Quadratische Ergänzung einfach erklärt: So löst du jede quadratische Gleichung

Stell dir vor, du baust ein Puzzle. Die meisten Teile liegen schon perfekt – aber in der Mitte fehlt ein kleines Stück. Ohne dieses eine Teil bleibt das Bild unvollständig. Genau so funktioniert die quadratische Ergänzung in der Mathematik. Du hast eine Gleichung, die fast perfekt ist. Mit einem kleinen Trick ergänzt du das fehlende Puzzleteil – und plötzlich kannst du die Lösung direkt ablesen. In dieser Lektion lernst du, wie du diesen Trick anwendest und damit jede quadratische Gleichung knacken kannst.

Vom Puzzle zur Mathematik: Was ist das Problem?

Quadratische Gleichungen begegnen dir überall. Wenn ein Ball durch die Luft fliegt, wenn du die Fläche eines Gartens berechnest oder wenn Ingenieure Brücken konstruieren – überall stecken quadratische Zusammenhänge dahinter.

Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form:

$ax^2 + bx + c = 0$

Manche dieser Gleichungen sind einfach zu lösen. Zum Beispiel $x^2 = 9$. Du ziehst einfach die Wurzel und erhältst $x = 3$ oder $x = -3$.

Aber was machst du mit einer Gleichung wie $x^2 + 6x - 7 = 0$? Hier stört der Term $6x$ in der Mitte. Du kannst nicht einfach die Wurzel ziehen. Die Gleichung ist wie ein Puzzle mit fehlendem Teil.

Genau hier kommt die quadratische Ergänzung ins Spiel. Sie verwandelt die störende Gleichung in eine Form, bei der du wieder die Wurzel ziehen kannst.

Das Ziel: Die binomische Formel rückwärts

Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Die erste lautet:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Wenn du diese Formel von rechts nach links liest, siehst du etwas Spannendes. Aus drei Termen wird ein einziger Ausdruck mit einer Klammer zum Quadrat.

Das ist unser Ziel bei der quadratischen Ergänzung. Wir wollen die linke Seite einer Gleichung so umformen, dass wir sie als $(x + \text{etwas})^2$ schreiben können.

Schauen wir uns den Ausdruck $x^2 + 6x$ genauer an. Wenn wir ihn mit der binomischen Formel vergleichen:

• $a^2$ entspricht $x^2$, also ist $a = x$
• $2ab$ entspricht $6x$, also ist $2 \cdot x \cdot b = 6x$

Daraus folgt: $b = 3$.

Nach der binomischen Formel müsste der vollständige Ausdruck lauten:

$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

Aber in unserer Gleichung steht nur $x^2 + 6x$. Es fehlt die $9$ – das fehlende Puzzleteil! Die quadratische Ergänzung bedeutet nichts anderes, als dieses fehlende Stück hinzuzufügen.

Die Methode: Schritt für Schritt zur Lösung

Hier ist dein Rezept für die quadratische Ergänzung. Folge diesen Schritten, und du wirst jede quadratische Gleichung meistern.

1. Normalform herstellen: Bringe die Gleichung in die Form $x^2 + px + q = 0$. Der Koeffizient vor $x^2$ muss $1$ sein.

2. Konstante isolieren: Bringe das konstante Glied $q$ auf die rechte Seite der Gleichung.

3. Ergänzungszahl berechnen: Nimm die Hälfte des Koeffizienten vor $x$, also $\frac{p}{2}$. Quadriere diesen Wert: $\left(\frac{p}{2}\right)^2$.

4. Auf beiden Seiten addieren: Addiere die Ergänzungszahl auf beiden Seiten der Gleichung. So bleibt die Gleichung gültig.

5. Binomische Formel anwenden: Die linke Seite ist jetzt ein vollständiges Quadrat. Schreibe sie als $\left(x + \frac{p}{2}\right)^2$.

