Rechenregeln für Quadratwurzeln: So rechnest du sicher mit Wurzeln

Stell dir vor, du backst einen Kuchen. Das Rezept verlangt 200 Gramm Mehl. Du hast aber nur eine Waage, die in 50-Gramm-Schritten misst. Also nimmst du vier Mal 50 Gramm – und landest bei 200 Gramm. Du hast die Menge zerlegt und wieder zusammengesetzt.

Genau so funktioniert das Rechnen mit Quadratwurzeln. Du kannst Wurzeln zerlegen, zusammenfassen und vereinfachen. Das Ergebnis bleibt das gleiche. Diese Rechenregeln helfen dir, komplizierte Wurzelausdrücke in handliche Häppchen zu zerlegen. Am Ende dieser Seite wirst du Wurzeln multiplizieren, dividieren und vereinfachen können.

Was du über Quadratwurzeln wissen solltest

Bevor wir mit den Rechenregeln starten, frischen wir kurz auf, was eine Quadratwurzel ist.

Die Quadratwurzel einer Zahl $a$ ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert $a$ ergibt. Wir schreiben sie als $\sqrt{a}$.

Ein Beispiel: $\sqrt{25} = 5$, weil $5 \cdot 5 = 25$.

Die Quadratwurzel ist also die Umkehrung des Quadrierens. Das ist wichtig, um die Rechenregeln zu verstehen.

Noch eine wichtige Einschränkung: Wir können nur die Quadratwurzel aus nicht-negativen Zahlen ziehen. $\sqrt{-4}$ existiert in den reellen Zahlen nicht. Denn es gibt keine reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert $-4$ ergibt.

Die Produktregel: Wurzeln multiplizieren

Zurück zu unserem Kuchenbeispiel. Du kannst 200 Gramm Mehl als $4 \cdot 50$ Gramm aufteilen. Ähnlich kannst du Wurzeln zerlegen.

Die Produktregel lautet:

$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$

Diese Regel gilt für alle nicht-negativen Zahlen $a$ und $b$.

DEFINITION

Die Quadratwurzel eines Produkts ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln der einzelnen Faktoren. Es gilt: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ für $a \geq 0$ und $b \geq 0$.

Warum funktioniert das?

Lass uns das nachprüfen. Wir wissen, dass $\sqrt{a \cdot b}$ die Zahl ist, die mit sich selbst multipliziert $a \cdot b$ ergibt.

Berechnen wir $\left( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \right)^2$:

$$\left( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \right)^2 = \sqrt{a}^2 \cdot \sqrt{b}^2 = a \cdot b$$

Das bedeutet: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ist tatsächlich die Quadratwurzel von $a \cdot b$.

So wendest du die Produktregel an

Die Produktregel funktioniert in beide Richtungen:

1. Von links nach rechts: Du zerlegst eine Wurzel in ein Produkt von Wurzeln.
2. Von rechts nach links: Du fasst ein Produkt von Wurzeln zu einer Wurzel zusammen.

Beispiel 1: Wurzel zerlegen

Berechne $\sqrt{36}$, indem du die Wurzel zerlegst.

Lösung:

Wir zerlegen 36 in zwei Faktoren, deren Wurzeln wir kennen:

$$\sqrt{36} = \sqrt{4 \cdot 9}$$

Jetzt wenden wir die Produktregel an:

$$\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$$

Das Ergebnis ist $\sqrt{36} = 6$.

Beispiel 2: Wurzeln multiplizieren

Berechne $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}$.

Lösung:

Wir wenden die Produktregel von rechts nach links an:

$$\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100} = 10$$

Das Ergebnis ist $10$.

Die Quotientenregel: Wurzeln dividieren

Was beim Multiplizieren funktioniert, klappt auch beim Dividieren.

Die Quotientenregel lautet:

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

Diese Regel gilt für alle nicht-negativen Zahlen $a$ und für alle positiven Zahlen $b$ (denn durch null dürfen wir nicht teilen).

DEFINITION

Die Quadratwurzel eines Bruchs ist gleich dem Bruch der Quadratwurzeln von Zähler und Nenner. Es gilt: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ für $a \geq 0$ und $b > 0$.

