Terme verstehen: Dein Einstieg in die Sprache der Mathematik

Stell dir vor, du bestellst Pizza für deine Geburtstagsparty. Du weisst noch nicht genau, wie viele Freunde kommen werden. Trotzdem möchtest du schon mal rechnen, was das kosten wird. Eine Pizza kostet 12 Franken. Wenn 5 Freunde kommen, zahlst du $5 \cdot 12$ Franken. Wenn 8 Freunde kommen, zahlst du $8 \cdot 12$ Franken. Und wenn $n$ Freunde kommen? Dann zahlst du $n \cdot 12$ Franken.

Genau das hast du gerade getan: Du hast einen mathematischen Ausdruck geschrieben, der für verschiedene Situationen funktioniert. Dieser Ausdruck mit dem Buchstaben $n$ ist ein Term. Terme sind wie Schablonen für Berechnungen. Sie erlauben dir, allgemeine Zusammenhänge auszudrücken, ohne jeden Einzelfall durchrechnen zu müssen. In dieser Lektion lernst du, was Terme genau sind, wie du sie liest und wie du mit ihnen arbeitest.

Was ist ein Term?

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen (Buchstaben) und Rechenzeichen besteht. Der Begriff kommt vom lateinischen Wort “terminus”, was so viel wie “Ausdruck” oder “Grenze” bedeutet.

Denke nochmal an das Pizza-Beispiel. Der Ausdruck $n \cdot 12$ ist ein Term. Er beschreibt die Kosten für $n$ Pizzen, ohne dass wir wissen müssen, wie gross $n$ konkret ist. Das ist die Stärke von Termen: Sie sind flexibel und allgemeingültig.

Terme können ganz unterschiedlich aussehen:

• $5$ (eine einzelne Zahl ist auch ein Term)
• $x$ (eine einzelne Variable ist auch ein Term)
• $3 \cdot a + 7$
• $2 \cdot x - 5 \cdot y + 1$
• $\dfrac{a + b}{2}$

Jeder dieser Ausdrücke ist ein gültiger Term. Was aber kein Term ist: Ein Ausdruck mit einem Gleichheitszeichen. Sobald du ein $=$ siehst, hast du eine Gleichung, keinen Term.

DEFINITION

Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen (wie $+$, $-$, $\cdot$, $:$) zusammengesetzt ist. Ein Term enthält kein Gleichheitszeichen.

Wichtige Begriffe:

• Variable: Ein Buchstabe, der als Platzhalter für eine Zahl steht (z.B. $x$, $a$, $n$)
• Koeffizient: Die Zahl, die vor einer Variablen steht (in $3x$ ist die $3$ der Koeffizient)
• Konstante: Eine feste Zahl im Term ohne Variable (in $2x + 5$ ist die $5$ die Konstante)

Die Bausteine eines Terms

Um Terme wirklich zu verstehen, musst du ihre einzelnen Bestandteile kennen. Schauen wir uns den Term $4a + 3b - 7$ genauer an.

Variablen: Die Platzhalter

Die Buchstaben $a$ und $b$ sind Variablen. Sie stehen für Zahlen, die wir noch nicht kennen oder die sich ändern können. Du kannst dir eine Variable wie eine leere Schachtel vorstellen, in die du später eine Zahl hineinlegst.

Wichtig: Verschiedene Buchstaben stehen normalerweise für verschiedene Zahlen. In $4a + 3b$ können $a$ und $b$ unterschiedliche Werte haben.

Koeffizienten: Die Vorfaktoren

Die Zahlen $4$ und $3$ sind Koeffizienten. Sie geben an, wie oft die Variable “genommen” wird. Der Term $4a$ bedeutet $a + a + a + a$ oder eben $4 \cdot a$.

Steht keine Zahl vor einer Variablen, ist der Koeffizient $1$. Der Term $x$ ist also dasselbe wie $1 \cdot x$.

Konstanten: Die festen Zahlen

Die $7$ am Ende ist eine Konstante. Sie ändert sich nicht, egal welche Werte die Variablen annehmen. Konstanten sind die “festen Anker” in einem Term.

