Äquivalenzumformungen einfach erklärt: So löst du jede Gleichung Schritt für Schritt

Stell dir eine altmodische Balkenwaage vor. Auf beiden Seiten liegen Gewichte. Die Waage ist im Gleichgewicht. Was passiert, wenn du links ein Gewicht hinzufügst? Die Waage kippt. Aber wenn du rechts das gleiche Gewicht hinzufügst, bleibt sie im Gleichgewicht. Dieses einfache Prinzip ist der Schlüssel zum Lösen von Gleichungen in der Mathematik. Du wirst lernen, wie du systematisch auf beiden Seiten einer Gleichung die gleichen Operationen durchführst. Am Ende kannst du jede Gleichung knacken und den Wert der Unbekannten finden.

Von der Waage zur Gleichung

Die Balkenwaage hilft dir, Gleichungen zu verstehen. Das Gleichheitszeichen $=$ ist der Drehpunkt der Waage. Alles links vom Gleichheitszeichen liegt auf der linken Waagschale. Alles rechts davon liegt auf der rechten Waagschale.

Betrachte diese Gleichung:

$x + 3 = 7$

Links liegt eine unbekannte Masse $x$ zusammen mit einem Gewicht von $3$. Rechts liegt ein Gewicht von $7$. Die Waage ist im Gleichgewicht. Deine Aufgabe: Finde heraus, wie schwer $x$ ist.

Du willst $x$ alleine auf einer Seite haben. Dazu musst du die $3$ von der linken Seite entfernen. Aber Achtung: Wenn du links etwas wegnimmst, kippt die Waage. Du musst also rechts das Gleiche wegnehmen.

Äquivalenzumformungen verstehen

Eine Äquivalenzumformung ist eine Rechenoperation, die du auf beide Seiten einer Gleichung anwendest. Das Wort “äquivalent” bedeutet “gleichwertig”. Die neue Gleichung hat dieselbe Lösung wie die ursprüngliche.

Erlaubte Äquivalenzumformungen sind:

1. Addition: Auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren.
2. Subtraktion: Auf beiden Seiten die gleiche Zahl subtrahieren.
3. Multiplikation: Beide Seiten mit der gleichen Zahl multiplizieren (nicht mit $0$).
4. Division: Beide Seiten durch die gleiche Zahl dividieren (nicht durch $0$).

DEFINITION

Eine Äquivalenzumformung verändert eine Gleichung so, dass die Lösungsmenge gleich bleibt. Du darfst auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren. Schreibe die durchgeführte Operation immer rechts neben die Gleichung mit einem senkrechten Strich: $| \, \text{Operation}$.

Die Schreibweise mit dem Strich

Mathematiker notieren Äquivalenzumformungen übersichtlich. Hinter jede Zeile schreibst du, was du getan hast. Das sieht so aus:

$x + 3 = 7 \quad | \, -3$

$x = 4$

Der Strich $|$ zeigt an: “Auf beiden Seiten wurde $-3$ gerechnet.” Diese Schreibweise hilft dir, Fehler zu vermeiden. Sie zeigt anderen, wie du gerechnet hast.

Die Strategie: Variable isolieren

Dein Ziel ist immer dasselbe: Bringe die Variable (meist $x$) alleine auf eine Seite. Alle Zahlen bringst du auf die andere Seite. Gehe dabei systematisch vor:

1. Analysiere die Gleichung: Was steht bei der Variable? Welche Operationen siehst du?
2. Wende Gegenoperationen an: Addition hebt Subtraktion auf. Multiplikation hebt Division auf.
3. Arbeite in der richtigen Reihenfolge: Löse zuerst Plus und Minus auf. Danach Mal und Geteilt.
4. Schreibe jeden Schritt auf: Notiere die Umformung rechts neben der Gleichung.
5. Mache die Probe: Setze dein Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung ein.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Nur eine Seite umformen Viele Schüler vergessen, die Operation auf beiden Seiten durchzuführen. Wenn du links $-3$ rechnest, musst du auch rechts $-3$ rechnen. Sonst stimmt die Gleichung nicht mehr.

Fehler 2: Falsche Gegenoperation wählen Bei $x - 5 = 10$ musst du $+5$ rechnen, nicht $-5$. Überlege: Was macht die $-5$ rückgängig? Das ist $+5$.

Fehler 3: Vorzeichen vergessen Bei $-x = 8$ ist die Lösung nicht $x = 8$. Du musst beide Seiten mit $-1$ multiplizieren oder durch $-1$ dividieren. Die Lösung ist $x = -8$.

Fehler 4: Keine Probe machen Die Probe zeigt dir sofort, ob dein Ergebnis stimmt. Setze deine Lösung immer in die Ausgangsgleichung ein und rechne nach.

