Ungleichungen lösen: Schritt für Schritt zum Erfolg

Stell dir vor, du planst eine Party und hast ein Budget von höchstens 150 CHF. Du weisst: Die Getränke kosten 30 CHF. Wie viel Geld bleibt dir maximal für Snacks? Du rechnest nicht nach einer exakten Zahl – du suchst nach allem, was möglich ist. Genau das ist der Kern von Ungleichungen: Sie beschreiben nicht einen einzigen Wert, sondern eine ganze Menge von Lösungen. In diesem Kapitel lernst du, wie du solche Ungleichungen systematisch löst und die Lösungsmenge korrekt angibst.

Von der Gleichung zur Ungleichung

Du kennst bereits Gleichungen wie $3x + 5 = 20$. Dort suchst du genau eine Zahl für $x$, die die Gleichung wahr macht. Bei Ungleichungen ist das anders.

Ersetze das Gleichheitszeichen durch ein Ungleichheitszeichen:

$$3x + 5 < 20$$

Jetzt fragst du: Welche Zahlen für $x$ machen diese Aussage wahr? Die Antwort ist nicht eine einzige Zahl, sondern alle Zahlen, die kleiner als ein bestimmter Grenzwert sind.

Die vier Ungleichheitszeichen

Bevor wir rechnen, musst du die Symbole sicher kennen:

Symbol	Bedeutung	Beispiel
$<$	kleiner als	$x < 5$ bedeutet: $x$ ist kleiner als 5
$>$	grösser als	$x > 3$ bedeutet: $x$ ist grösser als 3
$\leq$	kleiner oder gleich	$x \leq 7$ bedeutet: $x$ ist höchstens 7
$\geq$	grösser oder gleich	$x \geq 2$ bedeutet: $x$ ist mindestens 2

Der kleine Strich unter dem Zeichen ($\leq$ und $\geq$) bedeutet: Die Grenze selbst gehört noch zur Lösung dazu.

Die goldene Regel beim Umformen

Das Lösen von Ungleichungen funktioniert fast genauso wie bei Gleichungen. Du darfst auf beiden Seiten addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Aber es gibt eine entscheidende Ausnahme.

DEFINITION

Wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst, musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen.

• Aus $<$ wird $>$
• Aus $>$ wird $<$
• Aus $\leq$ wird $\geq$
• Aus $\geq$ wird $\leq$

Warum ist das so? Betrachte diese wahre Aussage:

$$2 < 5$$

Multipliziere beide Seiten mit $-1$:

$$-2 \quad ? \quad -5$$

Auf dem Zahlenstrahl liegt $-2$ rechts von $-5$. Also gilt $-2 > -5$. Das Zeichen hat sich umgedreht.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

So gehst du beim Lösen jeder Ungleichung vor:

1. Vereinfache beide Seiten der Ungleichung, falls nötig. Fasse gleiche Terme zusammen und löse Klammern auf.
2. Bringe alle Terme mit der Variablen auf eine Seite. Subtrahiere oder addiere dazu auf beiden Seiten.
3. Bringe alle Zahlen auf die andere Seite.
4. Teile oder multipliziere, um die Variable zu isolieren. Achte auf das Vorzeichen!
5. Gib die Lösungsmenge in korrekter Schreibweise an.

Die Lösungsmenge richtig aufschreiben

Die Lösungsmenge beschreibt alle Zahlen, die die Ungleichung erfüllen. Du schreibst sie in Mengenschreibweise:

$$\mathbb{L} = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x < 5 \right\}$$

Das liest du so: “Die Lösungsmenge besteht aus allen reellen Zahlen $x$, für die gilt: $x$ ist kleiner als 5.”

Für die Grundmenge $\mathbb{Q}$ (rationale Zahlen) schreibst du entsprechend $x \in \mathbb{Q}$.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Vorzeichen beim Teilen vergessen

Der häufigste Fehler überhaupt. Bei $-3x > 12$ teilen viele einfach durch $-3$ und schreiben $x > -4$. Falsch! Richtig ist $x < -4$, weil du durch eine negative Zahl teilst.