So wendest du die Quotientenregel an

Auch diese Regel funktioniert in beide Richtungen:

1. Von links nach rechts: Du zerlegst die Wurzel eines Bruchs.
2. Von rechts nach links: Du fasst einen Bruch mit Wurzeln zusammen.

Beispiel 3: Wurzel eines Bruchs berechnen

Berechne $\sqrt{\frac{49}{16}}$.

Lösung:

Wir wenden die Quotientenregel an:

$$\sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \frac{7}{4}$$

Das Ergebnis ist $\frac{7}{4}$ oder $1.75$.

Beispiel 4: Bruch mit Wurzeln vereinfachen

Berechne $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$.

Lösung:

Wir wenden die Quotientenregel von rechts nach links an:

$$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6$$

Das Ergebnis ist $6$.

Wurzeln vereinfachen: Teilweises Wurzelziehen

Manchmal steckt unter einer Wurzel eine Quadratzahl als Faktor. Dann kannst du die Wurzel vereinfachen. Diese Technik heisst teilweises Wurzelziehen oder partielles Radizieren.

Die Methode in drei Schritten

1. Zerlege die Zahl unter der Wurzel so, dass ein Faktor eine Quadratzahl ist.
2. Wende die Produktregel an.
3. Ziehe die Wurzel aus der Quadratzahl.

DEFINITION

Beim teilweisen Wurzelziehen zerlegst du den Radikanden (die Zahl unter der Wurzel) in ein Produkt. Ein Faktor soll eine Quadratzahl sein. Dann ziehst du die Wurzel aus diesem Faktor.

Welche Quadratzahlen solltest du kennen?

Die ersten Quadratzahlen sind: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$.

Präge dir diese Zahlen gut ein. Sie helfen dir beim Vereinfachen von Wurzeln.

Beispiel 5: Wurzel teilweise ziehen

Vereinfache $\sqrt{50}$.

Lösung:

Wir suchen eine Quadratzahl, die $50$ teilt. Da ist $25$ (denn $50 = 25 \cdot 2$).

$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$

Das vereinfachte Ergebnis ist $5\sqrt{2}$.

Beispiel 6: Grössere Zahl vereinfachen

Vereinfache $\sqrt{288}$.

Lösung:

Wir zerlegen $288$ schrittweise. Zuerst suchen wir den grössten Quadratzahl-Faktor.

$288 = 144 \cdot 2$ (denn $144 = 12^2$)

$$\sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{2} = 12\sqrt{2}$$

Das Ergebnis ist $12\sqrt{2}$.

Wurzeln addieren und subtrahieren

Jetzt wird es knifflig. Wurzeln kannst du nur addieren oder subtrahieren, wenn sie gleichartig sind. Gleichartig bedeutet: Der Ausdruck unter der Wurzel ist identisch.

Du kannst $3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}$ berechnen, weil beide Wurzeln $\sqrt{5}$ enthalten.

Du kannst aber $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ nicht weiter vereinfachen. Die Wurzeln sind nicht gleichartig.

Das Prinzip: Wurzeln wie Variablen behandeln

Stell dir $\sqrt{5}$ wie eine Variable $x$ vor. Dann ist:

$$3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 3x + 2x = 5x = 5\sqrt{5}$$

DEFINITION

Gleichartige Wurzeln (gleicher Radikand) kannst du addieren und subtrahieren, indem du ihre Koeffizienten addierst oder subtrahierst. Für $\sqrt{a}$ gilt: $m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m + n)\sqrt{a}$.

Beispiel 7: Gleichartige Wurzeln addieren

Berechne $7\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$.

Lösung:

Alle Wurzeln haben den Radikanden $3$. Wir fassen die Koeffizienten zusammen:

$$7\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (7 - 4 + 2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$$

Das Ergebnis ist $5\sqrt{3}$.

Beispiel 8: Erst vereinfachen, dann addieren

Berechne $\sqrt{12} + \sqrt{27}$.

Lösung:

Die Wurzeln sehen ungleichartig aus. Aber wir können sie vereinfachen.

