Quadratische Ausdrücke faktorisieren: So zerlegst du sie Schritt für Schritt

Stell dir vor, du hast einen grossen Karton Lego-Steine. Alles liegt wild durcheinander. Um etwas Cooles zu bauen, musst du zuerst sortieren und passende Teile zusammenfügen. Genau das machst du beim Faktorisieren von quadratischen Ausdrücken. Du nimmst einen komplizierten mathematischen Ausdruck und zerlegst ihn in einfachere Bausteine. Diese Bausteine nennt man Faktoren. Warum ist das nützlich? Weil du mit diesen Faktoren viel leichter arbeiten kannst. Du wirst quadratische Gleichungen lösen, Nullstellen finden und Kurven analysieren. All das wird einfacher, wenn du faktorisieren kannst.

Vom Multiplizieren zum Faktorisieren

Du kennst bereits das Ausmultiplizieren von Klammern. Das ist die Vorwärtsrichtung. Beim Faktorisieren gehst du rückwärts. Du startest mit dem Ergebnis und findest die ursprünglichen Faktoren.

Erinnerst du dich an diese Rechnung?

$(x + 3) \cdot (x + 2) = x^2 + 5x + 6$

Beim Ausmultiplizieren hast du links angefangen und rechts das Ergebnis erhalten. Beim Faktorisieren machst du das Gegenteil. Du startest mit $x^2 + 5x + 6$ und findest heraus, dass die Faktoren $(x + 3)$ und $(x + 2)$ sind.

Das ist wie Detektivarbeit. Du siehst das Endprodukt und suchst die Zutaten.

Die Standardform eines quadratischen Ausdrucks

Bevor du faktorisieren kannst, musst du den Ausdruck erkennen. Ein quadratischer Ausdruck hat immer die Form:

$ax^2 + bx + c$

Dabei sind $a$, $b$ und $c$ Zahlen. Die Zahl $a$ darf nicht null sein. Sonst wäre es kein quadratischer Ausdruck mehr.

Hier einige Beispiele:

• $x^2 + 7x + 12$ hat $a = 1$, $b = 7$, $c = 12$
• $2x^2 - 5x + 3$ hat $a = 2$, $b = -5$, $c = 3$
• $x^2 - 9$ hat $a = 1$, $b = 0$, $c = -9$

Achte auf die Vorzeichen. Sie sind entscheidend für das Faktorisieren.

Die Methode: Faktorisieren mit der Produktsumme

Für quadratische Ausdrücke mit $a = 1$ gibt es eine elegante Methode. Du suchst zwei Zahlen $p$ und $q$, die eine besondere Eigenschaft haben.

DEFINITION

Für einen quadratischen Ausdruck $x^2 + bx + c$ suchst du zwei Zahlen $p$ und $q$, sodass gilt:

$p + q = b$

$p \cdot q = c$

Die Summe der beiden Zahlen ergibt $b$. Das Produkt der beiden Zahlen ergibt $c$. Hast du diese Zahlen gefunden, lautet die Faktorisierung:

$x^2 + bx + c = (x + p) \cdot (x + q)$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schreibe $b$ und $c$ auf. Lies die Koeffizienten aus dem Ausdruck ab.
2. Finde zwei Zahlen. Suche $p$ und $q$, deren Summe $b$ und deren Produkt $c$ ergibt.
3. Setze die Faktoren zusammen. Schreibe $(x + p) \cdot (x + q)$.
4. Kontrolliere durch Ausmultiplizieren. Prüfe, ob du den ursprünglichen Ausdruck erhältst.

Diese Methode funktioniert am besten, wenn $a = 1$ ist. Für andere Fälle gibt es weitere Techniken.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Vorzeichen verwechseln Wenn $c$ negativ ist, haben $p$ und $q$ unterschiedliche Vorzeichen. Wenn $c$ positiv und $b$ negativ ist, sind beide Zahlen negativ. Schreibe dir die Vorzeichen separat auf, bevor du rechnest.

Fehler 2: Summe und Produkt vertauschen Merke dir: Summe gleich $b$, Produkt gleich $c$. Viele Schüler verwechseln das. Schreibe die beiden Bedingungen immer explizit hin.

Fehler 3: Kontrollrechnung vergessen Ohne Kontrolle merkst du Fehler nicht. Multipliziere die gefundenen Faktoren immer aus. Das dauert nur 30 Sekunden und schützt vor Punktverlust.

