Reelle Zahlen einfach erklärt: Wurzeln und irrationale Zahlen verstehen

Stell dir vor, du baust ein quadratisches Beet im Garten. Die Fläche soll genau 2 Quadratmeter betragen. Du fragst dich: Wie lang muss jede Seite sein? Du greifst zum Taschenrechner und erhältst 1.41421356… – eine Zahl, die niemals endet und sich niemals wiederholt. Willkommen in der Welt der irrationalen Zahlen! Diese faszinierenden Zahlen haben die Mathematiker der Antike so sehr verwirrt, dass sie angeblich denjenigen ins Meer warfen, der sie entdeckte. Heute wirst du verstehen, warum diese Zahlen existieren, wie du mit Wurzeln rechnest und was all das mit den reellen Zahlen zu tun hat.

Von ganzen Zahlen zu einer neuen Zahlenwelt

Erinnere dich an die Zahlenmengen, die du bereits kennst. Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ reichen zum Zählen. Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ erlauben auch negative Werte. Die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ umfassen alle Brüche wie $\frac{3}{4}$ oder $-\frac{7}{2}$.

Aber reichen die rationalen Zahlen wirklich aus? Kehren wir zum Gartenbeet zurück. Du suchst eine Zahl $x$, für die gilt:

$$x^2 = 2$$

Diese Zahl nennen wir $\sqrt{2}$ – die Quadratwurzel aus 2. Und hier wird es spannend: Diese Zahl lässt sich nicht als Bruch schreiben. Sie ist irrational.

Was ist eine Quadratwurzel?

Die Quadratwurzel ist die Umkehrung des Quadrierens. Wenn du eine Zahl mit sich selbst multiplizierst, erhältst du ihr Quadrat. Die Wurzel macht das Ganze rückgängig.

Die Grundidee:

1. Du hast eine Zahl $a$ (den Radikanden).
2. Du suchst die Zahl, die mit sich selbst multipliziert genau $a$ ergibt.
3. Diese Zahl ist $\sqrt{a}$.

DEFINITION

Für eine nicht-negative Zahl $a \geq 0$ ist die Quadratwurzel $\sqrt{a}$ diejenige nicht-negative Zahl, deren Quadrat gleich $a$ ist:

$$\sqrt{a} = b \quad \Leftrightarrow \quad b^2 = a \quad \text{mit } b \geq 0$$

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen heisst Radikand. Das Ergebnis der Wurzel heisst Wurzelwert.

Einige Wurzeln lassen sich exakt berechnen. Du kennst bestimmt die Quadratzahlen: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...$

Daraus folgt:

• $\sqrt{4} = 2$, denn $2 \cdot 2 = 4$
• $\sqrt{9} = 3$, denn $3 \cdot 3 = 9$
• $\sqrt{100} = 10$, denn $10 \cdot 10 = 100$

Aber was ist mit $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ oder $\sqrt{5}$? Hier beginnt das Abenteuer.

Rationale und irrationale Zahlen

Eine rationale Zahl lässt sich immer als Bruch $\frac{p}{q}$ mit ganzen Zahlen $p$ und $q$ (wobei $q \neq 0$) darstellen. Beispiele sind $\frac{1}{2} = 0.5$ oder $\frac{1}{3} = 0.333...$

Bei rationalen Zahlen gilt: Die Dezimaldarstellung bricht entweder ab oder wiederholt sich periodisch.

Irrationale Zahlen sind anders. Ihre Dezimaldarstellung endet nie und wiederholt sich nie. Sie lassen sich nicht als Bruch schreiben.

DEFINITION

Eine irrationale Zahl ist eine Zahl, die sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht-periodisch.

Bekannte Beispiele:

• $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$
• $\sqrt{3} \approx 1.73205080...$
• $\pi \approx 3.14159265...$

Die reellen Zahlen: Das grosse Ganze

Jetzt können wir das Puzzle zusammensetzen. Die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ vereinen alle rationalen und alle irrationalen Zahlen. Sie füllen die gesamte Zahlengerade lückenlos aus.

$$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \text{(irrationale Zahlen)}$$

Die Hierarchie der Zahlenmengen sieht so aus:

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl. Und jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl. Aber nicht jede reelle Zahl ist rational – die irrationalen Zahlen bilden die “Lücken” in $\mathbb{Q}$.

Wurzeln berechnen: Dein Werkzeugkasten

Nicht jede Wurzel ergibt eine irrationale Zahl. Hier lernst du, wie du Wurzeln systematisch berechnest und vereinfachst.

Schritt 1: Prüfe, ob der Radikand eine Quadratzahl ist

Ist $\sqrt{36}$ zu berechnen? Da $6 \cdot 6 = 36$, gilt $\sqrt{36} = 6$. Fertig!

Schritt 2: Zerlege den Radikanden in Faktoren

Für $\sqrt{72}$ zerlegst du: $72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2$

Schritt 3: Wende die Wurzelgesetze an

$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$

Damit wird:

$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

Weitere wichtige Wurzelgesetze:

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad \text{für } b \neq 0$$ $$\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$$ $$\sqrt{a^2} = |a|$$

Das letzte Gesetz ist wichtig: $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|$. Die Wurzel liefert immer einen nicht-negativen Wert.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen

$\sqrt{-4}$ existiert nicht in den reellen Zahlen! Es gibt keine reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert $-4$ ergibt. Denn: positiv mal positiv ist positiv, und negativ mal negativ ist auch positiv.