Fehler 2: Ungleichheitszeichen falsch lesen

Viele verwechseln $<$ und $>$. Merke dir: Die Spitze zeigt immer zur kleineren Seite. Bei $x < 5$ zeigt die Spitze auf $x$, also ist $x$ kleiner.

Fehler 3: Grenzwert vergessen bei $\leq$ und $\geq$

Bei $x \leq 7$ gehört die 7 zur Lösungsmenge dazu. Auf dem Zahlenstrahl zeichnest du einen ausgefüllten Punkt. Bei $x < 7$ gehört die 7 nicht dazu – hier zeichnest du einen leeren Kreis.

Beispiele

Beispiel 1: Einfache Ungleichung ohne Vorzeichenwechsel

Löse die Ungleichung $2x + 7 < 15$ für $x \in \mathbb{R}$.

Schritt 1: Subtrahiere 7 auf beiden Seiten.

$$2x + 7 - 7 < 15 - 7$$$$2x < 8$$

Schritt 2: Teile beide Seiten durch 2. Da 2 positiv ist, bleibt das Zeichen gleich.

$$\frac{2x}{2} < \frac{8}{2}$$$$x < 4$$

Lösungsmenge:

$$\mathbb{L} = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x < 4 \right\}$$

Alle Zahlen kleiner als 4 erfüllen die Ungleichung. Die Zahl 4 selbst gehört nicht dazu.

Beispiel 2: Ungleichung mit Vorzeichenwechsel

Löse die Ungleichung $-4x + 3 \geq 19$ für $x \in \mathbb{R}$.

Schritt 1: Subtrahiere 3 auf beiden Seiten.

$$-4x + 3 - 3 \geq 19 - 3$$$$-4x \geq 16$$

Schritt 2: Teile beide Seiten durch $-4$. Achtung: Du teilst durch eine negative Zahl! Das Zeichen dreht sich um.

$$\frac{-4x}{-4} \leq \frac{16}{-4}$$$$x \leq -4$$

Lösungsmenge:

$$\mathbb{L} = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq -4 \right\}$$

Alle Zahlen, die kleiner oder gleich $-4$ sind, erfüllen die Ungleichung. Die Zahl $-4$ gehört diesmal dazu.

Beispiel 3: Ungleichung mit Klammern und Variable auf beiden Seiten

Löse die Ungleichung $3 \cdot \left( x - 2 \right) > 5x + 4$ für $x \in \mathbb{R}$.

Schritt 1: Löse die Klammer auf.

$$3x - 6 > 5x + 4$$

Schritt 2: Bringe die Terme mit $x$ auf eine Seite. Subtrahiere $5x$ auf beiden Seiten.

$$3x - 5x - 6 > 5x - 5x + 4$$$$-2x - 6 > 4$$

Schritt 3: Addiere 6 auf beiden Seiten.

$$-2x - 6 + 6 > 4 + 6$$$$-2x > 10$$

Schritt 4: Teile durch $-2$. Das Zeichen dreht sich um!

$$\frac{-2x}{-2} < \frac{10}{-2}$$$$x < -5$$

Lösungsmenge:

$$\mathbb{L} = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x < -5 \right\}$$

Beispiel 4: Ungleichung mit Brüchen

Löse die Ungleichung $\frac{x - 1}{3} \leq \frac{2x + 5}{6}$ für $x \in \mathbb{Q}$.

Schritt 1: Beseitige die Brüche. Multipliziere beide Seiten mit dem Hauptnenner 6.

$$6 \cdot \frac{x - 1}{3} \leq 6 \cdot \frac{2x + 5}{6}$$$$2 \cdot \left( x - 1 \right) \leq 2x + 5$$

Schritt 2: Löse die Klammer auf.

$$2x - 2 \leq 2x + 5$$

Schritt 3: Subtrahiere $2x$ auf beiden Seiten.

$$2x - 2x - 2 \leq 2x - 2x + 5$$$$-2 \leq 5$$

Diese Aussage ist immer wahr, unabhängig von $x$. Das bedeutet: Jede rationale Zahl ist eine Lösung.

