Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen: So findest du die Lösungen grafisch

Stell dir vor, du wirfst einen Basketball in Richtung Korb. Der Ball fliegt nicht geradeaus, sondern beschreibt einen eleganten Bogen durch die Luft. Genau diese Flugbahn hat eine ganz besondere Form: eine Parabel. Jetzt kommt die spannende Frage: Wann erreicht der Ball die Höhe des Korbs? Oder anders gefragt: An welchen Stellen befindet sich der Ball auf einer bestimmten Höhe?

Genau solche Fragen beantwortest du mit quadratischen Gleichungen. Und das Schöne daran: Du kannst die Lösungen tatsächlich “sehen”, indem du die Parabel zeichnest. Das zeichnerische Lösungsverfahren macht abstrakte Mathematik plötzlich greifbar.

Von der Flugbahn zur Gleichung

Der Basketballwurf zeigt uns das Prinzip. Die Flughöhe des Balls hängt davon ab, wo er sich gerade befindet. Diese Beziehung beschreibt eine quadratische Funktion. Wenn du wissen willst, wann der Ball eine bestimmte Höhe erreicht, suchst du die Schnittpunkte der Parabel mit einer waagerechten Linie.

Übersetzt in die Mathematik: Du hast eine quadratische Funktion wie $f(x) = x^2 - 4x + 3$ und fragst dich, für welche $x$-Werte die Funktion einen bestimmten Wert annimmt. Meistens interessiert uns, wann die Funktion den Wert Null erreicht. Das sind die sogenannten Nullstellen.

Die Gleichung $x^2 - 4x + 3 = 0$ fragt also: Wo schneidet die Parabel die $x$-Achse?

Das Koordinatensystem als Werkzeug

Um quadratische Gleichungen zeichnerisch zu lösen, brauchst du ein Koordinatensystem und eine Wertetabelle. Die Wertetabelle hilft dir, genügend Punkte zu berechnen, damit du die Parabel sauber einzeichnen kannst.

Eine Wertetabelle für $f(x) = x^2 - 4x + 3$ könnte so aussehen:

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$8$	$3$	$0$	$-1$	$0$	$3$	$8$

Jede Zeile gibt dir einen Punkt. Der Punkt $(1, 0)$ bedeutet: Wenn $x = 1$ ist, dann ist $f(x) = 0$. Dieser Punkt liegt auf der $x$-Achse. Das ist bereits eine Lösung deiner Gleichung.

Die Schritt-für-Schritt-Anleitung

So gehst du vor, um eine quadratische Gleichung zeichnerisch zu lösen:

1. Bringe die Gleichung in die Form $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Erstelle eine Wertetabelle mit mindestens 7 Punkten rund um den Scheitelpunkt.
3. Zeichne ein Koordinatensystem mit passender Skalierung.
4. Trage alle Punkte ein und verbinde sie zu einer glatten Kurve.
5. Lies die Nullstellen ab: Das sind die $x$-Werte, wo die Parabel die $x$-Achse schneidet.

DEFINITION

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ entsprechen den Nullstellen der zugehörigen Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$. Zeichnerisch sind das die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse. Eine quadratische Gleichung kann zwei, eine oder keine reelle Lösung haben.

Die drei möglichen Fälle

Nicht jede Parabel schneidet die $x$-Achse. Je nach Lage der Parabel gibt es drei verschiedene Situationen:

Zwei Lösungen: Die Parabel schneidet die $x$-Achse an zwei Stellen. Die Gleichung hat zwei verschiedene Lösungen.

Eine Lösung: Die Parabel berührt die $x$-Achse genau an ihrem Scheitelpunkt. Die Gleichung hat eine Lösung, die auch Doppellösung genannt wird.

