Baumdiagramme einfach erklärt: So behältst du bei Wahrscheinlichkeiten den Überblick

Stell dir vor, du stehst morgens vor deinem Kleiderschrank. Du hast drei T-Shirts zur Auswahl: ein rotes, ein blaues und ein schwarzes. Dazu kommen zwei Hosen: Jeans oder Jogginghose. Wie viele verschiedene Outfits kannst du kombinieren? Du könntest jetzt alle Möglichkeiten im Kopf durchgehen. Aber was, wenn noch Schuhe, Jacken und Accessoires dazukommen? Das wird schnell unübersichtlich. Genau hier kommt ein geniales Werkzeug ins Spiel: das Baumdiagramm. Es hilft dir, alle Möglichkeiten systematisch aufzuzeichnen und Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. In der Mathematik ist das Baumdiagramm dein bester Freund, wenn es um mehrstufige Zufallsexperimente geht.

Von der Garderobe zur Mathematik

Kehren wir zu deinem Kleiderschrank zurück. Du greifst zuerst blind nach einem T-Shirt. Danach greifst du blind nach einer Hose. Das sind zwei aufeinanderfolgende Zufallsereignisse. Um alle möglichen Kombinationen zu sehen, zeichnen wir einen “Baum”.

Der Baum beginnt mit einem Startpunkt. Von dort gehen drei Äste ab – einer für jedes T-Shirt. Von jedem T-Shirt-Ast gehen wiederum zwei Äste ab – einer für jede Hose. Am Ende jedes Pfades steht eine vollständige Kombination.

So sieht das aus:

• Start → Rot → Jeans
• Start → Rot → Jogginghose
• Start → Blau → Jeans
• Start → Blau → Jogginghose
• Start → Schwarz → Jeans
• Start → Schwarz → Jogginghose

Du siehst sofort: Es gibt $3 \cdot 2 = 6$ verschiedene Outfits. Das Baumdiagramm macht komplizierte Abzählungen kinderleicht.

Was ist ein Baumdiagramm?

Ein Baumdiagramm ist eine grafische Darstellung aller möglichen Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments. Es besteht aus drei Elementen:

Knoten: Die Verzweigungspunkte. Der erste Knoten ist der Startpunkt.

Äste (Pfade): Die Verbindungslinien zwischen den Knoten. An jedem Ast steht die Wahrscheinlichkeit für dieses Teilergebnis.

Endpunkte: Die Enden der Pfade. Hier steht das vollständige Ergebnis der Versuchsreihe.

DEFINITION

Ein Baumdiagramm stellt alle möglichen Ausgänge eines mehrstufigen Zufallsexperiments übersichtlich dar. Jeder Ast entspricht einem Teilergebnis mit seiner Wahrscheinlichkeit. Ein vollständiger Pfad von der Wurzel bis zum Endpunkt beschreibt ein Gesamtergebnis.

Die zwei goldenen Regeln: Pfadregel und Summenregel

Um Wahrscheinlichkeiten aus einem Baumdiagramm zu berechnen, brauchst du nur zwei Regeln. Diese Regeln sind das Herzstück der Arbeit mit Baumdiagrammen.

Die Pfadregel (Multiplikationsregel)

Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Gesamtergebnis wissen willst, gehst du den entsprechenden Pfad entlang. Du multiplizierst alle Wahrscheinlichkeiten der Äste auf diesem Pfad miteinander.

$$P(\text{Pfad}) = P(\text{1. Ast}) \cdot P(\text{2. Ast}) \cdot P(\text{3. Ast}) \cdot \ldots$$

Warum funktioniert das? Bei unabhängigen Ereignissen multiplizierst du die Einzelwahrscheinlichkeiten. Die Pfadregel ist nichts anderes als diese Multiplikation, visualisiert durch den Baum.

Die Summenregel (Additionsregel)

Manchmal interessiert dich nicht ein einzelnes Ergebnis, sondern mehrere. Zum Beispiel: “Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal Kopf zu werfen?” In diesem Fall addierst du die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis gehören.

$$P(\text{Ereignis}) = P(\text{Pfad 1}) + P(\text{Pfad 2}) + P(\text{Pfad 3}) + \ldots$$

DEFINITION

Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt aller Astwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.

Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

So zeichnest du ein Baumdiagramm: Schritt für Schritt

Hier ist dein Kochrezept für perfekte Baumdiagramme:

1. Identifiziere die Stufen: Wie viele Zufallsexperimente finden nacheinander statt? Jedes Experiment bildet eine Stufe.

2. Bestimme die Ausgänge pro Stufe: Welche Ergebnisse sind bei jedem Experiment möglich?

3. Zeichne den Baum: Beginne links mit einem Startpunkt. Zeichne für jeden möglichen Ausgang der ersten Stufe einen Ast nach rechts. Wiederhole das für jede weitere Stufe.

