Exponenten einfach erklärt: So rechnest du mit Potenzen wie ein Profi

Stell dir vor, du faltest ein Blatt Papier in der Mitte. Nach dem ersten Falten hast du 2 Schichten. Nach dem zweiten Falten sind es schon 4 Schichten. Nach dem dritten 8, dann 16, dann 32. Wenn du das Blatt nur 42 Mal falten könntest, würde der Papierstapel bis zum Mond reichen! Diese explosive Verdopplung nennt man exponentielles Wachstum. In der Mathematik haben wir ein elegantes Werkzeug, um solche wiederholten Multiplikationen kompakt aufzuschreiben: die Potenz mit ihrem Exponenten. Genau das lernst du jetzt.

Von der Multiplikation zur Potenz

Erinnern wir uns an das Papierbeispiel. Nach 6 Faltungen hast du $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$ Schichten. Das Aufschreiben von sechs Zweien ist umständlich. Die Mathematik bietet eine Abkürzung: Wir schreiben $2^6$ und lesen “zwei hoch sechs”.

Die kleine hochgestellte Zahl ist der Exponent. Er verrät dir, wie oft die Grundzahl mit sich selbst multipliziert wird.

Schreibweise	Bedeutung	Ergebnis
$2^1$	$2$	$2$
$2^2$	$2 \cdot 2$	$4$
$2^3$	$2 \cdot 2 \cdot 2$	$8$
$2^4$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$	$16$
$2^5$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$	$32$

Du siehst: Der Exponent gibt die Anzahl der Faktoren an. Bei $2^5$ steht die $2$ genau fünfmal als Faktor da.

Die Grundbegriffe: Basis, Exponent und Potenz

DEFINITION

Eine Potenz ist eine verkürzte Schreibweise für die wiederholte Multiplikation derselben Zahl.

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ Faktoren}}$$

Dabei gilt:

• $a$ heisst Basis (die Zahl, die multipliziert wird)
• $n$ heisst Exponent (gibt an, wie oft multipliziert wird)
• $a^n$ heisst Potenzwert (das Ergebnis)

Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an: Bei $5^3$ ist die Basis $5$ und der Exponent $3$. Das bedeutet $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$. Der Potenzwert ist also $125$.

Wichtig: Du liest Potenzen von unten nach oben. Zuerst nennst du die Basis, dann “hoch”, dann den Exponenten. Also ”$5$ hoch $3$” oder auch “die dritte Potenz von $5$”.

Besondere Exponenten: Was passiert bei 0 und 1?

Zwei Sonderfälle musst du dir merken:

Exponent 1: Jede Zahl hoch $1$ ergibt die Zahl selbst.

$$a^1 = a$$

Das ist logisch: Ein Faktor bedeutet, dass die Zahl nur einmal dasteht.

Exponent 0: Jede Zahl (ausser $0$) hoch $0$ ergibt $1$.

$$a^0 = 1 \quad \text{(für } a \neq 0 \text{)}$$

Das erscheint zunächst seltsam. Warum ist $5^0 = 1$? Betrachte die Reihe: $5^3 = 125$, $5^2 = 25$, $5^1 = 5$. Bei jedem Schritt teilst du durch $5$. Der nächste Schritt wäre $5^0 = 5 : 5 = 1$. Diese Regel sorgt dafür, dass alle Potenzgesetze widerspruchsfrei funktionieren.

Negative Basen: Hier wird es knifflig

Wenn die Basis negativ ist, entscheidet der Exponent über das Vorzeichen des Ergebnisses.

Gerader Exponent: Das Ergebnis ist positiv.

$$(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$$ $$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$$

Ungerader Exponent: Das Ergebnis ist negativ.

$$(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$$ $$(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32$$

Warum? Bei geraden Exponenten hast du eine gerade Anzahl negativer Faktoren. Minus mal Minus ergibt Plus. Bei ungeraden Exponenten bleibt am Ende ein Minuszeichen übrig.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Klammern vergessen bei negativen Basen

$-3^2$ und $(-3)^2$ sind NICHT dasselbe!

• $-3^2 = -(3^2) = -9$ (nur die $3$ wird quadriert, das Minus bleibt davor)
• $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$ (die ganze negative Zahl wird quadriert)

Fehler 2: Exponenten mit Faktoren verwechseln

$2^3 \neq 2 \cdot 3$. Der Exponent ist keine Multiplikation!

• $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
• $2 \cdot 3 = 6$

Fehler 3: Potenzen addieren statt multiplizieren

$2^3$ bedeutet NICHT $2 + 2 + 2$. Es bedeutet $2 \cdot 2 \cdot 2$.

• $2^3 = 8$ (richtig: Multiplikation)
• $2 + 2 + 2 = 6$ (falsch interpretiert)

Die Potenzgesetze: Dein Werkzeugkasten

Beim Rechnen mit Potenzen gibt es Regeln, die dir das Leben erleichtern. Diese Potenzgesetze gelten für alle Potenzen mit gleicher Basis.

Potenzen multiplizieren (gleiche Basis)

Wenn du Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst, addierst du die Exponenten.

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Warum? Schau dir $2^3 \cdot 2^4$ an:

$$2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^7$$

Du hast insgesamt $3 + 4 = 7$ Zweien.

Potenzen dividieren (gleiche Basis)

Wenn du Potenzen mit gleicher Basis dividierst, subtrahierst du die Exponenten.

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

Beispiel: $\frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4$

Potenzen potenzieren

Wenn du eine Potenz nochmals potenzierst, multiplizierst du die Exponenten.

$$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$$

Beispiel: $\left(3^2\right)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$

Produkte und Quotienten potenzieren

Ein Produkt potenzieren: Jeder Faktor wird potenziert.