Beispiele

Beispiel 1: Ein einfacher Fall

Faktorisiere den Ausdruck $x^2 + 5x + 6$.

Schritt 1: Ablesen der Koeffizienten.

• $b = 5$
• $c = 6$

Schritt 2: Zwei Zahlen finden. Wir suchen $p$ und $q$ mit:

• $p + q = 5$
• $p \cdot q = 6$

Überlege: Welche Zahlenpaare ergeben $6$?

• $1$ und $6$ → Summe: $7$ ✗
• $2$ und $3$ → Summe: $5$ ✓

Also: $p = 2$ und $q = 3$.

Schritt 3: Faktoren aufschreiben.

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2) \cdot (x + 3)$

Schritt 4: Kontrolle.

$(x + 2) \cdot (x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6 \, \checkmark$

Beispiel 2: Mit negativem c

Faktorisiere den Ausdruck $x^2 + 2x - 15$.

Schritt 1: Ablesen der Koeffizienten.

• $b = 2$
• $c = -15$

Schritt 2: Zwei Zahlen finden. Wir suchen $p$ und $q$ mit:

• $p + q = 2$
• $p \cdot q = -15$

Da das Produkt negativ ist, hat eine Zahl ein positives und die andere ein negatives Vorzeichen.

Überlege: Welche Zahlenpaare ergeben $-15$?

• $1$ und $-15$ → Summe: $-14$ ✗
• $-1$ und $15$ → Summe: $14$ ✗
• $3$ und $-5$ → Summe: $-2$ ✗
• $-3$ und $5$ → Summe: $2$ ✓

Also: $p = -3$ und $q = 5$.

Schritt 3: Faktoren aufschreiben.

$x^2 + 2x - 15 = (x - 3) \cdot (x + 5)$

Schritt 4: Kontrolle.

$(x - 3) \cdot (x + 5) = x^2 + 5x - 3x - 15 = x^2 + 2x - 15 \, \checkmark$

Beispiel 3: Mit negativem b und positivem c

Faktorisiere den Ausdruck $x^2 - 9x + 20$.

Schritt 1: Ablesen der Koeffizienten.

• $b = -9$
• $c = 20$

Schritt 2: Zwei Zahlen finden. Wir suchen $p$ und $q$ mit:

• $p + q = -9$
• $p \cdot q = 20$

Das Produkt ist positiv, also haben beide Zahlen das gleiche Vorzeichen. Die Summe ist negativ, also sind beide Zahlen negativ.

Überlege: Welche negativen Zahlenpaare ergeben $20$?

• $-1$ und $-20$ → Summe: $-21$ ✗
• $-2$ und $-10$ → Summe: $-12$ ✗
• $-4$ und $-5$ → Summe: $-9$ ✓

Also: $p = -4$ und $q = -5$.

Schritt 3: Faktoren aufschreiben.

$x^2 - 9x + 20 = (x - 4) \cdot (x - 5)$

Schritt 4: Kontrolle.

$(x - 4) \cdot (x - 5) = x^2 - 5x - 4x + 20 = x^2 - 9x + 20 \, \checkmark$

Beispiel 4: Der Sonderfall – Differenz von Quadraten

Faktorisiere den Ausdruck $x^2 - 16$.

Dieser Ausdruck sieht anders aus. Es fehlt der mittlere Term. Wir haben $b = 0$.

Schritt 1: Erkenne das Muster. Der Ausdruck $x^2 - 16$ ist eine Differenz von zwei Quadraten:

• $x^2 = x \cdot x$
• $16 = 4 \cdot 4 = 4^2$

Schritt 2: Wende die Formel an. Für die Differenz von Quadraten gilt:

$a^2 - b^2 = (a + b) \cdot (a - b)$

Mit $a = x$ und $b = 4$:

$x^2 - 16 = (x + 4) \cdot (x - 4)$

Schritt 3: Kontrolle.

$(x + 4) \cdot (x - 4) = x^2 - 4x + 4x - 16 = x^2 - 16 \, \checkmark$

Dieses Muster ist sehr wichtig. Es kommt häufig in Prüfungen vor.

Beispiel 5: Ausklammern zuerst

Faktorisiere den Ausdruck $2x^2 + 10x + 12$.