Beispiele

Beispiel 1: Einfache Addition aufheben

Löse die Gleichung $x + 12 = 20$.

Analyse: Bei $x$ wird $12$ addiert. Die Gegenoperation ist Subtraktion.

Rechnung: $x + 12 = 20 \quad | \, -12$

$x = 8$

Probe: Setze $x = 8$ in die Ausgangsgleichung ein: $8 + 12 = 20 \checkmark$

Die Lösung ist $x = 8$.

Beispiel 2: Multiplikation aufheben

Löse die Gleichung $4 \cdot x = 28$.

Analyse: $x$ wird mit $4$ multipliziert. Die Gegenoperation ist Division.

Rechnung: $4 \cdot x = 28 \quad | \, :4$

$x = 7$

Probe: Setze $x = 7$ in die Ausgangsgleichung ein: $4 \cdot 7 = 28 \checkmark$

Die Lösung ist $x = 7$.

Beispiel 3: Zwei Umformungen nacheinander

Löse die Gleichung $3 \cdot x + 5 = 26$.

Analyse: $x$ wird zuerst mit $3$ multipliziert. Dann wird $5$ addiert. Wir machen das rückwärts: Zuerst die Addition aufheben, dann die Multiplikation.

Rechnung: $3 \cdot x + 5 = 26 \quad | \, -5$

$3 \cdot x = 21 \quad | \, :3$

$x = 7$

Probe: Setze $x = 7$ in die Ausgangsgleichung ein: $3 \cdot 7 + 5 = 21 + 5 = 26 \checkmark$

Die Lösung ist $x = 7$.

Beispiel 4: Variable auf beiden Seiten

Löse die Gleichung $5 \cdot x - 3 = 2 \cdot x + 9$.

Analyse: Die Variable $x$ steht auf beiden Seiten. Bringe zuerst alle $x$-Terme auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere.

Rechnung: $5 \cdot x - 3 = 2 \cdot x + 9 \quad | \, -2 \cdot x$

$3 \cdot x - 3 = 9 \quad | \, +3$

$3 \cdot x = 12 \quad | \, :3$

$x = 4$

Probe: Setze $x = 4$ in die Ausgangsgleichung ein:

Linke Seite: $5 \cdot 4 - 3 = 20 - 3 = 17$

Rechte Seite: $2 \cdot 4 + 9 = 8 + 9 = 17$

Beide Seiten sind gleich. $\checkmark$

Die Lösung ist $x = 4$.

Beispiel 5: Klammern und negative Zahlen

Löse die Gleichung $2 \cdot \left( x - 4 \right) = -6$.

Analyse: Die Klammer enthält den Term $x - 4$. Dieser wird mit $2$ multipliziert. Du kannst zuerst die Klammer auflösen oder zuerst durch $2$ dividieren. Wir zeigen den zweiten Weg.

Rechnung: $2 \cdot \left( x - 4 \right) = -6 \quad | \, :2$

$x - 4 = -3 \quad | \, +4$

$x = 1$

Probe: Setze $x = 1$ in die Ausgangsgleichung ein: $2 \cdot \left( 1 - 4 \right) = 2 \cdot \left( -3 \right) = -6 \checkmark$

Die Lösung ist $x = 1$.

Beispiel 6: Division aufheben

Löse die Gleichung $\frac{x}{5} + 2 = 10$.

Analyse: $x$ wird durch $5$ geteilt. Dann wird $2$ addiert. Gehe rückwärts vor.

Rechnung: $\frac{x}{5} + 2 = 10 \quad | \, -2$

$\frac{x}{5} = 8 \quad | \, \cdot 5$

$x = 40$

Probe: Setze $x = 40$ in die Ausgangsgleichung ein: $\frac{40}{5} + 2 = 8 + 2 = 10 \checkmark$

Die Lösung ist $x = 40$.

Textaufgaben mit Gleichungen lösen

Äquivalenzumformungen helfen dir auch bei Textaufgaben. Du übersetzt den Text in eine Gleichung und löst sie dann.

Beispiel 7: Textaufgabe aus dem Alltag

Ein Handyvertrag kostet eine monatliche Grundgebühr von 15 CHF plus 0.20 CHF pro SMS. Lena bezahlt diesen Monat 23 CHF. Wie viele SMS hat sie verschickt?

Schritt 1: Variable festlegen Sei $x$ die Anzahl der verschickten SMS.

Schritt 2: Gleichung aufstellen $15 + 0.20 \cdot x = 23$

Schritt 3: Gleichung lösen $15 + 0.20 \cdot x = 23 \quad | \, -15$

$0.20 \cdot x = 8 \quad | \, :0.20$

$x = 40$

Schritt 4: Antwort formulieren Lena hat 40 SMS verschickt.

