Quadratische Gleichungen lösen: Die a-b-c-Formel einfach erklärt

Stell dir vor, du wirfst einen Ball in die Luft. Er steigt, erreicht einen Höhepunkt und fällt wieder herunter. Die Flugbahn beschreibt eine Kurve – genauer gesagt eine Parabel. Wenn du wissen willst, wann der Ball wieder auf dem Boden aufkommt, musst du eine quadratische Gleichung lösen.

Solche Gleichungen begegnen dir überall: beim Berechnen von Flächen, beim Optimieren von Gewinnen oder eben beim Analysieren von Flugbahnen. Die gute Nachricht: Es gibt eine universelle Formel, mit der du jede quadratische Gleichung knacken kannst – die a-b-c-Formel. Nach dieser Lektion wirst du sie sicher anwenden können.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Bevor wir zur Lösungsformel kommen, klären wir kurz, womit wir es zu tun haben. Eine quadratische Gleichung erkennst du daran, dass die Variable $x$ im Quadrat vorkommt – also $x^2$.

Die allgemeine Form lautet:

$a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0$

Dabei sind $a$, $b$ und $c$ feste Zahlen (Koeffizienten genannt). Wichtig: Der Koeffizient $a$ darf nicht null sein. Sonst wäre das $x^2$ weg und wir hätten nur noch eine lineare Gleichung.

Hier ein paar Beispiele:

Gleichung	$a$	$b$	$c$
$2x^2 + 5x - 3 = 0$	$2$	$5$	$-3$
$x^2 - 4x + 4 = 0$	$1$	$-4$	$4$
$-3x^2 + 6x = 0$	$-3$	$6$	$0$

Das Ziel ist immer dasselbe: Finde alle Werte für $x$, die die Gleichung wahr machen. Diese Werte heissen Lösungen oder Nullstellen.

Die a-b-c-Formel: Dein Universalwerkzeug

Jetzt kommt das mächtige Werkzeug, das jede quadratische Gleichung löst. Die a-b-c-Formel (auch Mitternachtsformel genannt) lautet:

DEFINITION

Für eine quadratische Gleichung $a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0$ mit $a \neq 0$ gilt:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Dabei bedeuten:

• $a$ = Koeffizient vor $x^2$
• $b$ = Koeffizient vor $x$
• $c$ = konstantes Glied (die Zahl ohne $x$)
• $x_{1,2}$ = die beiden möglichen Lösungen

Das $\pm$-Zeichen bedeutet: Du rechnest einmal mit Plus und einmal mit Minus. So erhältst du bis zu zwei Lösungen.

So wendest du die Formel an – Schritt für Schritt

1. Gleichung in Normalform bringen: Stelle sicher, dass auf einer Seite null steht und die Gleichung die Form $ax^2 + bx + c = 0$ hat.

2. Koeffizienten ablesen: Bestimme die Werte für $a$, $b$ und $c$. Achte besonders auf Vorzeichen!

3. Diskriminante berechnen: Berechne den Ausdruck unter der Wurzel: $D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c$

4. Diskriminante auswerten:

   • $D > 0$: Zwei verschiedene Lösungen
   • $D = 0$: Genau eine Lösung (Doppellösung)
   • $D < 0$: Keine Lösung (in den reellen Zahlen)

5. Lösungen berechnen: Setze alles in die Formel ein und rechne aus.

Die Diskriminante – der Schlüssel zur Anzahl der Lösungen

Der Ausdruck $D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c$ unter der Wurzel heisst Diskriminante. Sie verrät dir, bevor du die ganze Rechnung machst, wie viele Lösungen es gibt.

Warum? Aus einer negativen Zahl kannst du keine Wurzel ziehen (zumindest nicht mit reellen Zahlen). Ist $D$ negativ, existiert keine Lösung. Ist $D$ gleich null, fallen beide Lösungen zusammen.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Vorzeichen verwechseln Beim Ablesen der Koeffizienten werden Vorzeichen oft übersehen. Bei $x^2 - 5x + 6 = 0$ ist $b = -5$, nicht $b = 5$. Tipp: Schreibe die Gleichung immer mit allen Vorzeichen auf und vergleiche dann mit $ax^2 + bx + c = 0$.

Fehler 2: Das $-b$ vergessen In der Formel steht $-b$, nicht $b$. Wenn $b = -5$ ist, dann ist $-b = -(-5) = 5$. Dieser doppelte Vorzeichenwechsel wird häufig übersehen.

Fehler 3: Die Division vergessen Der gesamte Zähler wird durch $2a$ geteilt – nicht nur ein Teil davon! Setze Klammern: $x = \frac{(-b) \pm \sqrt{D}}{(2 \cdot a)}$

Fehler 4: Gleichung nicht in Normalform Die Formel funktioniert nur, wenn rechts null steht. Bei $x^2 + 3x = 10$ musst du erst $x^2 + 3x - 10 = 0$ umformen.

Beispiele

Beispiel 1: Zwei Lösungen

Löse die Gleichung $x^2 + 2x - 8 = 0$.

Schritt 1: Koeffizienten ablesen

$a = 1$, $b = 2$, $c = -8$

Schritt 2: Diskriminante berechnen

$D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Da $D = 36 > 0$, gibt es zwei verschiedene Lösungen.