4. Beschrifte die Äste: Schreibe an jeden Ast die zugehörige Wahrscheinlichkeit.

5. Kontrolliere jede Verzweigung: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten an einer Verzweigung muss immer $1$ ergeben.

6. Berechne die Pfadwahrscheinlichkeiten: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang jedes Pfades.

7. Finale Kontrolle: Die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten muss $1$ ergeben.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Addition statt Multiplikation auf dem Pfad

Viele Schüler addieren die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades. Das ist falsch! Entlang eines Pfades wird immer multipliziert. Die Addition verwendest du nur, wenn du mehrere Pfade zusammenfasst.

Fehler 2: Wahrscheinlichkeiten summieren sich nicht zu 1

An jeder Verzweigung müssen alle abgehenden Äste zusammen die Wahrscheinlichkeit $1$ ergeben. Prüfe das bei jeder Verzweigung. Auch die Summe aller Endwahrscheinlichkeiten muss $1$ sein.

Fehler 3: Vergessene Pfade

Bei der Frage “Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein…” werden oft Pfade vergessen. Markiere alle relevanten Pfade im Diagramm, bevor du rechnest.

Fehler 4: Abhängige Ereignisse ignorieren

Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten von Stufe zu Stufe. Die Gesamtzahl der Objekte und die Anzahl der “günstigen” Objekte verringern sich. Achte genau darauf!

Beispiele

Beispiel 1: Zweimal Münze werfen

Du wirfst eine faire Münze zweimal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal Kopf zu erhalten?

Schritt 1: Baumdiagramm aufstellen

Stufe 1 (1. Wurf): Kopf (K) oder Zahl (Z), jeweils mit $P = \frac{1}{2}$

Stufe 2 (2. Wurf): Wieder K oder Z, jeweils mit $P = \frac{1}{2}$

Die vier möglichen Pfade sind:

• K → K
• K → Z
• Z → K
• Z → Z

Schritt 2: Pfadwahrscheinlichkeit berechnen

Wir suchen den Pfad K → K.

$$P(\text{K, K}) = P(\text{K}) \cdot P(\text{K}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, zweimal Kopf zu werfen, beträgt $\frac{1}{4}$ oder $25\%$.

Beispiel 2: Mindestens einmal Kopf

Gleiche Situation: Du wirfst eine faire Münze zweimal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal Kopf zu erhalten?

Schritt 1: Relevante Pfade identifizieren

“Mindestens einmal Kopf” bedeutet: ein- oder zweimal Kopf. Das sind die Pfade:

• K → K (zweimal Kopf)
• K → Z (einmal Kopf)
• Z → K (einmal Kopf)

Der einzige Pfad, der nicht dazugehört, ist Z → Z.

Schritt 2: Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen

$$P(\text{K, K}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$$$P(\text{K, Z}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$$$P(\text{Z, K}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Schritt 3: Summenregel anwenden

$$P(\text{mindestens einmal K}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{3}{4}$ oder $75\%$.

Alternativ: Du kannst auch das Gegenereignis nutzen.

$$P(\text{mindestens einmal K}) = 1 - P(\text{kein K}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Beispiel 3: Ziehen ohne Zurücklegen

In einer Schachtel liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Du ziehst nacheinander zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen?

Schritt 1: Wahrscheinlichkeiten für die erste Stufe

Insgesamt 5 Kugeln, davon 3 rote und 2 blaue.

$$P(\text{rot}_1) = \frac{3}{5}$$$$P(\text{blau}_1) = \frac{2}{5}$$

Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten für die zweite Stufe

Hier wird es interessant! Die Wahrscheinlichkeiten hängen davon ab, was zuerst gezogen wurde.

Falls die erste Kugel rot war:

• Es bleiben 4 Kugeln übrig, davon 2 rote und 2 blaue.

$$P(\text{rot}_2 \mid \text{rot}_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$$$P(\text{blau}_2 \mid \text{rot}_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Falls die erste Kugel blau war:

• Es bleiben 4 Kugeln übrig, davon 3 rote und 1 blaue.

$$P(\text{rot}_2 \mid \text{blau}_1) = \frac{3}{4}$$$$P(\text{blau}_2 \mid \text{blau}_1) = \frac{1}{4}$$

Schritt 3: Pfadwahrscheinlichkeit berechnen

Wir suchen den Pfad rot → rot.

$$P(\text{rot, rot}) = P(\text{rot}_1) \cdot P(\text{rot}_2 \mid \text{rot}_1) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, beträgt $\frac{3}{10}$ oder $30\%$.

Beispiel 4: Produktqualitätskontrolle

Eine Fabrik produziert Smartphones. Erfahrungsgemäss sind $5\%$ aller Geräte defekt. Ein Prüfer testet zwei zufällig ausgewählte Geräte. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines der beiden Geräte defekt ist?