Schritt 1: Gemeinsamen Faktor erkennen. Alle Koeffizienten sind durch $2$ teilbar. Klammere $2$ aus:

$2x^2 + 10x + 12 = 2 \cdot \left( x^2 + 5x + 6 \right)$

Schritt 2: Den Klammerinhalt faktorisieren. Wir kennen $x^2 + 5x + 6$ bereits aus Beispiel 1:

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2) \cdot (x + 3)$

Schritt 3: Alles zusammensetzen.

$2x^2 + 10x + 12 = 2 \cdot (x + 2) \cdot (x + 3)$

Schritt 4: Kontrolle.

$2 \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) = 2 \cdot \left( x^2 + 5x + 6 \right) = 2x^2 + 10x + 12 \, \checkmark$

Vergiss nie, zuerst nach einem gemeinsamen Faktor zu suchen. Das vereinfacht die weitere Rechnung enorm.

Wann funktioniert die Methode nicht?

Nicht jeder quadratische Ausdruck lässt sich mit ganzen Zahlen faktorisieren. Betrachte $x^2 + 3x + 1$:

• $p + q = 3$
• $p \cdot q = 1$

Die einzigen ganzzahligen Paare mit Produkt $1$ sind $(1, 1)$ und $(-1, -1)$. Aber $1 + 1 = 2 \neq 3$ und $-1 + (-1) = -2 \neq 3$.

In solchen Fällen brauchst du andere Methoden. Du lernst sie später kennen: die Mitternachtsformel (auch als abc-Formel bekannt) oder das Vervollständigen zum Quadrat.

Die Vorzeichenregeln zusammengefasst

Die Vorzeichen von $b$ und $c$ verraten dir viel über $p$ und $q$:

$b$	$c$	Vorzeichen von $p$ und $q$
$+$	$+$	beide positiv
$-$	$+$	beide negativ
$+$	$-$	unterschiedlich (der grössere ist positiv)
$-$	$-$	unterschiedlich (der grössere ist negativ)

Diese Tabelle hilft dir, schneller die richtigen Zahlen zu finden.

Das Wichtigste in Kürze

• Faktorisieren ist das Gegenteil von Ausmultiplizieren. Du zerlegst einen Ausdruck in seine Faktoren.
• Für $x^2 + bx + c$ suchst du zwei Zahlen $p$ und $q$. Ihre Summe ist $b$, ihr Produkt ist $c$.
• Die Vorzeichen sind entscheidend. Analysiere sie zuerst, um Fehler zu vermeiden.
• Kontrolliere immer durch Ausmultiplizieren. Das dauert nur wenige Sekunden und sichert dein Ergebnis ab.
• Suche zuerst nach gemeinsamen Faktoren. Klammere sie aus, bevor du die Produktsumme-Methode anwendest.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Welche zwei Zahlen haben die Summe $7$ und das Produkt $12$?

Lösung anzeigen

Die Zahlen sind $3$ und $4$.

Probe: $3 + 4 = 7$ ✓ und $3 \cdot 4 = 12$ ✓

❓ Frage: Faktorisiere den Ausdruck $x^2 - 7x + 10$.

Lösung anzeigen

Wir suchen $p$ und $q$ mit $p + q = -7$ und $p \cdot q = 10$.

Da das Produkt positiv und die Summe negativ ist, sind beide Zahlen negativ.

$-2$ und $-5$: Summe $= -7$ ✓, Produkt $= 10$ ✓

$x^2 - 7x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5)$

❓ Frage: Faktorisiere vollständig: $3x^2 - 12$.

Lösung anzeigen

Schritt 1: Gemeinsamen Faktor ausklammern.

$3x^2 - 12 = 3 \cdot \left( x^2 - 4 \right)$

Schritt 2: Differenz von Quadraten erkennen.

$x^2 - 4 = (x + 2) \cdot (x - 2)$

Ergebnis:

$3x^2 - 12 = 3 \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast gelernt, quadratische Ausdrücke zu faktorisieren. Damit bist du bestens vorbereitet für den nächsten Schritt: das Lösen von quadratischen Gleichungen. Wenn du eine Gleichung wie $x^2 + 5x + 6 = 0$ lösen willst, faktorisierst du zuerst die linke Seite. Du erhältst $(x + 2) \cdot (x + 3) = 0$. Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Also ist $x = -2$ oder $x = -3$. Das Faktorisieren verwandelt eine komplizierte Gleichung in zwei einfache. Dieses Prinzip wird dich durch die gesamte Oberstufe begleiten.