6. Wurzel ziehen: Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel. Vergiss nicht das $\pm$-Zeichen!

7. Nach $x$ auflösen: Löse die entstehenden linearen Gleichungen.

DEFINITION

Die quadratische Ergänzung ist eine Methode, um quadratische Gleichungen zu lösen. Du ergänzt den Ausdruck $x^2 + px$ zu einem vollständigen Quadrat, indem du $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ addierst. Dadurch entsteht:

$x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2$

Die Ergänzungszahl ist immer die Hälfte des Koeffizienten vor $x$, zum Quadrat genommen.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Die Ergänzungszahl nur auf einer Seite addieren

Wenn du auf der linken Seite etwas addierst, musst du es auch auf der rechten Seite tun. Sonst veränderst du die Gleichung und erhältst falsche Lösungen. Eine Gleichung ist wie eine Waage – beide Seiten müssen im Gleichgewicht bleiben.

Fehler 2: Das Vorzeichen beim Halbieren vergessen

Ist der Koeffizient vor $x$ negativ, zum Beispiel $-8x$, dann ist $\frac{p}{2} = -4$. Beim Quadrieren wird das Ergebnis zwar positiv ($16$), aber in der Klammer der binomischen Formel bleibt das Minus: $(x - 4)^2$.

Fehler 3: Das $\pm$-Zeichen beim Wurzelziehen vergessen

Die Gleichung $y^2 = 16$ hat zwei Lösungen: $y = 4$ und $y = -4$. Wenn du nur eine Lösung angibst, verlierst du die Hälfte der Punkte. Schreibe immer $y = \pm 4$.

Fehler 4: Der Koeffizient vor $x^2$ ist nicht $1$

Die Methode funktioniert nur, wenn vor $x^2$ eine $1$ steht. Steht dort eine andere Zahl, musst du zuerst die gesamte Gleichung durch diese Zahl dividieren.

Beispiele

Beispiel 1: Eine einfache Gleichung

Löse die Gleichung $x^2 + 8x + 7 = 0$.

Schritt 1: Die Gleichung ist bereits in Normalform (vor $x^2$ steht eine $1$).

Schritt 2: Bringe die Konstante auf die rechte Seite:

$x^2 + 8x = -7$

Schritt 3: Berechne die Ergänzungszahl. Der Koeffizient vor $x$ ist $8$.

$\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 4^2 = 16$

Schritt 4: Addiere $16$ auf beiden Seiten:

$x^2 + 8x + 16 = -7 + 16$

$x^2 + 8x + 16 = 9$

Schritt 5: Schreibe die linke Seite als Quadrat:

$(x + 4)^2 = 9$

Schritt 6: Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten:

$x + 4 = \pm 3$

Schritt 7: Löse nach $x$ auf:

$x + 4 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = -1$

$x + 4 = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -7$

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-7; -1\}$

Beispiel 2: Eine Gleichung mit negativem Koeffizienten

Löse die Gleichung $x^2 - 6x + 5 = 0$.

Schritt 1: Normalform ist gegeben.

Schritt 2: Konstante auf die rechte Seite:

$x^2 - 6x = -5$

Schritt 3: Ergänzungszahl berechnen. Der Koeffizient ist $-6$:

$\left(\frac{-6}{2}\right)^2 = (-3)^2 = 9$

Schritt 4: Addiere $9$ auf beiden Seiten:

$x^2 - 6x + 9 = -5 + 9$

$x^2 - 6x + 9 = 4$

Schritt 5: Binomische Formel anwenden. Beachte das Minus in der Klammer:

$(x - 3)^2 = 4$

Schritt 6: Wurzel ziehen:

$x - 3 = \pm 2$

Schritt 7: Nach $x$ auflösen:

$x - 3 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 5$

$x - 3 = -2 \quad \Rightarrow \quad x = 1$

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{1; 5\}$

Beispiel 3: Eine Gleichung, die erst umgeformt werden muss

Löse die Gleichung $2x^2 + 12x - 14 = 0$.

Schritt 1: Vor $x^2$ steht eine $2$. Dividiere die gesamte Gleichung durch $2$:

$x^2 + 6x - 7 = 0$

Jetzt ist die Gleichung in Normalform.

