Quadratwurzeln einfach erklärt: Dein Einstieg in die reellen Zahlen

Stell dir vor, du möchtest ein quadratisches Beet in deinem Garten anlegen. Du weisst, dass das Beet eine Fläche von 25 Quadratmetern haben soll. Aber wie lang muss eine Seite des Beetes sein? Du suchst also eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert genau 25 ergibt. Diese Zahl ist 5, denn $5 \cdot 5 = 25$. Genau diesen Vorgang – das “Rückwärtsrechnen” vom Quadrat zur Seitenlänge – nennen wir in der Mathematik das Ziehen der Quadratwurzel. In diesem Kapitel lernst du, was Quadratwurzeln sind, wie du sie berechnest und warum sie uns in eine ganz neue Zahlenwelt führen: die reellen Zahlen.

Vom Quadrat zur Wurzel: Die Umkehrung des Quadrierens

Beim Quadrieren nimmst du eine Zahl und multiplizierst sie mit sich selbst. Aus $3$ wird $3^2 = 9$. Aus $7$ wird $7^2 = 49$. Das kennst du bereits. Doch manchmal brauchst du den umgekehrten Weg. Du hast das Ergebnis – das Quadrat – und suchst die ursprüngliche Zahl.

Genau hier kommt die Quadratwurzel ins Spiel. Sie ist die Umkehroperation zum Quadrieren. Wenn du weisst, dass $x^2 = 49$, dann fragst du: Welche Zahl $x$ ergibt quadriert 49? Die Antwort ist $x = 7$. Wir schreiben das so:

$\sqrt{49} = 7$

Das Wurzelzeichen $\sqrt{\phantom{x}}$ ist das Symbol für die Quadratwurzel. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heisst Radikand. In unserem Beispiel ist 49 der Radikand.

Lass uns das an unserem Gartenbeispiel festhalten:

Seitenlänge des Beetes	Fläche des Beetes
$5 \, \text{m}$	$25 \, \text{m}^2$
$? \, \text{m}$	$36 \, \text{m}^2$
$? \, \text{m}$	$100 \, \text{m}^2$

Für die zweite Zeile suchst du $\sqrt{36}$. Welche Zahl mal sich selbst ergibt 36? Es ist $6$, denn $6 \cdot 6 = 36$. Für die dritte Zeile: $\sqrt{100} = 10$, denn $10 \cdot 10 = 100$.

Die Quadratwurzel: Definition und Schreibweise

DEFINITION

Die Quadratwurzel einer nicht-negativen Zahl $a$ ist diejenige nicht-negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert $a$ ergibt. Wir schreiben:

$\sqrt{a} = b \quad \text{bedeutet} \quad b \geq 0 \text{ und } b^2 = a$

Dabei heisst $a$ der Radikand und $b$ die Wurzel (oder der Wurzelwert).

Warum betonen wir “nicht-negativ”? Betrachten wir $\sqrt{25}$. Sowohl $5 \cdot 5 = 25$ als auch $(-5) \cdot (-5) = 25$. Beide Zahlen ergeben quadriert 25. Um Eindeutigkeit zu schaffen, legen wir fest: Die Quadratwurzel liefert immer die positive Lösung (oder Null). Daher gilt $\sqrt{25} = 5$ und nicht $-5$.

Hier sind die wichtigsten Quadratzahlen, die du auswendig kennen solltest:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$n^2$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144

Diese Tabelle hilft dir enorm. Wenn du $\sqrt{81}$ berechnen sollst, schaust du in der unteren Zeile nach 81 und findest in der oberen Zeile die Antwort: 9.

Irrationale Wurzeln: Die Entdeckung neuer Zahlen

Was passiert, wenn der Radikand keine perfekte Quadratzahl ist? Berechne $\sqrt{2}$. Welche Zahl mal sich selbst ergibt 2?