Keine Lösung: Die Parabel schwebt komplett über oder unter der $x$-Achse. Die Gleichung hat keine reelle Lösung.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Zu wenige Punkte berechnen Viele Schüler berechnen nur 3-4 Punkte und zeichnen dann eine ungenaue Kurve. Die Parabel sieht dann entweder zu spitz oder zu flach aus. Berechne immer mindestens 7 Punkte, besonders links und rechts vom Scheitelpunkt.

Fehler 2: Die Achsenbeschriftung vergessen Ohne Beschriftung der Achsen und eine klare Skalierung kannst du die Nullstellen nicht genau ablesen. Wähle die Skalierung so, dass die Nullstellen gut erkennbar sind.

Fehler 3: Die Kurve durch die Punkte eckig zeichnen Eine Parabel ist immer eine glatte, runde Kurve. Verbinde die Punkte nie mit geraden Linien, sondern zeichne eine fliessende Kurve.

Beispiele

Beispiel 1: Zwei Nullstellen finden

Löse die Gleichung $x^2 - 2x - 3 = 0$ zeichnerisch.

Schritt 1: Die Gleichung liegt bereits in der richtigen Form vor.

Schritt 2: Wertetabelle erstellen für $f(x) = x^2 - 2x - 3$:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$5$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$	$5$

Schritt 3 und 4: Koordinatensystem zeichnen und Punkte eintragen. Die Parabel öffnet sich nach oben, da der Koeffizient vor $x^2$ positiv ist.

Schritt 5: Die Parabel schneidet die $x$-Achse bei $x = -1$ und $x = 3$.

Lösung: $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$

Zur Kontrolle: $(-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$ ✓

Beispiel 2: Genau eine Nullstelle (Doppellösung)

Löse die Gleichung $x^2 - 6x + 9 = 0$ zeichnerisch.

Schritt 1: Die Gleichung liegt in der richtigen Form vor.

Schritt 2: Wertetabelle erstellen für $f(x) = x^2 - 6x + 9$:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$f(x)$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Schritt 3 und 4: Die Punkte zeigen eine symmetrische Parabel mit dem tiefsten Punkt bei $x = 3$.

Schritt 5: Die Parabel berührt die $x$-Achse nur an einer Stelle: bei $x = 3$.

Lösung: $x = 3$ (Doppellösung)

Tatsächlich lässt sich die Gleichung auch als $(x - 3)^2 = 0$ schreiben. Das erklärt, warum es nur eine Lösung gibt.

Beispiel 3: Keine Nullstelle

Löse die Gleichung $x^2 - 2x + 5 = 0$ zeichnerisch.

Schritt 1: Die Gleichung liegt in der richtigen Form vor.

Schritt 2: Wertetabelle erstellen für $f(x) = x^2 - 2x + 5$:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$13$	$8$	$5$	$4$	$5$	$8$	$13$

Schritt 3 und 4: Die Parabel öffnet sich nach oben. Der tiefste Punkt liegt bei $(1, 4)$.

Schritt 5: Die gesamte Parabel liegt oberhalb der $x$-Achse. Es gibt keine Schnittpunkte.

Lösung: Die Gleichung hat keine reelle Lösung.

Der kleinste Funktionswert ist $4$. Die Parabel kommt der $x$-Achse nie nahe genug, um sie zu schneiden.

Beispiel 4: Gleichung zuerst umformen

Löse die Gleichung $x^2 + 4 = 4x$ zeichnerisch.

Schritt 1: Bringe alle Terme auf eine Seite:

$x^2 + 4 = 4x$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Schritt 2: Wertetabelle erstellen für $f(x) = x^2 - 4x + 4$:

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Schritt 3 und 4: Die Parabel hat ihren Scheitelpunkt bei $(2, 0)$.

Schritt 5: Die Parabel berührt die $x$-Achse genau bei $x = 2$.

Lösung: $x = 2$

Diese Gleichung entspricht $(x - 2)^2 = 0$, was die Doppellösung bestätigt.

