Ausklammern einfach erklärt: So vereinfachst du Terme wie ein Profi

Stell dir vor, du räumst dein Zimmer auf und findest überall verstreut Kopfhörer, Ladekabel und USB-Sticks. Statt alles einzeln wegzuräumen, packst du alle Technik-Sachen in eine Kiste mit der Aufschrift “Elektronik”. Du hast etwas Gemeinsames erkannt und zusammengefasst. Genau das macht das Ausklammern in der Mathematik: Du findest in einem Term das Gemeinsame und packst es “vor die Klammer”. Das Ergebnis ist übersichtlicher, kürzer und oft viel einfacher zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie du gemeinsame Faktoren erkennst und Terme elegant vereinfachst.

Vom Aufräumen zur Mathematik

Erinnere dich an die Technik-Kiste: Du hast Kopfhörer, Kabel und USB-Sticks zusammengefasst, weil alle zur Kategorie “Elektronik” gehören. In der Mathematik funktioniert das ähnlich.

Betrachte diesen Term:

$3x + 6$

Auf den ersten Blick scheinen $3x$ und $6$ nicht viel gemeinsam zu haben. Doch schau genauer hin: Die Zahl $3$ steckt in beiden Summanden. Denn $6 = 3 \cdot 2$.

Du kannst also schreiben:

$3x + 6 = 3 \cdot x + 3 \cdot 2$

Die $3$ ist das Gemeinsame – wie die Kiste “Elektronik”. Diese $3$ kannst du nun vor eine Klammer ziehen. Was übrig bleibt, kommt in die Klammer:

$3x + 6 = 3 \cdot (x + 2)$

Das ist Ausklammern. Du hast den gemeinsamen Faktor $3$ erkannt und den Term übersichtlicher geschrieben.

Das Werkzeug: Ausklammern Schritt für Schritt

Das Ausklammern folgt einem klaren Ablauf. Wenn du dieses “Kochrezept” befolgst, klappt es jedes Mal.

1. Gemeinsamen Faktor finden: Untersuche alle Summanden des Terms. Welche Zahl, welche Variable oder welche Kombination steckt in jedem Summanden?

2. Faktor vor die Klammer schreiben: Schreibe diesen gemeinsamen Faktor vor eine Klammer.

3. Restterme in die Klammer: Teile jeden ursprünglichen Summanden durch den gemeinsamen Faktor. Die Ergebnisse kommen in die Klammer.

4. Kontrolle durch Ausmultiplizieren: Multipliziere zur Probe aus. Du musst wieder den ursprünglichen Term erhalten.

DEFINITION

Beim Ausklammern wird ein gemeinsamer Faktor aus allen Summanden eines Terms herausgezogen und vor eine Klammer geschrieben. In der Klammer stehen die verbleibenden Faktoren. Es gilt:

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

Dabei ist $a$ der gemeinsame Faktor, $b$ und $c$ sind die Reste nach dem Teilen.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Nicht den grössten gemeinsamen Faktor nehmen

Bei $6x + 9$ klammern viele nur $3$ aus und erhalten $3 \cdot (2x + 3)$. Das ist korrekt, aber nicht vollständig vereinfacht, falls noch weitere gemeinsame Faktoren existieren. Prüfe immer: Gibt es einen grösseren Faktor? Hier ist $3$ tatsächlich der grösste gemeinsame Teiler (ggT), also passt es.

Fehler 2: Einen Summanden vergessen

Bei $4x + 8y + 12$ klammern manche nur aus den ersten beiden Summanden aus. Der gemeinsame Faktor muss aber in allen Summanden stecken. Hier: $4 \cdot (x + 2y + 3)$.

Fehler 3: Vorzeichen falsch behandeln

Bei $6x - 12$ schreiben einige $6 \cdot (x - 2)$ falsch als $6 \cdot (x + 2)$. Achte genau auf das Minus! Das Vorzeichen gehört zum jeweiligen Summanden.

Fehler 4: Keine Kontrolle durch Ausmultiplizieren

Die schnellste Fehlerquelle ist fehlende Kontrolle. Multipliziere dein Ergebnis immer aus. Erhältst du den Ausgangsterm, ist alles richtig.