• $1 \cdot 1 = 1$ (zu klein)
• $2 \cdot 2 = 4$ (zu gross)

Die Antwort liegt also zwischen 1 und 2. Probieren wir weiter:

• $1{,}4 \cdot 1{,}4 = 1{,}96$ (knapp unter 2)
• $1{,}5 \cdot 1{,}5 = 2{,}25$ (zu gross)
• $1{,}41 \cdot 1{,}41 = 1{,}9881$ (noch näher)
• $1{,}414 \cdot 1{,}414 = 1{,}999396$ (sehr nah)

Du merkst: Wir können immer genauer werden, aber wir finden niemals eine Dezimalzahl, die exakt $\sqrt{2}$ ergibt. Die Zahl $\sqrt{2} = 1{,}41421356...$ hat unendlich viele Nachkommastellen ohne Muster. Solche Zahlen heissen irrationale Zahlen.

Die rationalen Zahlen (Brüche und endliche Dezimalzahlen) und die irrationalen Zahlen zusammen bilden die reellen Zahlen. Mit den Quadratwurzeln betrittst du also eine grössere Zahlenwelt.

Rechenregeln für Quadratwurzeln

Für das Rechnen mit Wurzeln gibt es wichtige Regeln. Sie helfen dir, komplexere Ausdrücke zu vereinfachen.

1. Produktregel: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Beispiel: $\sqrt{36 \cdot 4} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{4} = 6 \cdot 2 = 12$

2. Quotientenregel: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad \text{für } b \neq 0$

Beispiel: $\sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}} = \frac{7}{5}$

3. Wurzel aus einem Quadrat: $\sqrt{a^2} = |a|$

Achtung: Hier steht der Betrag $|a|$, weil die Wurzel immer nicht-negativ ist. Für $a = -3$ gilt: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$.

Häufige Fehler beim Rechnen mit Wurzeln:

1. Summenregel existiert nicht: $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Gegenbeispiel: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, aber $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. Das ist nicht dasselbe!

2. Negative Radikanden: $\sqrt{-4}$ ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. Es gibt keine reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert $-4$ ergibt. (Solche Fälle führen zu den komplexen Zahlen, die du später kennenlernst.)

3. Vorzeichen vergessen: Die Gleichung $x^2 = 16$ hat zwei Lösungen: $x = 4$ und $x = -4$. Aber $\sqrt{16} = 4$ (nur der positive Wert). Verwechsle nicht “Wurzel ziehen” mit “Gleichung lösen”.

Wurzeln vereinfachen: Teilweises Wurzelziehen

Nicht jede Wurzel lässt sich exakt berechnen. Aber oft kannst du sie vereinfachen. Das nennt man teilweises Wurzelziehen. Die Idee: Zerlege den Radikanden in Faktoren, von denen einer eine Quadratzahl ist.

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

1. Zerlege den Radikanden in ein Produkt mit einer Quadratzahl.
2. Wende die Produktregel an.
3. Ziehe die Wurzel aus der Quadratzahl.

Beispiel: Vereinfache $\sqrt{72}$.

• Schritt 1: $72 = 36 \cdot 2$ (36 ist eine Quadratzahl)
• Schritt 2: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2}$
• Schritt 3: $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

Das Ergebnis $6\sqrt{2}$ ist die vereinfachte Form. Du kannst $\sqrt{2}$ nicht weiter vereinfachen, aber der Ausdruck ist übersichtlicher als $\sqrt{72}$.

Beispiele

Beispiel 1: Einfache Quadratwurzeln berechnen

Aufgabe: Berechne $\sqrt{144}$ und $\sqrt{0{,}25}$.

Lösung für $\sqrt{144}$:

Welche Zahl mal sich selbst ergibt 144? Aus der Tabelle der Quadratzahlen weisst du: $12 \cdot 12 = 144$.

$\sqrt{144} = 12$

Lösung für $\sqrt{0{,}25}$:

Schreibe die Dezimalzahl als Bruch: $0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

Wende die Quotientenregel an: $\sqrt{0{,}25} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} = 0{,}5$

Probe: $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$ ✓

Beispiel 2: Wurzeln mit der Produktregel vereinfachen

Aufgabe: Vereinfache $\sqrt{200}$.

Lösung:

Suche eine Quadratzahl als Faktor von 200:

• $200 = 100 \cdot 2$
• 100 ist eine Quadratzahl ($10^2 = 100$)

Wende die Produktregel an: $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

Ergebnis: $\sqrt{200} = 10\sqrt{2}$

Beispiel 3: Anwendung – Diagonale eines Quadrats

Aufgabe: Ein quadratischer Bilderrahmen hat eine Seitenlänge von $6 \, \text{cm}$. Wie lang ist seine Diagonale?