Die Vorzeichen

Das $+$ und das $-$ sind nicht nur Rechenzeichen. Sie gehören zum jeweiligen Summanden. Der Term $4a + 3b - 7$ besteht aus drei Summanden: $+4a$, $+3b$ und $-7$. Das Minuszeichen gehört also zur $7$.

Terme aufstellen: Vom Text zur Formel

Eine der wichtigsten Fähigkeiten ist es, aus einer Textbeschreibung einen Term zu entwickeln. Das nennt man “einen Term aufstellen”.

Dabei gehst du am besten schrittweise vor:

1. Lies den Text sorgfältig. Was ist gegeben? Was wird gesucht?
2. Wähle eine Variable. Gib der unbekannten Grösse einen Buchstaben.
3. Übersetze Wort für Wort. “Die Summe von” bedeutet Addition. “Das Doppelte” bedeutet mal 2.

Hier sind wichtige Übersetzungshilfen:

Textformulierung	Mathematische Operation
die Summe von $a$ und $b$	$a + b$
die Differenz von $a$ und $b$	$a - b$
das Produkt von $a$ und $b$	$a \cdot b$
der Quotient von $a$ und $b$	$\dfrac{a}{b}$
das Doppelte von $x$	$2x$
um 5 vermehrt	$+ 5$
um 3 vermindert	$- 3$

Terme vereinfachen: Ordnung schaffen

Terme können oft kürzer geschrieben werden. Das nennt man “Terme vereinfachen” oder “zusammenfassen”. Du kannst nur Summanden zusammenfassen, die dieselbe Variable haben. Solche Summanden heissen “gleichartige Terme”.

Schauen wir uns das an einem Beispiel an:

$$3x + 5y + 2x - y$$

Hier sind $3x$ und $2x$ gleichartig (beide enthalten $x$). Ebenso sind $5y$ und $-y$ gleichartig (beide enthalten $y$).

Das Zusammenfassen funktioniert so:

$$3x + 2x = 5x$$ $$5y - y = 5y - 1y = 4y$$

Der vereinfachte Term lautet also:

$$5x + 4y$$

Häufige Fehler beim Arbeiten mit Termen:

1. Ungleichartige Terme zusammenfassen: Du darfst $3x + 2y$ nicht zu $5xy$ zusammenfassen! Die Variablen $x$ und $y$ sind verschieden. Der Term $3x + 2y$ ist bereits vollständig vereinfacht.

2. Vorzeichen vergessen: Bei $5a - 3a$ ist das Ergebnis $2a$, nicht $8a$. Das Minuszeichen gehört zur $3$.

3. Koeffizient 1 übersehen: Der Term $x$ hat den Koeffizienten $1$. Bei $x + 3x$ rechnest du also $1x + 3x = 4x$.

4. Multiplikation und Addition verwechseln: Der Term $2 \cdot x + 3$ ist etwas anderes als $2 \cdot (x + 3)$. Im ersten Fall wird nur $x$ verdoppelt, im zweiten Fall die ganze Summe.

Termwerte berechnen: Zahlen einsetzen

Sobald du für die Variablen konkrete Zahlen einsetzt, erhältst du einen Zahlenwert. Das nennt man “den Termwert berechnen” oder “den Term auswerten”.

Die Vorgehensweise ist immer gleich:

1. Schreibe den Term auf.
2. Ersetze jede Variable durch die gegebene Zahl.
3. Berechne das Ergebnis nach den üblichen Rechenregeln.

Wichtig: Beachte dabei die Regel “Punkt vor Strich”!

Beispiel 1: Einfachen Termwert berechnen

Beispiel 1: Einfachen Termwert berechnen

Aufgabe: Berechne den Wert des Terms $3x + 7$ für $x = 4$.

Lösung:

Schritt 1: Schreibe den Term auf und ersetze $x$ durch $4$.

$$3x + 7 = 3 \cdot 4 + 7$$

Schritt 2: Berechne die Multiplikation zuerst (Punkt vor Strich).

$$= 12 + 7$$

Schritt 3: Führe die Addition durch.

$$= 19$$

Antwort: Für $x = 4$ hat der Term $3x + 7$ den Wert $19$.