Den Scheitelpunkt nutzen

Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der tiefste oder höchste Punkt. Er liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Wenn du den Scheitelpunkt kennst, kannst du deine Wertetabelle gezielter anlegen.

Für eine Funktion $f(x) = x^2 + bx + c$ liegt der Scheitelpunkt bei:

$x_S = -\frac{b}{2}$

Bei $f(x) = x^2 - 4x + 3$ ist $b = -4$. Der Scheitelpunkt liegt also bei:

$x_S = -\frac{-4}{2} = 2$

Wenn du das weisst, berechnest du Punkte symmetrisch um $x = 2$: also bei $x = 0, 1, 2, 3, 4$.

Alternative Darstellung: Schnitt zweier Graphen

Manchmal liegt die Gleichung in einer anderen Form vor. Zum Beispiel: $x^2 = 2x + 3$

Du kannst diese Gleichung lösen, indem du zwei Funktionen zeichnest:

• $f(x) = x^2$ (eine Normalparabel)
• $g(x) = 2x + 3$ (eine Gerade)

Die $x$-Werte der Schnittpunkte sind die Lösungen der Gleichung.

Diese Methode ist besonders nützlich, wenn die Parabel $f(x) = x^2$ bereits bekannt ist. Du musst dann nur noch die Gerade einzeichnen.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Lösungen einer quadratischen Gleichung sind die Nullstellen der zugehörigen Parabel.
• Eine Wertetabelle mit mindestens 7 Punkten ermöglicht eine genaue Zeichnung.
• Quadratische Gleichungen können zwei, eine oder keine reelle Lösung haben.
• Der Scheitelpunkt liegt genau zwischen den Nullstellen und hilft bei der Orientierung.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Die Parabel $f(x) = x^2 - 4$ schneidet die $x$-Achse. Wie viele Lösungen hat die Gleichung $x^2 - 4 = 0$?

Lösung anzeigen

Die Gleichung hat zwei Lösungen. Die Parabel $f(x) = x^2 - 4$ ist eine nach oben verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt bei $(0, -4)$. Sie schneidet die $x$-Achse bei $x = -2$ und $x = 2$.

❓ Frage: Eine Parabel hat ihren Scheitelpunkt bei $(3, 2)$ und öffnet sich nach oben. Wie viele Nullstellen hat sie?

Lösung anzeigen

Die Parabel hat keine Nullstellen. Der Scheitelpunkt bei $(3, 2)$ ist der tiefste Punkt der Parabel. Da dieser Punkt über der $x$-Achse liegt und die Parabel sich nach oben öffnet, kann sie die $x$-Achse nie erreichen.

❓ Frage: Du sollst die Gleichung $x^2 + 2x = 8$ zeichnerisch lösen. Welche Funktion zeichnest du, um die Nullstellen abzulesen?

Lösung anzeigen

Du formst zuerst um: $x^2 + 2x - 8 = 0$. Dann zeichnest du die Funktion $f(x) = x^2 + 2x - 8$. Die Nullstellen dieser Parabel sind die Lösungen der Gleichung. (Die Lösungen sind $x_1 = -4$ und $x_2 = 2$.)

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Das zeichnerische Verfahren gibt dir ein gutes Verständnis dafür, was quadratische Gleichungen bedeuten. Allerdings ist es nicht immer praktisch. Wenn die Lösungen keine “schönen” Zahlen sind, wird das Ablesen ungenau.

Deshalb lernst du als Nächstes rechnerische Verfahren: die Lösungsformel (auch Mitternachtsformel oder abc-Formel genannt) und die pq-Formel. Mit diesen Werkzeugen findest du die exakten Lösungen jeder quadratischen Gleichung, auch wenn sie krumme Werte wie $\sqrt{7}$ enthalten.

Das zeichnerische Verfahren bleibt aber wichtig. Es hilft dir, deine rechnerischen Ergebnisse zu überprüfen und ein Gefühl für die Lage der Lösungen zu entwickeln.