Fehler 2: Die Wurzel falsch aufspalten

$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$

Gegenbeispiel: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, aber $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

Fehler 3: Das Vorzeichen vergessen

Die Gleichung $x^2 = 9$ hat zwei Lösungen: $x = 3$ und $x = -3$. Aber $\sqrt{9} = 3$ ist nur der positive Wert. Merke: $\sqrt{9} \neq \pm 3$.

Beispiele

Beispiel 1: Einfache Wurzeln berechnen

Aufgabe: Berechne $\sqrt{144}$ und $\sqrt{0.25}$.

Lösung für $\sqrt{144}$:

Welche Zahl ergibt quadriert 144? Probiere: $12 \cdot 12 = 144$.

$$\sqrt{144} = 12$$

Lösung für $\sqrt{0.25}$:

Schreibe als Bruch: $0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

$$\sqrt{0.25} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} = 0.5$$

Beispiel 2: Wurzeln teilweise vereinfachen

Aufgabe: Vereinfache $\sqrt{50}$ und $\sqrt{98}$.

Lösung für $\sqrt{50}$:

Zerlege 50 in Faktoren: $50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2$

$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$

Lösung für $\sqrt{98}$:

Zerlege 98: $98 = 49 \cdot 2 = 7^2 \cdot 2$

$$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$$

Tipp: Suche immer nach dem grössten Quadratzahl-Faktor im Radikanden.

Beispiel 3: Mit Wurzeln rechnen

Aufgabe: Berechne $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$ und vereinfache $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}$.

Lösung für $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$:

Nutze das Produktgesetz:

$$\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$$

Lösung für $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}$:

Nutze das Quotientengesetz:

$$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{72}{8}} = \sqrt{9} = 3$$

Beispiel 4: Anwendung – Die Diagonale eines Quadrats

Aufgabe: Ein quadratisches Schachbrett hat eine Seitenlänge von $40 \, \text{cm}$. Wie lang ist die Diagonale?

Lösung:

Die Diagonale $d$ eines Quadrats mit Seitenlänge $a$ lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

$$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$$$d = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{a^2} = a\sqrt{2}$$

Mit $a = 40 \, \text{cm}$:

$$d = 40\sqrt{2} \, \text{cm} \approx 40 \cdot 1.414 \, \text{cm} \approx 56.57 \, \text{cm}$$

Die Diagonale ist etwa $56.57 \, \text{cm}$ lang. Die exakte Antwort lautet $40\sqrt{2} \, \text{cm}$.

Beispiel 5: Rational oder irrational?

Aufgabe: Entscheide, ob die folgenden Zahlen rational oder irrational sind: a) $\sqrt{49}$ b) $\sqrt{7}$ c) $\sqrt{\frac{9}{16}}$

Lösung:

a) $\sqrt{49} = 7$. Das ist eine ganze Zahl, also rational.

b) $\sqrt{7} \approx 2.6457513...$. Die Zahl 7 ist keine Quadratzahl. Die Dezimaldarstellung endet nicht und wiederholt sich nicht. Also ist $\sqrt{7}$ irrational.

c) $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4} = 0.75$. Das ist ein Bruch, also rational.

Faustregel: $\sqrt{n}$ ist genau dann rational, wenn $n$ eine Quadratzahl ist.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Quadratwurzel $\sqrt{a}$ ist die nicht-negative Zahl, deren Quadrat $a$ ergibt.
• Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Bruch schreiben. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht-periodisch. Beispiele: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$.
• Die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ umfassen alle rationalen und irrationalen Zahlen. Sie füllen die Zahlengerade vollständig.
• Wurzelgesetze: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ und $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Aber Achtung: $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• Aus negativen Zahlen kann in $\mathbb{R}$ keine Wurzel gezogen werden.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Welche Aussage über $\sqrt{2}$ ist korrekt?

Lösung anzeigen

$\sqrt{2}$ ist eine irrationale Zahl. Sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Ihre Dezimaldarstellung ($1.41421356...$) endet nie und wiederholt sich nie.

❓ Frage: Vereinfache $\sqrt{200}$ so weit wie möglich.

Lösung anzeigen

Zerlege 200: $200 = 100 \cdot 2 = 10^2 \cdot 2$

$$\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$$

❓ Frage: Warum existiert $\sqrt{-9}$ nicht in den reellen Zahlen?

Lösung anzeigen

Es gibt keine reelle Zahl $x$, für die $x^2 = -9$ gilt. Denn das Quadrat jeder reellen Zahl ist immer nicht-negativ:

• Positiv mal positiv ergibt positiv.
• Negativ mal negativ ergibt auch positiv.
• $0 \cdot 0 = 0$.

Es ist unmöglich, durch Quadrieren einen negativen Wert zu erhalten.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt die reellen Zahlen kennengelernt und weisst, wie Wurzeln funktionieren. Als Nächstes wirst du mit Potenzen mit rationalen Exponenten arbeiten. Dort lernst du, dass $\sqrt{a}$ auch als $a^{\frac{1}{2}}$ geschrieben werden kann. Das eröffnet neue Möglichkeiten für komplexere Berechnungen. Ausserdem wirst du den Satz des Pythagoras intensiver nutzen, bei dem Wurzeln ständig vorkommen. Und wenn du irgendwann fragst, was $\sqrt{-1}$ sein könnte – dann betrittst du die Welt der komplexen Zahlen. Aber das ist eine Geschichte für später.