Schritt 2: Konstante auf die rechte Seite:

$x^2 + 6x = 7$

Schritt 3: Ergänzungszahl berechnen:

$\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 3^2 = 9$

Schritt 4: Addiere $9$ auf beiden Seiten:

$x^2 + 6x + 9 = 7 + 9$

$x^2 + 6x + 9 = 16$

Schritt 5: Binomische Formel:

$(x + 3)^2 = 16$

Schritt 6: Wurzel ziehen:

$x + 3 = \pm 4$

Schritt 7: Nach $x$ auflösen:

$x + 3 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 1$

$x + 3 = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -7$

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-7; 1\}$

Beispiel 4: Eine Gleichung ohne reelle Lösung

Löse die Gleichung $x^2 + 4x + 5 = 0$.

Schritt 1: Normalform ist gegeben.

Schritt 2: Konstante auf die rechte Seite:

$x^2 + 4x = -5$

Schritt 3: Ergänzungszahl berechnen:

$\left(\frac{4}{2}\right)^2 = 2^2 = 4$

Schritt 4: Addiere $4$ auf beiden Seiten:

$x^2 + 4x + 4 = -5 + 4$

$x^2 + 4x + 4 = -1$

Schritt 5: Binomische Formel:

$(x + 2)^2 = -1$

Schritt 6: Wurzel ziehen? Stopp! Die rechte Seite ist negativ. Aus einer negativen Zahl kannst du keine reelle Wurzel ziehen. Ein Quadrat ist immer grösser oder gleich null.

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{\}$ (leere Menge)

Diese Gleichung hat keine reelle Lösung. Die zugehörige Parabel schneidet die x-Achse nicht.

Beispiel 5: Anwendung – Die fliegende Drohne

Eine Drohne startet vom Boden. Ihre Flughöhe $h$ in Metern wird durch die Funktion $h(t) = -t^2 + 10t$ beschrieben, wobei $t$ die Zeit in Sekunden ist. Nach wie vielen Sekunden landet die Drohne wieder?

Analyse: Die Drohne landet, wenn die Höhe null ist. Wir suchen also die Lösungen von:

$-t^2 + 10t = 0$

Schritt 1: Bringe in Normalform. Multipliziere mit $-1$:

$t^2 - 10t = 0$

Hier ist bereits $q = 0$, also steht rechts schon $0$.

Schritt 3: Ergänzungszahl berechnen:

$\left(\frac{-10}{2}\right)^2 = (-5)^2 = 25$

Schritt 4: Addiere $25$ auf beiden Seiten:

$t^2 - 10t + 25 = 25$

Schritt 5: Binomische Formel:

$(t - 5)^2 = 25$

Schritt 6: Wurzel ziehen:

$t - 5 = \pm 5$

Schritt 7: Nach $t$ auflösen:

$t - 5 = 5 \quad \Rightarrow \quad t = 10$

$t - 5 = -5 \quad \Rightarrow \quad t = 0$

Interpretation: Bei $t = 0$ startet die Drohne (Höhe null). Bei $t = 10$ landet sie wieder.

Antwort: Die Drohne landet nach $10$ Sekunden.

Warum funktioniert die quadratische Ergänzung?

Die Methode basiert auf einer geometrischen Idee. Stell dir ein Quadrat mit Seitenlänge $x$ vor. Seine Fläche ist $x^2$.

Jetzt fügst du auf zwei Seiten Rechtecke mit der Breite $\frac{p}{2}$ hinzu. Jedes Rechteck hat die Fläche $x \cdot \frac{p}{2}$. Zusammen ergibt das $2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} = px$.

Die Gesamtfläche ist jetzt $x^2 + px$. Aber die Figur ist noch kein vollständiges Quadrat. In der Ecke fehlt ein kleines Quadrat mit der Seitenlänge $\frac{p}{2}$ und der Fläche $\left(\frac{p}{2}\right)^2$.

Wenn du dieses kleine Quadrat ergänzt, hast du ein grosses Quadrat mit der Seitenlänge $x + \frac{p}{2}$. Die Gesamtfläche ist dann $\left(x + \frac{p}{2}\right)^2$.

Diese geometrische Anschauung erklärt, warum die Methode «quadratische Ergänzung» heisst: Du ergänzt buchstäblich ein fehlendes Quadrat.