Schritt 1: Wahrscheinlichkeiten festlegen

$$P(\text{defekt}) = 0{,}05$$$$P(\text{funktioniert}) = 0{,}95$$

Da die Produktion sehr gross ist, betrachten wir die Ziehungen als unabhängig.

Schritt 2: Relevante Pfade identifizieren

“Genau ein defektes Gerät” bedeutet:

• Pfad 1: defekt → funktioniert
• Pfad 2: funktioniert → defekt

Schritt 3: Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen

$$P(\text{defekt, funktioniert}) = 0{,}05 \cdot 0{,}95 = 0{,}0475$$$$P(\text{funktioniert, defekt}) = 0{,}95 \cdot 0{,}05 = 0{,}0475$$

Schritt 4: Summenregel anwenden

$$P(\text{genau ein defektes}) = 0{,}0475 + 0{,}0475 = 0{,}095$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $0{,}095$ oder $9{,}5\%$.

Beispiel 5: Dreistufiges Experiment

Ein Glücksrad hat drei gleich grosse Felder: Rot, Gelb und Blau. Du drehst das Rad dreimal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du genau zweimal Rot erhältst?

Schritt 1: Wahrscheinlichkeiten festlegen

$$P(\text{Rot}) = \frac{1}{3}$$$$P(\text{nicht Rot}) = \frac{2}{3}$$

Schritt 2: Relevante Pfade identifizieren

“Genau zweimal Rot” kann auf drei Arten eintreten:

• R → R → nicht R
• R → nicht R → R
• nicht R → R → R

Schritt 3: Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen

$$P(\text{R, R, nicht R}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{27}$$$$P(\text{R, nicht R, R}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$$$$P(\text{nicht R, R, R}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$$

Schritt 4: Summenregel anwenden

$$P(\text{genau zweimal Rot}) = \frac{2}{27} + \frac{2}{27} + \frac{2}{27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{2}{9}$ oder etwa $22{,}2\%$.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein Baumdiagramm visualisiert alle möglichen Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments übersichtlich.

• Die Pfadregel besagt: Multipliziere alle Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades, um die Wahrscheinlichkeit dieses Gesamtergebnisses zu erhalten.

• Die Summenregel besagt: Addiere die Pfadwahrscheinlichkeiten, wenn ein Ereignis durch mehrere Pfade erreicht werden kann.

• Kontrolle: An jeder Verzweigung summieren sich die Wahrscheinlichkeiten zu $1$. Auch die Summe aller Endwahrscheinlichkeiten muss $1$ sein.

• Bei Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten von Stufe zu Stufe.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Du wirfst einen fairen Würfel zweimal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal eine 6 zu würfeln?

Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ist $\frac{1}{6}$. Nach der Pfadregel gilt:

$$P(\text{6, 6}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{36}$ oder etwa $2{,}78\%$.

❓ Frage: In einer Urne liegen 4 weisse und 6 schwarze Kugeln. Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiss sind.

Lösung anzeigen

Erste Ziehung: $P(\text{weiss}_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Nach einer weissen Kugel bleiben 3 weisse von 9 Kugeln.

Zweite Ziehung: $P(\text{weiss}_2 \mid \text{weiss}_1) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$$P(\text{weiss, weiss}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{2}{15}$ oder etwa $13{,}3\%$.

❓ Frage: Bei einem Gewinnspiel beträgt die Gewinnchance pro Versuch $20\%$. Du spielst zweimal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnst du mindestens einmal?

Lösung anzeigen

Am einfachsten über das Gegenereignis:

$P(\text{Gewinn}) = 0{,}2$ und $P(\text{kein Gewinn}) = 0{,}8$

$P(\text{zweimal kein Gewinn}) = 0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64$

$$P(\text{mindestens ein Gewinn}) = 1 - 0{,}64 = 0{,}36$$

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal zu gewinnen, beträgt $36\%$.

Alternativ direkt: $P(\text{G, G}) + P(\text{G, kein G}) + P(\text{kein G, G}) = 0{,}04 + 0{,}16 + 0{,}16 = 0{,}36$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Baumdiagramm als mächtiges Werkzeug kennengelernt. In den kommenden Themen wirst du auf dieses Wissen aufbauen. Das nächste grosse Thema ist die Binomialverteilung. Sie beschreibt Situationen, in denen du ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholst. Stell dir vor, du würdest eine Münze nicht zweimal, sondern hundertmal werfen. Ein Baumdiagramm wäre dann unpraktisch. Die Binomialverteilung liefert dir eine elegante Formel für genau solche Fälle. Die Grundidee bleibt aber dieselbe: Du nutzt die Pfadregel und die Summenregel – nur in einer kompakteren Form.