Probe: $15 + 0.20 \cdot 40 = 15 + 8 = 23 \checkmark$

Zusammengesetzte Gleichungen: Ein Fahrplan

Bei komplexeren Gleichungen hilft dir dieser Fahrplan:

1. Klammern auflösen (falls nötig)
2. Brüche beseitigen (falls nötig): Multipliziere mit dem Hauptnenner
3. Terme zusammenfassen auf jeder Seite
4. Variable auf eine Seite bringen: Subtrahiere oder addiere $x$-Terme
5. Zahlen auf die andere Seite bringen
6. Durch den Koeffizienten von $x$ teilen
7. Probe machen

Beispiel 8: Komplexere Gleichung

Löse die Gleichung $7 \cdot x - 4 \cdot \left( 2 \cdot x - 1 \right) = 10$.

Schritt 1: Klammer auflösen Achte auf das Minuszeichen vor der Klammer! $7 \cdot x - 8 \cdot x + 4 = 10$

Schritt 2: Terme zusammenfassen $-x + 4 = 10$

Schritt 3: Gleichung lösen $-x + 4 = 10 \quad | \, -4$

$-x = 6 \quad | \, \cdot \left( -1 \right)$

$x = -6$

Probe: Setze $x = -6$ ein: $7 \cdot \left( -6 \right) - 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( -6 \right) - 1 \right)$ $= -42 - 4 \cdot \left( -12 - 1 \right)$ $= -42 - 4 \cdot \left( -13 \right)$ $= -42 + 52$ $= 10 \checkmark$

Die Lösung ist $x = -6$.

Spezialfälle: Keine oder unendlich viele Lösungen

Nicht jede Gleichung hat genau eine Lösung. Manchmal passiert etwas Überraschendes.

Fall 1: Keine Lösung

Betrachte $x + 3 = x + 5$.

$x + 3 = x + 5 \quad | \, -x$

$3 = 5$

Diese Aussage ist falsch. Die Gleichung hat keine Lösung.

Fall 2: Unendlich viele Lösungen

Betrachte $2 \cdot \left( x + 1 \right) = 2 \cdot x + 2$.

$2 \cdot x + 2 = 2 \cdot x + 2 \quad | \, -2 \cdot x$

$2 = 2$

Diese Aussage ist immer wahr. Jede Zahl ist eine Lösung.

Das Wichtigste in Kürze

• Eine Äquivalenzumformung ist eine Rechenoperation, die du auf beide Seiten einer Gleichung anwendest.
• Erlaubte Operationen sind: Addition, Subtraktion, Multiplikation (nicht mit $0$) und Division (nicht durch $0$).
• Dein Ziel ist es, die Variable zu isolieren: $x = \text{Zahl}$.
• Schreibe jede Umformung mit einem senkrechten Strich neben die Gleichung.
• Mache immer eine Probe, um dein Ergebnis zu überprüfen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Welche Äquivalenzumformung musst du anwenden, um bei der Gleichung $x - 7 = 15$ die Variable $x$ zu isolieren?

Lösung anzeigen

Du musst auf beiden Seiten $+7$ rechnen. Dann erhältst du $x = 22$.

❓ Frage: Löse die Gleichung $5 \cdot x + 3 = 28$.

Lösung anzeigen

$5 \cdot x + 3 = 28 \quad | \, -3$

$5 \cdot x = 25 \quad | \, :5$

$x = 5$

❓ Frage: Ein Rechteck hat einen Umfang von 36 cm. Die Länge ist doppelt so gross wie die Breite. Stelle eine Gleichung auf und berechne die Breite.

Lösung anzeigen

Sei $b$ die Breite. Dann ist die Länge $2 \cdot b$.

Umfang: $2 \cdot b + 2 \cdot \left( 2 \cdot b \right) = 36$

$2 \cdot b + 4 \cdot b = 36$

$6 \cdot b = 36 \quad | \, :6$

$b = 6$

Die Breite beträgt 6 cm.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du beherrschst jetzt Äquivalenzumformungen für einfache Gleichungen. Im nächsten Schritt lernst du, Gleichungen mit Brüchen zu lösen. Dort multiplizierst du beide Seiten mit dem Hauptnenner, um die Brüche loszuwerden. Danach folgen quadratische Gleichungen, bei denen $x^2$ vorkommt. Diese löst du mit der Mitternachtsformel oder durch Faktorisieren. Das Prinzip der Äquivalenzumformung bleibt dabei immer gleich: Was du auf einer Seite tust, tust du auch auf der anderen.