Beispiel 2: Term mit zwei Variablen

Beispiel 2: Term mit zwei Variablen

Aufgabe: Berechne den Wert des Terms $2a - 3b + 5$ für $a = 6$ und $b = 2$.

Lösung:

Schritt 1: Ersetze $a$ durch $6$ und $b$ durch $2$.

$$2a - 3b + 5 = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 2 + 5$$

Schritt 2: Berechne beide Multiplikationen.

$$= 12 - 6 + 5$$

Schritt 3: Rechne von links nach rechts.

$$= 6 + 5 = 11$$

Antwort: Für $a = 6$ und $b = 2$ ergibt der Term den Wert $11$.

Beispiel 3: Alltagssituation als Term

Beispiel 3: Alltagssituation als Term

Aufgabe: Ein Fitnessstudio kostet 25 CHF Grundgebühr pro Monat plus 8 CHF pro Kursbesuch. Stelle einen Term für die monatlichen Kosten auf und berechne, was du zahlst, wenn du 6 Kurse besuchst.

Lösung:

Schritt 1: Identifiziere die Unbekannte. Die Anzahl der Kursbesuche ist variabel. Wir nennen sie $k$.

Schritt 2: Stelle den Term auf.

$$\text{Monatliche Kosten} = 25 + 8k$$

Die Grundgebühr (25 CHF) ist konstant. Pro Kurs kommen 8 CHF dazu, also $8 \cdot k$.

Schritt 3: Setze $k = 6$ ein.

$$25 + 8 \cdot 6 = 25 + 48 = 73$$

Antwort: Der Term für die monatlichen Kosten lautet $25 + 8k$. Bei 6 Kursbesuchen zahlst du 73 CHF.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen – ohne Gleichheitszeichen.
• Variablen sind Platzhalter für Zahlen. Koeffizienten sind die Zahlen vor den Variablen. Konstanten sind feste Zahlen.
• Nur gleichartige Terme (mit derselben Variable) können zusammengefasst werden.
• Um einen Termwert zu berechnen, setzt du konkrete Zahlen für die Variablen ein und rechnest das Ergebnis aus.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Berechne den Wert des Terms $5x - 3$ für $x = 4$.

Lösung anzeigen

$$5 \cdot 4 - 3 = 20 - 3 = 17$$

Der Termwert ist $17$.

❓ Frage: Was passiert mit dem Termwert von $2n + 10$, wenn sich $n$ verdoppelt (z.B. von $n = 3$ auf $n = 6$)?

Lösung anzeigen

Für $n = 3$: $2 \cdot 3 + 10 = 6 + 10 = 16$

Für $n = 6$: $2 \cdot 6 + 10 = 12 + 10 = 22$

Der Termwert steigt, aber er verdoppelt sich nicht. Das liegt an der Konstanten $+10$. Nur der Teil $2n$ verdoppelt sich (von $6$ auf $12$), aber die $10$ bleibt gleich.

❓ Frage: Ein Schüler vereinfacht den Term $4x + 3y$ zu $7xy$. Ist das korrekt? Begründe.

Lösung anzeigen

Nein, das ist falsch.

$4x$ und $3y$ sind nicht gleichartig, weil sie verschiedene Variablen enthalten. Ungleichartige Terme können nicht zusammengefasst werden.

Der Term $4x + 3y$ ist bereits vollständig vereinfacht und kann nicht weiter zusammengefasst werden.

Zusätzlich wäre $7xy$ ein Produkt aus $x$ und $y$, was etwas völlig anderes ist als eine Summe.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt gelernt, was Terme sind und wie du mit ihnen arbeitest. Der nächste logische Schritt ist das Thema Gleichungen. Während ein Term nur ein Ausdruck ist, verbindet eine Gleichung zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen: $3x + 5 = 20$.

Bei Gleichungen geht es darum, den Wert der Variablen herauszufinden, für den die Gleichung stimmt. Du wirst dein Wissen über Terme direkt anwenden, um Gleichungen zu lösen. Das Vereinfachen und Umformen von Termen ist dabei dein wichtigstes Werkzeug.