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

Jetzt sind beide Wurzeln gleichartig:

$$\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$$

Das Ergebnis ist $5\sqrt{3}$.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Wurzeln falsch addieren

Viele Schüler denken, dass $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$ gilt. Das ist falsch!

Ein Gegenbeispiel: $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$, aber $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Merke: Die Produktregel gilt für Multiplikation und Division, nicht für Addition und Subtraktion.

Fehler 2: Wurzel aus negativen Zahlen ziehen

In den reellen Zahlen existiert $\sqrt{-25}$ nicht. Es gibt keine reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert $-25$ ergibt. Achte immer darauf, dass der Radikand nicht negativ ist.

Fehler 3: Beim Vereinfachen aufhören, bevor die Wurzel vollständig vereinfacht ist

Wenn du $\sqrt{72}$ vereinfachst, reicht $\sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}$ nicht aus. Denn $18 = 9 \cdot 2$, also $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Richtig ist: $\sqrt{72} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

Tipp: Suche immer den grössten Quadratzahl-Faktor.

Kombination der Regeln

In komplexeren Aufgaben musst du mehrere Regeln kombinieren.

Beispiel 9: Komplexere Aufgabe

Vereinfache $\frac{\sqrt{50} \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$.

Lösung:

Zuerst berechnen wir den Zähler mit der Produktregel:

$$\sqrt{50} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{50 \cdot 8} = \sqrt{400} = 20$$

Jetzt teilen wir durch $\sqrt{2}$:

$$\frac{20}{\sqrt{2}}$$

Um die Wurzel aus dem Nenner zu entfernen, erweitern wir mit $\sqrt{2}$:

$$\frac{20}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$$

Das Ergebnis ist $10\sqrt{2}$.

Beispiel 10: Gemischte Aufgabe mit Addition

Vereinfache $\sqrt{32} - \sqrt{8} + \sqrt{18}$.

Lösung:

Wir vereinfachen jede Wurzel einzeln:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

Jetzt fassen wir zusammen:

$$4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (4 - 2 + 3)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$

Das Ergebnis ist $5\sqrt{2}$.

Das Wichtigste in Kürze

• Produktregel: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ – Wurzeln lassen sich bei Multiplikation zerlegen und zusammenfassen.
• Quotientenregel: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ – Auch bei Division funktioniert das Zerlegen.
• Teilweises Wurzelziehen: Zerlege den Radikanden so, dass ein Faktor eine Quadratzahl ist. Dann ziehe die Wurzel aus diesem Faktor.
• Addition und Subtraktion: Nur gleichartige Wurzeln (gleicher Radikand) können zusammengefasst werden.
• Achtung: $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ – Die Regeln gelten nicht für Addition!

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Berechne $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$.

Lösung anzeigen

Wir wenden die Produktregel an:

$$\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$$

Das Ergebnis ist $6$.

❓ Frage: Vereinfache $\sqrt{75}$ so weit wie möglich.

Lösung anzeigen

Wir suchen den grössten Quadratzahl-Faktor von $75$. Das ist $25$ (denn $75 = 25 \cdot 3$).

$$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$$

Das vereinfachte Ergebnis ist $5\sqrt{3}$.

❓ Frage: Berechne $\sqrt{45} + \sqrt{20}$.

Lösung anzeigen

Wir vereinfachen zuerst beide Wurzeln:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

Jetzt addieren wir die gleichartigen Wurzeln:

$$3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$$

Das Ergebnis ist $5\sqrt{5}$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du beherrschst jetzt die Grundrechenarten für Quadratwurzeln. Im nächsten Schritt lernst du, wie du Wurzelgleichungen löst. Das sind Gleichungen, in denen die Unbekannte unter einer Wurzel steht, zum Beispiel $\sqrt{x + 3} = 5$.

Ausserdem wirst du dich bald mit höheren Wurzeln beschäftigen. Die Kubikwurzel $\sqrt[3]{a}$ ist die Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert $a$ ergibt. Die Rechenregeln, die du heute gelernt hast, lassen sich auf diese Wurzeln übertragen.