Beispiele

Beispiel 1: Einfaches Ausklammern einer Zahl

Klammere aus: $5a + 15$

Schritt 1: Gemeinsamen Faktor finden

Betrachte beide Summanden:

• $5a$ enthält den Faktor $5$
• $15$ enthält den Faktor $5$ (denn $15 = 5 \cdot 3$)

Der gemeinsame Faktor ist $5$.

Schritt 2: Faktor vor die Klammer schreiben

$5 \cdot (\ldots)$

Schritt 3: Restterme bestimmen

• $5a \div 5 = a$
• $15 \div 5 = 3$

Schritt 4: Ergebnis aufschreiben

$5a + 15 = 5 \cdot (a + 3)$

Kontrolle:

$5 \cdot (a + 3) = 5 \cdot a + 5 \cdot 3 = 5a + 15 \checkmark$

Beispiel 2: Ausklammern einer Variablen

Klammere aus: $x^2 + 4x$

Schritt 1: Gemeinsamen Faktor finden

Betrachte beide Summanden:

• $x^2 = x \cdot x$
• $4x = 4 \cdot x$

Beide enthalten mindestens ein $x$. Der gemeinsame Faktor ist $x$.

Schritt 2: Faktor vor die Klammer schreiben

$x \cdot (\ldots)$

Schritt 3: Restterme bestimmen

• $x^2 \div x = x$
• $4x \div x = 4$

Schritt 4: Ergebnis aufschreiben

$x^2 + 4x = x \cdot (x + 4)$

Kontrolle:

$x \cdot (x + 4) = x \cdot x + x \cdot 4 = x^2 + 4x \checkmark$

Beispiel 3: Ausklammern von Zahl und Variable

Klammere aus: $12ab + 18a$

Schritt 1: Gemeinsamen Faktor finden

Analysiere die Koeffizienten:

• $12$ und $18$ haben den ggT $6$

Analysiere die Variablen:

• $12ab$ enthält $a$
• $18a$ enthält $a$

Beide Summanden enthalten $a$. Die Variable $b$ ist nur im ersten Summanden, also gehört sie nicht zum gemeinsamen Faktor.

Der gemeinsame Faktor ist $6a$.

Schritt 2: Faktor vor die Klammer schreiben

$6a \cdot (\ldots)$

Schritt 3: Restterme bestimmen

• $12ab \div 6a = 2b$
• $18a \div 6a = 3$

Schritt 4: Ergebnis aufschreiben

$12ab + 18a = 6a \cdot (2b + 3)$

Kontrolle:

$6a \cdot (2b + 3) = 6a \cdot 2b + 6a \cdot 3 = 12ab + 18a \checkmark$

Beispiel 4: Ausklammern mit drei Summanden und Minuszeichen

Klammere aus: $8x^2 - 12x + 4$

Schritt 1: Gemeinsamen Faktor finden

Analysiere die Koeffizienten:

• $8$, $12$ und $4$ haben den ggT $4$

Analysiere die Variablen:

• $8x^2$ enthält $x^2$
• $12x$ enthält $x$
• $4$ enthält kein $x$

Da der dritte Summand kein $x$ enthält, kann keine Variable ausgeklammert werden.

Der gemeinsame Faktor ist $4$.

Schritt 2: Faktor vor die Klammer schreiben

$4 \cdot (\ldots)$

Schritt 3: Restterme bestimmen

• $8x^2 \div 4 = 2x^2$
• $-12x \div 4 = -3x$ (Vorzeichen beachten!)
• $4 \div 4 = 1$

Schritt 4: Ergebnis aufschreiben

$8x^2 - 12x + 4 = 4 \cdot (2x^2 - 3x + 1)$

Kontrolle:

$4 \cdot (2x^2 - 3x + 1) = 8x^2 - 12x + 4 \checkmark$

Beispiel 5: Ausklammern mit negativem Faktor

Klammere aus: $-6x - 9$

Manchmal ist es sinnvoll, einen negativen Faktor auszuklammern. Das kann spätere Rechnungen vereinfachen.

Schritt 1: Gemeinsamen Faktor finden

Der ggT von $6$ und $9$ ist $3$. Da beide Summanden negativ sind, klammern wir $-3$ aus.