Quadratische Ergänzung vs. andere Methoden

Die quadratische Ergänzung ist nicht die einzige Methode, um quadratische Gleichungen zu lösen. Hier ein kurzer Vergleich:

Ausklammern: Funktioniert nur, wenn $c = 0$ ist, also bei Gleichungen wie $x^2 + 5x = 0$. Dann kannst du $x$ ausklammern: $x(x + 5) = 0$.

Mitternachtsformel (abc-Formel): Funktioniert immer und liefert die Lösung direkt. Aber die Formel ist kompliziert und fehleranfällig.

Quadratische Ergänzung: Zeigt dir den Rechenweg Schritt für Schritt. Du verstehst, was passiert. Ausserdem ist sie die Grundlage für die Herleitung der Mitternachtsformel.

Für Prüfungen lohnt es sich, alle Methoden zu beherrschen. Die quadratische Ergänzung hilft dir, das Prinzip wirklich zu verstehen.

Das Wichtigste in Kürze

• Die quadratische Ergänzung verwandelt $x^2 + px$ in ein vollständiges Quadrat $\left(x + \frac{p}{2}\right)^2$.
• Die Ergänzungszahl ist immer $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ – die Hälfte des Koeffizienten vor $x$, zum Quadrat.
• Addiere die Ergänzungszahl immer auf beiden Seiten der Gleichung.
• Beim Wurzelziehen gibt es immer zwei Lösungen ($\pm$), es sei denn, die rechte Seite ist null oder negativ.
• Ist die rechte Seite nach der Ergänzung negativ, hat die Gleichung keine reelle Lösung.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Welche Zahl musst du bei der Gleichung $x^2 + 10x = 3$ auf beiden Seiten addieren, um ein vollständiges Quadrat zu erhalten?

Lösung anzeigen

Die Ergänzungszahl ist $\left(\frac{10}{2}\right)^2 = 5^2 = 25$.

Du addierst $25$ auf beiden Seiten und erhältst: $x^2 + 10x + 25 = 28$ $(x + 5)^2 = 28$

❓ Frage: Löse die Gleichung $x^2 - 2x - 8 = 0$ mit der quadratischen Ergänzung.

Lösung anzeigen

Schritt 1: $x^2 - 2x = 8$

Schritt 2: Ergänzungszahl: $\left(\frac{-2}{2}\right)^2 = 1$

Schritt 3: $x^2 - 2x + 1 = 9$

Schritt 4: $(x - 1)^2 = 9$

Schritt 5: $x - 1 = \pm 3$

Schritt 6: $x = 4$ oder $x = -2$

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-2; 4\}$

❓ Frage: Die Gleichung $x^2 + 6x + 10 = 0$ hat keine reelle Lösung. Erkläre, wie du das bei der quadratischen Ergänzung erkennst.

Lösung anzeigen

Nach der quadratischen Ergänzung erhältst du:

$x^2 + 6x = -10$

Ergänzungszahl: $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$

$x^2 + 6x + 9 = -10 + 9 = -1$

$(x + 3)^2 = -1$

Die rechte Seite ist negativ. Ein Quadrat kann aber niemals negativ sein. Daher gibt es keine reelle Zahl, deren Quadrat $-1$ ergibt.

Erkennung: Wenn nach der quadratischen Ergänzung auf der rechten Seite eine negative Zahl steht, hat die Gleichung keine reelle Lösung.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt ein mächtiges Werkzeug in deinem mathematischen Werkzeugkasten. Die quadratische Ergänzung ist nicht nur eine Lösungsmethode – sie ist auch der Schlüssel zu weiteren spannenden Themen.

Als Nächstes wirst du die Mitternachtsformel (auch abc-Formel oder Lösungsformel genannt) kennenlernen. Diese Formel liefert dir die Lösungen jeder quadratischen Gleichung auf einen Schlag. Das Beste daran: Die Mitternachtsformel wird mit genau der Methode hergeleitet, die du gerade gelernt hast – der quadratischen Ergänzung.

Später wirst du die quadratische Ergänzung auch nutzen, um Parabeln in Scheitelpunktform zu bringen. Damit kannst du den höchsten oder tiefsten Punkt einer Parabel direkt ablesen – ein wichtiges Werkzeug für Anwendungsaufgaben und die Analysis.

Die Arbeit, die du heute investiert hast, zahlt sich also mehrfach aus.