Laplace-Experimente einfach erklärt: So berechnest du Wahrscheinlichkeiten

Stell dir vor, du spielst mit Freunden ein Brettspiel. Jemand behauptet, der Würfel sei „gezinkt” und zeige öfter eine Sechs. Wie könntest du das überprüfen? Oder denk an eine Lotterie: Hast du bei jedem Los wirklich die gleiche Chance zu gewinnen?

Solche Fragen begegnen dir ständig im Alltag. Ob beim Kartenspielen, beim Ziehen von Gummibärchen aus einer Tüte oder beim Münzwurf – überall steckt Wahrscheinlichkeit dahinter. Das Spannende: Für viele dieser Situationen gibt es eine verblüffend einfache Methode, um Wahrscheinlichkeiten exakt zu berechnen. Diese Methode trägt den Namen eines französischen Mathematikers: Pierre-Simon Laplace. In diesem Kapitel lernst du, wie du mit der Laplace-Formel zum Wahrscheinlichkeits-Profi wirst.

Was macht ein Experiment zum Laplace-Experiment?

Bevor du Wahrscheinlichkeiten berechnest, musst du verstehen, wann die Laplace-Formel überhaupt funktioniert. Nicht jedes Zufallsexperiment ist ein Laplace-Experiment.

Denke an das Würfeln mit einem fairen Würfel. Jede der sechs Seiten hat exakt die gleiche Chance, oben zu landen. Es gibt keinen Grund, warum die Drei wahrscheinlicher sein sollte als die Fünf. Alle sechs Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.

Jetzt stell dir einen Würfel vor, bei dem eine Seite aus schwerem Blei besteht. Dieser Würfel würde nicht mehr fair sein. Die schwere Seite läge häufiger unten, das Gegenergebnis also öfter oben. Die Ergebnisse wären nicht mehr gleichwahrscheinlich. Das wäre kein Laplace-Experiment.

Die entscheidende Eigenschaft

Ein Laplace-Experiment erkennst du an genau einem Merkmal: Alle möglichen Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Typische Laplace-Experimente sind:

• Werfen einer fairen Münze (Kopf und Zahl sind gleichwahrscheinlich)
• Würfeln mit einem fairen Würfel (jede Augenzahl hat die Chance $\frac{1}{6}$)
• Ziehen einer Kugel aus einer Urne, wenn alle Kugeln gleich gross sind
• Ziehen einer Karte aus einem gut gemischten Kartenspiel
• Drehen eines Glücksrads mit gleich grossen Feldern

Keine Laplace-Experimente sind:

• Würfeln mit einem gezinkten Würfel
• Wetten auf das Wetter (Regen und Sonne sind nicht gleichwahrscheinlich)
• Ziehen aus einer Urne, wenn die Kugeln unterschiedlich gross sind

Die Laplace-Formel: Dein Werkzeug für Wahrscheinlichkeiten

Jetzt wird es konkret. Die Laplace-Formel gibt dir ein einfaches „Kochrezept”, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Du brauchst dafür nur zwei Zahlen.

Das Kochrezept in vier Schritten

1. Prüfe: Handelt es sich um ein Laplace-Experiment? Sind alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich?
2. Zähle alle möglichen Ergebnisse: Wie viele verschiedene Ergebnisse kann das Experiment haben? Diese Zahl nennt man die Anzahl der möglichen Ergebnisse.
3. Zähle die günstigen Ergebnisse: Wie viele dieser Ergebnisse gehören zu dem Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit du suchst? Diese Zahl nennt man die Anzahl der günstigen Ergebnisse.
4. Teile: Wahrscheinlichkeit = günstige Ergebnisse geteilt durch mögliche Ergebnisse.

DEFINITION

Bei einem Laplace-Experiment gilt für die Wahrscheinlichkeit $P$ eines Ereignisses $E$:

$P(E) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$

Dabei bedeutet:

• Günstige Ergebnisse: Alle Ergebnisse, bei denen das Ereignis $E$ eintritt.
• Mögliche Ergebnisse: Alle Ergebnisse, die bei dem Experiment überhaupt auftreten können.