Schritt 2: Faktor vor die Klammer schreiben

$-3 \cdot (\ldots)$

Schritt 3: Restterme bestimmen

• $-6x \div (-3) = 2x$
• $-9 \div (-3) = 3$

Beachte: Minus geteilt durch Minus ergibt Plus.

Schritt 4: Ergebnis aufschreiben

$-6x - 9 = -3 \cdot (2x + 3)$

Kontrolle:

$-3 \cdot (2x + 3) = -3 \cdot 2x + (-3) \cdot 3 = -6x - 9 \checkmark$

Beispiel 6: Textaufgabe aus dem Alltag

Ein rechteckiges Grundstück hat die Fläche $A = 20l + 30$ Quadratmeter, wobei $l$ die Länge in Metern ist. Schreibe die Fläche als Produkt.

Lösung:

Wir suchen den gemeinsamen Faktor von $20l$ und $30$.

• ggT von $20$ und $30$ ist $10$
• Die Variable $l$ ist nur im ersten Summanden

Der gemeinsame Faktor ist $10$.

$A = 20l + 30 = 10 \cdot (2l + 3)$

Interpretation: Die Fläche lässt sich als Rechteck mit einer Seite von $10 \, \text{m}$ und der anderen Seite von $(2l + 3) \, \text{m}$ darstellen.

Das Wichtigste in Kürze

• Ausklammern bedeutet, einen gemeinsamen Faktor aus allen Summanden herauszuziehen und vor eine Klammer zu schreiben.

• Der gemeinsame Faktor kann eine Zahl, eine Variable oder beides sein. Finde immer den grössten gemeinsamen Faktor.

• Die Formel lautet: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

• Kontrolle ist Pflicht: Multipliziere dein Ergebnis aus. Du musst den Ausgangsterm erhalten.

• Achte besonders auf Vorzeichen: Das Minuszeichen gehört zum jeweiligen Summanden.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Klammere aus: $7x + 21$

Lösung anzeigen

Der gemeinsame Faktor von $7x$ und $21$ ist $7$.

$7x + 21 = 7 \cdot (x + 3)$

Kontrolle: $7 \cdot (x + 3) = 7x + 21 \checkmark$

❓ Frage: Klammere vollständig aus: $15a^2 + 10a$

Lösung anzeigen

Analysiere die Faktoren:

• ggT von $15$ und $10$ ist $5$
• Beide Summanden enthalten mindestens ein $a$

Der gemeinsame Faktor ist $5a$.

$15a^2 + 10a = 5a \cdot (3a + 2)$

Kontrolle: $5a \cdot (3a + 2) = 15a^2 + 10a \checkmark$

❓ Frage: Welcher Fehler wurde hier gemacht? $4x + 6y + 8 = 2 \cdot (2x + 3y)$

Lösung anzeigen

Fehler: Der dritte Summand $8$ wurde vergessen!

Der gemeinsame Faktor $2$ steckt in allen drei Summanden:

• $4x \div 2 = 2x$
• $6y \div 2 = 3y$
• $8 \div 2 = 4$

Richtige Lösung:

$4x + 6y + 8 = 2 \cdot (2x + 3y + 4)$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast nun gelernt, gemeinsame Faktoren aus Termen auszuklammern. Diese Fähigkeit ist die Grundlage für viele weiterführende Themen.

Als Nächstes wirst du die binomischen Formeln kennenlernen. Diese speziellen Produkte wie $(a + b)^2$ oder $(a - b)^2$ lassen sich mit deinem neuen Wissen rückwärts anwenden: Du wirst lernen, Terme wie $x^2 + 6x + 9$ als $(x + 3)^2$ zu schreiben. Das nennt man Faktorisieren mit binomischen Formeln.

Ausserdem wird das Ausklammern beim Lösen von quadratischen Gleichungen unverzichtbar. Wenn du eine Gleichung wie $x^2 + 5x = 0$ lösen sollst, klammerst du $x$ aus und erhältst $x \cdot (x + 5) = 0$. Mit dem Satz vom Nullprodukt findest du dann die Lösungen.

Je sicherer du jetzt im Ausklammern wirst, desto leichter fallen dir diese kommenden Themen. Übe also fleissig weiter!