die zweite Pfadregel (Additionsregel) an.

Die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zum gewünschten Ereignis führen, werden addiert.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Werkzeug, um Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Experimenten zu berechnen. Im nächsten Schritt wirst du bedingte Wahrscheinlichkeiten kennenlernen. Dabei geht es um Situationen, in denen das Ergebnis einer Stufe die Wahrscheinlichkeiten der nächsten Stufe beeinflusst – nicht nur durch Veränderung der Anzahl wie beim Ziehen ohne Zurücklegen, sondern durch echte Abhängigkeiten zwischen den Ereignissen.

Ausserdem wirst du später die Binomialverteilung entdecken. Sie ist ein mächtiges Werkzeug für Situationen, in denen du ein Experiment sehr oft wiederholst und wissen willst, wie wahrscheinlich eine bestimmte Anzahl von Erfolgen ist.