Die Gleichung x² = r einfach erklärt: Dein erster Schritt zu quadratischen Gleichungen

Stell dir vor, du hast ein quadratisches Gartenfeld mit einer Fläche von 25 Quadratmetern. Du möchtest wissen, wie lang jede Seite des Quadrats ist. Du weisst: Seitenlänge mal Seitenlänge ergibt die Fläche. Aber wie findest du heraus, welche Zahl mit sich selbst multipliziert 25 ergibt? Genau diese Frage führt dich zu einer der wichtigsten Gleichungsarten der Mathematik: der quadratischen Gleichung in ihrer einfachsten Form.

Vom Gartenbeet zur Gleichung

Bleiben wir beim Gartenbeispiel. Du weisst, dass die Fläche $A$ eines Quadrats sich aus der Seitenlänge $x$ berechnet:

$A = x \cdot x = x^2$

Wenn die Fläche 25 Quadratmeter beträgt, suchst du also eine Zahl $x$, für die gilt:

$x^2 = 25$

Das ist bereits eine quadratische Gleichung der Form $x^2 = r$. Dabei steht $r$ für eine beliebige Zahl – in unserem Fall ist $r = 25$.

Aber Moment: Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert 25? Du denkst vielleicht sofort an 5, denn $5 \cdot 5 = 25$. Das stimmt. Doch hast du an $-5$ gedacht? Denn auch $(-5) \cdot (-5) = 25$.

Hier zeigt sich die Besonderheit quadratischer Gleichungen: Sie haben oft zwei Lösungen.

Die Wurzel als Werkzeug

Um Gleichungen der Form $x^2 = r$ systematisch zu lösen, brauchst du ein mathematisches Werkzeug: die Quadratwurzel. Die Quadratwurzel aus einer Zahl $r$ ist diejenige positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert $r$ ergibt.

Man schreibt sie so:

$\sqrt{r}$

Für unser Beispiel bedeutet das:

$\sqrt{25} = 5$

Die Quadratwurzel liefert immer nur die positive Lösung. Deshalb musst du bei quadratischen Gleichungen selbst daran denken, dass es auch eine negative Lösung gibt.

So löst du Gleichungen der Form x² = r

Hier ist deine Schritt-für-Schritt-Anleitung:

1. Forme die Gleichung um, sodass $x^2$ alleine auf einer Seite steht.
2. Prüfe den Wert von $r$ (die Zahl auf der anderen Seite).
3. Ziehe die Wurzel und notiere beide Lösungen: $x = +\sqrt{r}$ und $x = -\sqrt{r}$.
4. Schreibe die Lösungsmenge auf.

DEFINITION

Die Gleichung $x^2 = r$ hat:

• Zwei Lösungen $x = +\sqrt{r}$ und $x = -\sqrt{r}$, wenn $r > 0$.
• Eine Lösung $x = 0$, wenn $r = 0$.
• Keine Lösung in den reellen Zahlen, wenn $r < 0$.

Die Kurzschreibweise für beide Lösungen bei $r > 0$ lautet: $x = \pm\sqrt{r}$

Warum gibt es bei r < 0 keine Lösung?

Überlege: Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl? Eine positive Zahl mal eine positive Zahl ist positiv. Eine negative Zahl mal eine negative Zahl ist ebenfalls positiv. Es gibt also keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist.

Wenn du zum Beispiel $x^2 = -9$ lösen sollst, gibt es keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer: $\mathbb{L} = \{\}$ oder $\mathbb{L} = \emptyset$.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Nur eine Lösung angeben Viele Schüler vergessen die negative Lösung. Bei $x^2 = 16$ schreiben sie nur $x = 4$. Richtig ist: $x = 4$ oder $x = -4$.

Fehler 2: Wurzel aus negativen Zahlen ziehen Bei $x^2 = -4$ schreiben manche $x = \pm 2$. Das ist falsch. Diese Gleichung hat keine Lösung in den reellen Zahlen.

Fehler 3: Verwechslung von $\sqrt{r}$ und $\pm\sqrt{r}$ Das Symbol $\sqrt{r}$ bezeichnet nur die positive Wurzel. Wenn du beide Lösungen meinst, musst du $\pm\sqrt{r}$ schreiben.

Fehler 4: Falsches Umformen Bei einer Gleichung wie $x^2 + 5 = 14$ vergessen manche, zuerst zu vereinfachen. Erst $x^2 = 9$ bilden, dann die Wurzel ziehen.

Beispiele

Beispiel 1: Einfache Gleichung mit ganzzahliger Lösung

Aufgabe: Löse die Gleichung $x^2 = 49$.

Lösung:

Die Gleichung hat bereits die Form $x^2 = r$ mit $r = 49$.

Da $49 > 0$, gibt es zwei Lösungen.