Schritt 3: Lösungen berechnen

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2}$

$x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-4; 2\}$

Probe für $x_1 = 2$: $2^2 + 2 \cdot 2 - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$ ✓

Beispiel 2: Eine Doppellösung

Löse die Gleichung $x^2 - 6x + 9 = 0$.

Schritt 1: Koeffizienten ablesen

$a = 1$, $b = -6$, $c = 9$

Schritt 2: Diskriminante berechnen

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$

Da $D = 0$, gibt es genau eine Lösung (Doppellösung).

Schritt 3: Lösung berechnen

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 0}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{3\}$

Geometrisch bedeutet das: Die Parabel berührt die x-Achse genau an einem Punkt.

Beispiel 3: Keine Lösung

Löse die Gleichung $2x^2 + 4x + 5 = 0$.

Schritt 1: Koeffizienten ablesen

$a = 2$, $b = 4$, $c = 5$

Schritt 2: Diskriminante berechnen

$D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 16 - 40 = -24$

Da $D = -24 < 0$, gibt es keine reelle Lösung.

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{\}$ (leere Menge)

Geometrisch bedeutet das: Die Parabel schneidet die x-Achse nicht. Sie liegt komplett oberhalb oder unterhalb.

Beispiel 4: Gleichung erst umformen

Löse die Gleichung $3x^2 - 12 = 5x$.

Schritt 1: In Normalform bringen

$3x^2 - 5x - 12 = 0$

Schritt 2: Koeffizienten ablesen

$a = 3$, $b = -5$, $c = -12$

Schritt 3: Diskriminante berechnen

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169$

Da $D = 169 > 0$, gibt es zwei Lösungen.

Schritt 4: Lösungen berechnen

$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 13}{6}$

$x_1 = \frac{5 + 13}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{5 - 13}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \left\{-\frac{4}{3}; 3\right\}$

Beispiel 5: Anwendungsaufgabe

Ein rechteckiges Grundstück hat einen Umfang von 26 Metern. Seine Fläche beträgt 42 Quadratmeter. Berechne die Seitenlängen.

Schritt 1: Variablen einführen

Sei $x$ die Länge und $y$ die Breite des Rechtecks.

Umfang: $2x + 2y = 26$, also $x + y = 13$, daraus folgt $y = 13 - x$

Fläche: $x \cdot y = 42$

Schritt 2: Gleichung aufstellen

Setze $y = 13 - x$ in die Flächenformel ein:

$x \cdot (13 - x) = 42$

$13x - x^2 = 42$

$-x^2 + 13x - 42 = 0$

Multipliziere mit $-1$:

$x^2 - 13x + 42 = 0$

Schritt 3: Lösen mit der a-b-c-Formel

$a = 1$, $b = -13$, $c = 42$

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 169 - 168 = 1$

$x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{13 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{14}{2} = 7 \quad \text{und} \quad x_2 = \frac{12}{2} = 6$

Antwort: Das Grundstück ist 7 Meter lang und 6 Meter breit (oder umgekehrt).

Das Wichtigste in Kürze

• Die a-b-c-Formel $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ löst jede quadratische Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$.

• Die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ bestimmt die Anzahl der Lösungen: positiv = zwei Lösungen, null = eine Lösung, negativ = keine reelle Lösung.

• Bringe die Gleichung immer zuerst in die Normalform (rechte Seite = 0) und achte penibel auf die Vorzeichen der Koeffizienten.

• Der gesamte Zähler wird durch $2a$ geteilt – nicht nur ein Teil davon.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Wie viele Lösungen hat die Gleichung $x^2 + 4x + 4 = 0$?

Lösung anzeigen

Die Gleichung hat genau eine Lösung (Doppellösung).

Begründung: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$

Die Lösung ist $x = \frac{-4}{2} = -2$.

❓ Frage: Löse die Gleichung $x^2 - 5x + 6 = 0$ mit der a-b-c-Formel.

Lösung anzeigen

$a = 1$, $b = -5$, $c = 6$

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

$x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{6}{2} = 3$ und $x_2 = \frac{4}{2} = 2$

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{2; 3\}$

❓ Frage: Ein Schüler berechnet für die Gleichung $2x^2 - 6x + 1 = 0$ die Diskriminante als $D = 36 - 8 = 28$. Ist das korrekt?

Lösung anzeigen

Ja, das ist korrekt.

Rechnung: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 36 - 8 = 28$

Da $D = 28 > 0$, hat die Gleichung zwei verschiedene Lösungen.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du beherrschst jetzt die a-b-c-Formel – das Schweizer Taschenmesser für quadratische Gleichungen. Im nächsten Schritt lernst du weitere Lösungsverfahren kennen: die p-q-Formel (eine vereinfachte Variante für Gleichungen mit $a = 1$) und die quadratische Ergänzung (ein elegantes Verfahren, das auch beim Umformen von Parabeln hilft).

Ausserdem wirst du entdecken, wie quadratische Gleichungen mit Parabeln zusammenhängen. Die Lösungen einer quadratischen Gleichung sind nämlich genau die Nullstellen der zugehörigen Parabel. Dieses Wissen wird dir helfen, Funktionen besser zu verstehen und komplexere Probleme zu lösen.