$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$

Einen Quotienten potenzieren: Zähler und Nenner werden potenziert.

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

Beispiele

Beispiel 1: Potenzwert berechnen

Berechne $4^3$.

Lösung:

Der Exponent $3$ sagt dir: Multipliziere die Basis $4$ dreimal mit sich selbst.

$$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4$$

Schritt für Schritt:

$$4 \cdot 4 = 16$$$$16 \cdot 4 = 64$$

Ergebnis: $4^3 = 64$

Beispiel 2: Negative Basis mit geradem Exponenten

Berechne $(-5)^4$.

Lösung:

Die Basis ist $-5$, der Exponent ist $4$ (gerade Zahl).

$$(-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5)$$

Schritt für Schritt:

$$(-5) \cdot (-5) = 25$$$$25 \cdot (-5) = -125$$$$(-125) \cdot (-5) = 625$$

Da der Exponent gerade ist, ist das Ergebnis positiv.

Ergebnis: $(-5)^4 = 625$

Beispiel 3: Potenzgesetz anwenden – Multiplikation

Vereinfache $x^5 \cdot x^3$.

Lösung:

Beide Potenzen haben die gleiche Basis $x$. Wende das Potenzgesetz für die Multiplikation an: Exponenten addieren.

$$x^5 \cdot x^3 = x^{5+3} = x^8$$

Ergebnis: $x^5 \cdot x^3 = x^8$

Beispiel 4: Potenzgesetz anwenden – Division

Vereinfache $\frac{a^9}{a^4}$.

Lösung:

Gleiche Basis $a$. Wende das Potenzgesetz für die Division an: Exponenten subtrahieren.

$$\frac{a^9}{a^4} = a^{9-4} = a^5$$

Ergebnis: $\frac{a^9}{a^4} = a^5$

Beispiel 5: Potenz einer Potenz

Vereinfache $\left(b^3\right)^5$.

Lösung:

Eine Potenz wird potenziert. Wende das Potenzgesetz an: Exponenten multiplizieren.

$$\left(b^3\right)^5 = b^{3 \cdot 5} = b^{15}$$

Ergebnis: $\left(b^3\right)^5 = b^{15}$

Beispiel 6: Komplexerer Term vereinfachen

Vereinfache $\frac{2^4 \cdot 2^3}{2^5}$.

Lösung:

Schritt 1: Zähler vereinfachen (gleiche Basis, Exponenten addieren).

$$2^4 \cdot 2^3 = 2^{4+3} = 2^7$$

Schritt 2: Durch den Nenner dividieren (Exponenten subtrahieren).

$$\frac{2^7}{2^5} = 2^{7-5} = 2^2 = 4$$

Ergebnis: $\frac{2^4 \cdot 2^3}{2^5} = 4$

Beispiel 7: Textaufgabe – Bakterienwachstum

Eine Bakterienkultur verdoppelt sich jede Stunde. Zu Beginn sind $500$ Bakterien vorhanden. Wie viele Bakterien sind nach $6$ Stunden vorhanden?

Lösung:

Nach jeder Stunde wird die Anzahl mit $2$ multipliziert. Nach $6$ Stunden wurde $6$-mal verdoppelt.

$$\text{Anzahl} = 500 \cdot 2^6$$

Berechne $2^6$:

$$2^6 = 64$$

Setze ein:

$$500 \cdot 64 = 32000$$

Ergebnis: Nach $6$ Stunden sind $32000$ Bakterien vorhanden.

Das Wichtigste in Kürze

• Eine Potenz $a^n$ ist die verkürzte Schreibweise für die wiederholte Multiplikation: $a$ wird $n$-mal mit sich selbst multipliziert.
• Die Basis ist die Zahl unten, der Exponent die kleine Zahl oben.
• Jede Zahl hoch $0$ ergibt $1$ (ausser $0^0$). Jede Zahl hoch $1$ ergibt die Zahl selbst.
• Bei negativen Basen bestimmt der Exponent das Vorzeichen: gerade Exponenten ergeben positive, ungerade Exponenten negative Ergebnisse.
• Potenzgesetze: Gleiche Basis bei Multiplikation → Exponenten addieren. Gleiche Basis bei Division → Exponenten subtrahieren. Potenz einer Potenz → Exponenten multiplizieren.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Was ist der Wert von $3^4$?

Lösung anzeigen

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

Der Exponent $4$ gibt an, dass die Basis $3$ viermal mit sich selbst multipliziert wird.

❓ Frage: Vereinfache den Term $y^7 \cdot y^2$ zu einer einzigen Potenz.

Lösung anzeigen

$y^7 \cdot y^2 = y^{7+2} = y^9$

Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert.

❓ Frage: Berechne $(-2)^5$. Ist das Ergebnis positiv oder negativ? Warum?

Lösung anzeigen

$(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32$

Das Ergebnis ist negativ, weil der Exponent $5$ ungerade ist. Bei ungerader Anzahl negativer Faktoren bleibt das Ergebnis negativ.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Fundament für das Rechnen mit Exponenten gelegt. Als Nächstes wirst du negative Exponenten kennenlernen. Was bedeutet $2^{-3}$? Spoiler: Es hat mit Brüchen zu tun. Danach folgen Wurzeln, die eng mit Potenzen zusammenhängen. Eine Wurzel ist nämlich nichts anderes als eine Potenz mit einem Bruch als Exponenten. Mit diesem Wissen wirst du später auch Exponentialfunktionen verstehen können, die in der Wissenschaft eine enorm wichtige Rolle spielen – vom Zinseszins bis zur Ausbreitung von Viren.