Die Wahrscheinlichkeit ist immer eine Zahl zwischen $0$ und $1$. Oft gibt man sie auch in Prozent an.

Was bedeuten die Begriffe genau?

Beim Würfeln mit einem fairen Würfel gibt es sechs mögliche Ergebnisse: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Wenn du nun fragst: „Wie wahrscheinlich ist es, eine gerade Zahl zu würfeln?” – dann ist das dein Ereignis. Die geraden Zahlen sind $2, 4, 6$. Das sind drei Ergebnisse, die zu deinem Ereignis passen. Also hast du drei günstige Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt:

$P(\text{gerade Zahl}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%$

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Laplace-Formel bei ungleichen Chancen anwenden

Viele Schüler verwenden die Laplace-Formel automatisch bei jedem Zufallsexperiment. Das führt zu falschen Ergebnissen. Prüfe immer zuerst, ob wirklich alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind.

Beispiel: Beim Werfen von zwei Münzen ist „einmal Kopf und einmal Zahl” nicht gleichwahrscheinlich mit „zweimal Kopf”. Hier musst du genau hinschauen.

Fehler 2: Günstige und mögliche Ergebnisse verwechseln

Achte darauf, dass du die Zahlen nicht vertauschst. Die günstigen Ergebnisse stehen immer im Zähler (oben), die möglichen Ergebnisse immer im Nenner (unten). Die günstigen Ergebnisse können nie mehr sein als die möglichen.

Fehler 3: Ergebnisse nicht vollständig zählen

Zähle systematisch. Liste am besten alle möglichen Ergebnisse auf, bevor du die günstigen markierst. Besonders beim Ziehen mehrerer Objekte oder beim Würfeln mit mehreren Würfeln vergisst man leicht Ergebnisse.

Beispiele

Beispiel 1: Der klassische Würfelwurf

Aufgabe: Du wirfst einen fairen Würfel einmal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl grösser als $4$ zu würfeln?

Lösung:

Schritt 1: Ist das ein Laplace-Experiment? Ja, der Würfel ist fair. Alle sechs Augenzahlen sind gleichwahrscheinlich.

Schritt 2: Mögliche Ergebnisse zählen. Der Würfel kann $1, 2, 3, 4, 5$ oder $6$ zeigen. Das sind $6$ mögliche Ergebnisse.

Schritt 3: Günstige Ergebnisse zählen. Welche Zahlen sind grösser als $4$? Das sind $5$ und $6$. Also gibt es $2$ günstige Ergebnisse.

Schritt 4: Laplace-Formel anwenden.

$P(\text{Zahl} > 4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333 = 33{,}3\%$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{3}$ oder etwa $33{,}3\%$.

Beispiel 2: Ziehen aus einer Urne

Aufgabe: In einer Urne liegen $5$ rote, $3$ blaue und $2$ grüne Kugeln. Alle Kugeln sind gleich gross und gut gemischt. Du ziehst zufällig eine Kugel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen?

Lösung:

Schritt 1: Laplace-Experiment? Ja, alle Kugeln sind gleich gross und gut gemischt. Jede Kugel hat die gleiche Chance, gezogen zu werden.

Schritt 2: Mögliche Ergebnisse zählen. Insgesamt sind $5 + 3 + 2 = 10$ Kugeln in der Urne. Jede Kugel ist ein mögliches Ergebnis. Also: $10$ mögliche Ergebnisse.

Schritt 3: Günstige Ergebnisse zählen. Blaue Kugeln gibt es $3$ Stück. Also: $3$ günstige Ergebnisse.

Schritt 4: Laplace-Formel anwenden.

$P(\text{blau}) = \frac{3}{10} = 0{,}3 = 30\%$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen, beträgt $30\%$.

Beispiel 3: Karten ziehen aus einem Skatspiel

Aufgabe: Ein Skatspiel besteht aus $32$ Karten. Es gibt vier Farben (Kreuz, Pik, Herz, Karo) mit je $8$ Karten. Du ziehst zufällig eine Karte aus dem gut gemischten Stapel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ass zu ziehen?