Lösung:

Die Diagonale eines Quadrats berechnet sich mit dem Satz des Pythagoras. In einem Quadrat mit Seitenlänge $a$ gilt für die Diagonale $d$:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Also: $d = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{a^2} = \sqrt{2} \cdot a$

Mit $a = 6 \, \text{cm}$: $d = \sqrt{2} \cdot 6 = 6\sqrt{2} \, \text{cm}$

Als Dezimalzahl (gerundet): $d \approx 6 \cdot 1{,}414 = 8{,}49 \, \text{cm}$

Ergebnis: Die Diagonale ist $6\sqrt{2} \, \text{cm} \approx 8{,}49 \, \text{cm}$ lang.

Beispiel 4: Gleichungen mit Quadratwurzeln lösen

Aufgabe: Löse die Gleichung $x^2 = 81$.

Lösung:

Die Gleichung fragt: Welche Zahl ergibt quadriert 81?

Wir wissen: $9 \cdot 9 = 81$ und $(-9) \cdot (-9) = 81$.

Beide Zahlen sind Lösungen der Gleichung. Wir schreiben: $x = \pm\sqrt{81} = \pm 9$

Das bedeutet $x_1 = 9$ und $x_2 = -9$.

Wichtig: Die Gleichung $x^2 = 81$ hat zwei Lösungen. Aber der Ausdruck $\sqrt{81}$ allein ergibt nur 9 (die nicht-negative Wurzel).

Ergebnis: $x = 9$ oder $x = -9$

Beispiel 5: Komplexere Vereinfachung

Aufgabe: Vereinfache $\sqrt{98} + \sqrt{50}$.

Lösung:

Vereinfache beide Wurzeln einzeln:

Für $\sqrt{98}$:

• $98 = 49 \cdot 2$
• $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$

Für $\sqrt{50}$:

• $50 = 25 \cdot 2$
• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

Jetzt kannst du zusammenfassen, weil beide Terme $\sqrt{2}$ enthalten: $\sqrt{98} + \sqrt{50} = 7\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

Ergebnis: $\sqrt{98} + \sqrt{50} = 12\sqrt{2}$

Das Wichtigste in Kürze

• Die Quadratwurzel $\sqrt{a}$ ist die Umkehrung des Quadrierens. Sie gibt die nicht-negative Zahl an, deren Quadrat $a$ ist.

• Wurzeln aus perfekten Quadratzahlen (1, 4, 9, 16, 25, …) ergeben natürliche Zahlen. Wurzeln aus anderen positiven Zahlen sind irrational (unendlich viele Nachkommastellen ohne Muster).

• Die Produktregel $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ und die Quotientenregel $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ helfen beim Vereinfachen. Aber Achtung: Es gibt keine Summenregel!

• Aus negativen Zahlen kannst du im Bereich der reellen Zahlen keine Quadratwurzel ziehen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Berechne $\sqrt{169}$.

Lösung anzeigen

$\sqrt{169} = 13$, denn $13 \cdot 13 = 169$.

❓ Frage: Vereinfache $\sqrt{180}$ so weit wie möglich.

Lösung anzeigen

$180 = 36 \cdot 5$, also $\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$.

❓ Frage: Warum ist $\sqrt{9 + 16}$ nicht gleich $\sqrt{9} + \sqrt{16}$? Rechne beide Seiten aus.

Lösung anzeigen

Linke Seite: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Rechte Seite: $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

Da $5 \neq 7$, sind die Ausdrücke nicht gleich. Die Summenregel gilt nicht für Wurzeln – du darfst eine Wurzel nicht einfach auf Summanden verteilen.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast nun die Quadratwurzel kennengelernt und bist in die Welt der reellen Zahlen eingetaucht. Als Nächstes wirst du lernen, wie du Wurzeln noch allgemeiner betrachten kannst. Höhere Wurzeln wie die Kubikwurzel $\sqrt[3]{a}$ (dritte Wurzel) ermöglichen es, die Umkehrung von $x^3$ zu berechnen. Ausserdem wird die Potenzschreibweise für Wurzeln wichtig: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$. Diese Darstellung verbindet Wurzeln und Potenzen und eröffnet dir ganz neue Rechenmöglichkeiten.