Lösungsmenge:

$$\mathbb{L} = \mathbb{Q}$$

Beispiel 5: Ungleichung ohne Lösung

Löse die Ungleichung $2 \cdot \left( x + 3 \right) > 2x + 10$ für $x \in \mathbb{R}$.

Schritt 1: Löse die Klammer auf.

$$2x + 6 > 2x + 10$$

Schritt 2: Subtrahiere $2x$ auf beiden Seiten.

$$2x - 2x + 6 > 2x - 2x + 10$$$$6 > 10$$

Diese Aussage ist falsch. Keine Zahl kann sie wahr machen.

Lösungsmenge:

$$\mathbb{L} = \left\{ \right\} = \emptyset$$

Die Lösungsmenge ist leer. Es gibt keine Lösung.

Ungleichungen auf dem Zahlenstrahl

Die Lösungsmenge einer Ungleichung lässt sich auf dem Zahlenstrahl darstellen. So machst du es:

• Ausgefüllter Punkt bei $\leq$ oder $\geq$: Die Grenze gehört dazu.
• Leerer Kreis bei $<$ oder $>$: Die Grenze gehört nicht dazu.
• Pfeil nach links für alle Lösungen, die kleiner sind.
• Pfeil nach rechts für alle Lösungen, die grösser sind.

Für $x < 4$ zeichnest du einen leeren Kreis bei 4 und einen Pfeil nach links. Für $x \geq -2$ zeichnest du einen ausgefüllten Punkt bei $-2$ und einen Pfeil nach rechts.

Textaufgaben mit Ungleichungen

Im Alltag begegnen dir Ungleichungen oft in Worten. Typische Formulierungen und ihre Übersetzung:

Alltagssprache	Mathematische Übersetzung
höchstens	$\leq$
mindestens	$\geq$
weniger als	$<$
mehr als	$>$
nicht mehr als	$\leq$
nicht weniger als	$\geq$

Beispiel: “Tim spart jeden Monat 80 CHF. Er möchte mindestens 500 CHF haben. Er hat bereits 180 CHF. Wie viele Monate muss er noch sparen?”

Ansatz: $180 + 80 \cdot m \geq 500$, wobei $m$ die Anzahl Monate ist.

$$80m \geq 320$$ $$m \geq 4$$

Tim muss mindestens 4 Monate sparen.

Das Wichtigste in Kürze

• Ungleichungen haben meist unendlich viele Lösungen, die du als Lösungsmenge angibst.
• Du löst Ungleichungen wie Gleichungen durch Umformen, aber: Bei Multiplikation oder Division durch eine negative Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
• Die Lösungsmenge schreibst du in Mengenschreibweise: $\mathbb{L} = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x < 5 \right\}$.
• Manchmal ist die Lösungsmenge leer ($\emptyset$) oder alle Zahlen der Grundmenge.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Wie lautet die Lösung der Ungleichung $-5x < 25$?

Lösung anzeigen

Du teilst durch $-5$. Das Zeichen dreht sich um:

$$x > -5$$

Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x > -5 \right\}$.

❓ Frage: Löse: $4x - 9 \geq 2x + 3$

Lösung anzeigen

Subtrahiere $2x$ auf beiden Seiten: $2x - 9 \geq 3$

Addiere 9: $2x \geq 12$

Teile durch 2: $x \geq 6$

Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq 6 \right\}$.

❓ Frage: Was passiert bei der Ungleichung $3x + 2 > 3x + 7$ nach dem Umformen?

Lösung anzeigen

Subtrahiere $3x$ auf beiden Seiten: $2 > 7$

Das ist eine falsche Aussage. Es gibt keine Lösung.

Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \emptyset$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt gelernt, einfache Ungleichungen mit einer Variablen zu lösen. Der nächste Schritt sind Doppelungleichungen wie $-3 < 2x + 1 \leq 7$. Dabei suchst du nach allen Zahlen, die gleichzeitig zwei Bedingungen erfüllen. Später wirst du auch Ungleichungen mit Beträgen und quadratische Ungleichungen kennenlernen. All diese Themen bauen auf dem auf, was du heute gelernt hast: dem sicheren Umgang mit Ungleichheitszeichen und der Vorzeichenregel.