Lösung:

Schritt 1: Laplace-Experiment? Ja, das Spiel ist gut gemischt. Jede Karte hat die gleiche Chance, gezogen zu werden.

Schritt 2: Mögliche Ergebnisse: $32$ Karten im Spiel, also $32$ mögliche Ergebnisse.

Schritt 3: Günstige Ergebnisse: In jeder der vier Farben gibt es genau ein Ass. Also gibt es $4$ Asse im Spiel. Das sind $4$ günstige Ergebnisse.

Schritt 4: Laplace-Formel anwenden.

$P(\text{Ass}) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = 0{,}125 = 12{,}5\%$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, ein Ass zu ziehen, beträgt $\frac{1}{8}$ oder $12{,}5\%$.

Beispiel 4: Das Glücksrad

Aufgabe: Ein Glücksrad hat $12$ gleich grosse Felder. Vier Felder sind rot, drei sind blau, drei sind gelb und zwei sind grün. Du drehst das Rad einmal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Rad auf einem roten oder grünen Feld stehen bleibt?

Lösung:

Schritt 1: Laplace-Experiment? Ja, alle Felder sind gleich gross. Jedes Feld hat die gleiche Chance.

Schritt 2: Mögliche Ergebnisse: Das Rad hat $12$ Felder, also $12$ mögliche Ergebnisse.

Schritt 3: Günstige Ergebnisse: Rote Felder gibt es $4$, grüne Felder gibt es $2$. Für das Ereignis „rot oder grün” zählen beide. Also: $4 + 2 = 6$ günstige Ergebnisse.

Schritt 4: Laplace-Formel anwenden.

$P(\text{rot oder grün}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $50\%$.

Beispiel 5: Münzwurf mit einer Zusatzbedingung

Aufgabe: Du wirfst eine faire Münze dreimal hintereinander. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, genau zweimal Kopf zu erhalten?

Lösung:

Schritt 1: Laplace-Experiment? Ja, die Münze ist fair. Bei jedem Wurf sind Kopf und Zahl gleichwahrscheinlich. Dadurch sind auch alle Kombinationen von drei Würfen gleichwahrscheinlich.

Schritt 2: Mögliche Ergebnisse auflisten. Wir notieren K für Kopf und Z für Zahl:

$KKK, \, KKZ, \, KZK, \, KZZ, \, ZKK, \, ZKZ, \, ZZK, \, ZZZ$

Das sind $8$ mögliche Ergebnisse. (Alternativ: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$)

Schritt 3: Günstige Ergebnisse finden. Welche Kombinationen haben genau zweimal Kopf?

$KKZ, \, KZK, \, ZKK$

Das sind $3$ günstige Ergebnisse.

Schritt 4: Laplace-Formel anwenden.

$P(\text{genau 2-mal Kopf}) = \frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\%$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, bei drei Münzwürfen genau zweimal Kopf zu erhalten, beträgt $\frac{3}{8}$ oder $37{,}5\%$.

Wahrscheinlichkeiten richtig interpretieren

Eine Wahrscheinlichkeit von $50\%$ bedeutet nicht, dass das Ereignis bei zwei Versuchen genau einmal eintritt. Es bedeutet, dass das Ereignis langfristig in etwa der Hälfte aller Fälle eintritt.

Wenn du eine Münze zehnmal wirfst, wirst du selten exakt fünfmal Kopf erhalten. Manchmal sind es drei, manchmal sieben. Aber je öfter du wirfst, desto näher kommt der Anteil der Köpfe an $50\%$ heran. Das nennt man das Gesetz der grossen Zahlen.

Wahrscheinlichkeiten als Bruch, Dezimalzahl oder Prozent

Du kannst Wahrscheinlichkeiten auf drei Arten angeben:

Darstellung	Beispiel
Bruch	$\frac{1}{4}$
Dezimalzahl	$0{,}25$
Prozent	$25\%$

Alle drei Schreibweisen bedeuten dasselbe. In der Schule werden oft Brüche verlangt. Im Alltag begegnen dir häufiger Prozentangaben.