$x = +\sqrt{49} = 7$

$x = -\sqrt{49} = -7$

Probe:

• $7^2 = 49$ ✓
• $(-7)^2 = 49$ ✓

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-7; 7\}$

Beispiel 2: Gleichung mit Umformung

Aufgabe: Löse die Gleichung $x^2 - 12 = 52$.

Lösung:

Zuerst bringst du die Gleichung in die Form $x^2 = r$.

$x^2 - 12 = 52$

Addiere 12 auf beiden Seiten:

$x^2 = 64$

Da $64 > 0$, gibt es zwei Lösungen.

$x = +\sqrt{64} = 8$

$x = -\sqrt{64} = -8$

Probe:

• $8^2 - 12 = 64 - 12 = 52$ ✓
• $(-8)^2 - 12 = 64 - 12 = 52$ ✓

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-8; 8\}$

Beispiel 3: Gleichung ohne Lösung

Aufgabe: Löse die Gleichung $x^2 + 20 = 4$.

Lösung:

Bringe die Gleichung in die Form $x^2 = r$.

$x^2 + 20 = 4$

Subtrahiere 20 auf beiden Seiten:

$x^2 = -16$

Da $-16 < 0$, gibt es keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist.

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{\}$

Beispiel 4: Gleichung mit nicht-ganzzahliger Lösung

Aufgabe: Löse die Gleichung $x^2 = 20$.

Lösung:

Die Gleichung hat bereits die Form $x^2 = r$ mit $r = 20$.

Da $20 > 0$, gibt es zwei Lösungen.

$x = +\sqrt{20}$

$x = -\sqrt{20}$

Du kannst $\sqrt{20}$ vereinfachen: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

Als Dezimalzahl gerundet: $\sqrt{20} \approx 4{,}47$

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-\sqrt{20}; \sqrt{20}\}$ oder $\mathbb{L} = \{-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}\}$

Beispiel 5: Anwendungsaufgabe

Aufgabe: Ein quadratisches Grundstück hat eine Fläche von 196 Quadratmetern. Wie lang ist jede Seite?

Lösung:

Sei $x$ die Seitenlänge in Metern. Die Fläche eines Quadrats berechnet sich durch $A = x^2$.

$x^2 = 196$

Da $196 > 0$, gibt es mathematisch zwei Lösungen:

$x = +\sqrt{196} = 14$

$x = -\sqrt{196} = -14$

Da eine Seitenlänge nicht negativ sein kann, ist nur die positive Lösung sinnvoll.

Antwort: Jede Seite des Grundstücks ist 14 Meter lang.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Gleichung $x^2 = r$ ist eine quadratische Gleichung in ihrer einfachsten Form.
• Bei $r > 0$ gibt es zwei Lösungen: $x = +\sqrt{r}$ und $x = -\sqrt{r}$.
• Bei $r = 0$ gibt es genau eine Lösung: $x = 0$.
• Bei $r < 0$ gibt es keine Lösung in den reellen Zahlen.
• Bei Sachaufgaben musst du prüfen, welche Lösung im Kontext sinnvoll ist.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Wie viele Lösungen hat die Gleichung $x^2 = 81$?

Lösung anzeigen

Die Gleichung hat zwei Lösungen: $x = 9$ und $x = -9$.

Da $81 > 0$, existieren eine positive und eine negative Wurzel.

❓ Frage: Löse die Gleichung $x^2 + 7 = 7$. Gib die Lösungsmenge an.

Lösung anzeigen

Zuerst umformen: $x^2 = 0$

Da $r = 0$, gibt es genau eine Lösung.

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{0\}$

❓ Frage: Warum hat die Gleichung $x^2 = -25$ keine Lösung?

Lösung anzeigen

Eine Zahl multipliziert mit sich selbst ergibt immer ein positives Ergebnis oder null.

• Positiv mal positiv = positiv
• Negativ mal negativ = positiv
• Null mal null = null

Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist. Deshalb hat $x^2 = -25$ keine Lösung in den reellen Zahlen.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt die einfachste Form quadratischer Gleichungen gemeistert. Aber was, wenn die Gleichung komplizierter aussieht? Zum Beispiel $x^2 + 6x = 0$ oder $x^2 - 5x + 6 = 0$?

Im nächsten Schritt lernst du weitere Lösungsverfahren kennen: das Ausklammern bei Gleichungen ohne konstantes Glied und später die berühmte Mitternachtsformel (auch p-q-Formel genannt). Diese Werkzeuge ermöglichen es dir, auch komplexere quadratische Gleichungen systematisch zu knacken.

Die gute Nachricht: Das Prinzip, das du heute gelernt hast – dass quadratische Gleichungen oft zwei Lösungen haben – bleibt dabei immer gleich.