Unmögliche und sichere Ereignisse

Zwei Spezialfälle solltest du kennen:

• Unmögliches Ereignis: Ein Ereignis, das nie eintreten kann, hat die Wahrscheinlichkeit $P = 0$. Beispiel: Beim Würfeln eine $7$ würfeln.
• Sicheres Ereignis: Ein Ereignis, das immer eintritt, hat die Wahrscheinlichkeit $P = 1 = 100\%$. Beispiel: Beim Würfeln eine Zahl zwischen $1$ und $6$ würfeln.

Die Gegenwahrscheinlichkeit: Ein nützlicher Trick

Manchmal ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils zu berechnen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und die Wahrscheinlichkeit seines Gegenteils ergeben zusammen immer $1$.

$P(\text{Gegenereignis}) = 1 - P(\text{Ereignis})$

Beispiel 6: Gegenwahrscheinlichkeit nutzen

Aufgabe: Du wirfst einen fairen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, keine Sechs zu würfeln?

Lösung:

Du könntest alle günstigen Ergebnisse zählen ($1, 2, 3, 4, 5$ – das sind $5$ Stück) und dann rechnen: $\frac{5}{6}$.

Schneller geht es so:

$P(\text{keine Sechs}) = 1 - P(\text{Sechs}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 83{,}3\%$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, keine Sechs zu würfeln, beträgt $\frac{5}{6}$ oder etwa $83{,}3\%$.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn alle möglichen Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind.
• Die Laplace-Formel lautet: $P(E) = \frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{mögliche Ergebnisse}}$
• Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen $0$ (unmöglich) und $1$ (sicher).
• Bei der Gegenwahrscheinlichkeit gilt: $P(\text{Gegenereignis}) = 1 - P(\text{Ereignis})$
• Zähle systematisch alle Ergebnisse auf, um Fehler zu vermeiden.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Glücksrad hat 8 gleich grosse Felder. Zwei davon sind mit „Gewinn” beschriftet. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung zu gewinnen? Gib das Ergebnis als gekürzten Bruch an.

Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Es gibt $8$ mögliche Ergebnisse (8 Felder) und $2$ günstige Ergebnisse (2 Gewinnfelder). Nach der Laplace-Formel: $P = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

❓ Frage: In einer Schachtel sind 6 rote und 4 weisse Kugeln. Du ziehst zufällig eine Kugel. Ist das ein Laplace-Experiment? Begründe deine Antwort und berechne die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen.

Lösung anzeigen

Ja, es ist ein Laplace-Experiment, weil alle Kugeln die gleiche Chance haben, gezogen zu werden (vorausgesetzt, sie sind gleich gross und gut gemischt).

Mögliche Ergebnisse: $6 + 4 = 10$

Günstige Ergebnisse (rote Kugeln): $6$

$P(\text{rot}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 60\%$

❓ Frage: Du wirfst einen fairen Würfel zweimal. Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es insgesamt? (Tipp: Liste systematisch auf oder überlege, wie viele Kombinationen es gibt.)

Lösung anzeigen

Es gibt $36$ mögliche Ergebnisse.

Beim ersten Wurf gibt es $6$ Möglichkeiten. Beim zweiten Wurf gibt es ebenfalls $6$ Möglichkeiten. Für jede Möglichkeit des ersten Wurfs gibt es alle $6$ Möglichkeiten des zweiten Wurfs.

$6 \cdot 6 = 36$

Die Ergebnisse lassen sich als Paare $(a, b)$ darstellen, wobei $a$ das Ergebnis des ersten und $b$ das Ergebnis des zweiten Wurfs ist: $(1,1), (1,2), \ldots, (6,6)$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du beherrschst jetzt die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Laplace-Experimenten. Im nächsten Schritt lernst du, wie du Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten berechnest. Dabei helfen dir Baumdiagramme, um auch komplexere Situationen übersichtlich darzustellen.

Ausserdem wirst du die Pfadregeln kennenlernen. Mit ihnen kannst du Wahrscheinlichkeiten berechnen, ohne alle Ergebnisse einzeln aufzulisten. Das wird besonders nützlich, wenn die Anzahl der möglichen Ergebnisse sehr gross wird – zum Beispiel beim zehnmaligen Münzwurf mit über tausend Möglichkeiten.