Quadratische Gleichungen (x-d)² = r lösen: Schritt für Schritt erklärt

Stell dir vor, du wirfst einen Ball senkrecht in die Luft. Er steigt, erreicht seinen höchsten Punkt und fällt wieder herunter. Wenn du wissen willst, wann genau der Ball eine bestimmte Höhe erreicht – zum Beispiel 5 Meter über dem Boden – dann musst du eine Gleichung lösen. Und zwar nicht irgendeine: eine quadratische Gleichung.

Das Besondere: Der Ball erreicht diese Höhe zweimal. Einmal auf dem Weg nach oben und einmal auf dem Weg nach unten. Genau das spiegelt sich in der Mathematik wider. Quadratische Gleichungen haben oft zwei Lösungen.

Die Form $(x - d)^2 = r$ ist dabei besonders praktisch. Sie lässt sich mit einer einfachen Methode lösen: dem Wurzelziehen. Du brauchst keine komplizierten Formeln auswendig zu lernen. Du musst nur verstehen, was das Quadrat bedeutet – und wie du es rückgängig machst.

Was bedeutet $(x - d)^2 = r$ eigentlich?

Bevor wir rechnen, klären wir die Bedeutung dieser Gleichung. Die linke Seite $(x - d)^2$ ist ein Quadrat. Das heisst: Ein Term wird mit sich selbst multipliziert. Die rechte Seite $r$ ist eine Zahl – das Ergebnis dieses Quadrats.

Deine Aufgabe ist es, den Wert von $x$ zu finden. Also: Welche Zahl muss ich für $x$ einsetzen, damit die Gleichung stimmt?

Die Bestandteile verstehen

Schauen wir uns die einzelnen Teile an:

• $x$ ist die gesuchte Variable. Das ist die Zahl, die wir herausfinden wollen.
• $d$ ist eine bekannte Zahl, die von $x$ abgezogen wird. Sie verschiebt das Quadrat auf der Zahlengeraden.
• $r$ ist das Ergebnis des Quadrats. Diese Zahl steht auf der rechten Seite der Gleichung.

Ein konkretes Beispiel: Bei $(x - 3)^2 = 16$ ist $d = 3$ und $r = 16$. Wir suchen $x$.

Warum diese Form so nützlich ist

Viele quadratische Gleichungen lassen sich in diese Form bringen. Das macht sie besonders wertvoll. Sobald du eine Gleichung in der Form $(x - d)^2 = r$ hast, kannst du sie direkt lösen.

Diese Form nennt man auch die Scheitelpunktform. Sie verrät dir sofort wichtige Eigenschaften der zugehörigen Parabel. Aber dazu später mehr.

Die Lösungsmethode: Wurzelziehen

Das Quadrieren und das Wurzelziehen sind Umkehroperationen. Was das Quadrieren “anrichtet”, macht die Wurzel wieder rückgängig. Genau das nutzen wir aus.

DEFINITION

Um eine Gleichung der Form $(x - d)^2 = r$ zu lösen:

1. Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel.
2. Beachte: Die Wurzel aus einem Quadrat liefert zwei Ergebnisse – einen positiven und einen negativen Wert.
3. Löse die entstehenden linearen Gleichungen nach $x$ auf.

Die Lösungsformel lautet:

$$x = d \pm \sqrt{r}$$

Dabei bedeutet $\pm$: Du erhältst zwei Lösungen. Eine mit Plus, eine mit Minus.

• $d$ ist die Zahl, die ursprünglich von $x$ abgezogen wurde.
• $\sqrt{r}$ ist die Quadratwurzel der rechten Seite.

Schritt für Schritt erklärt

Gehen wir das systematisch durch. Du hast eine Gleichung der Form $(x - d)^2 = r$.

Schritt 1: Wurzel ziehen

Wende auf beide Seiten die Quadratwurzel an:

$$\sqrt{(x - d)^2} = \sqrt{r}$$

Schritt 2: Betrag auflösen

Die Wurzel aus einem Quadrat ergibt den Betrag: $|x - d| = \sqrt{r}$.

Der Betrag bedeutet: Der Ausdruck $(x - d)$ kann positiv oder negativ sein. Beides führt zum gleichen Quadrat.

Schritt 3: Zwei Gleichungen aufstellen

Aus dem Betrag ergeben sich zwei Fälle:

$$x - d = \sqrt{r} \quad \text{oder} \quad x - d = -\sqrt{r}$$

Schritt 4: Nach $x$ auflösen

Addiere $d$ auf beiden Seiten:

$$x_1 = d + \sqrt{r} \quad \text{und} \quad x_2 = d - \sqrt{r}$$

Das sind deine beiden Lösungen.

Wann gibt es wie viele Lösungen?

Die Anzahl der Lösungen hängt von $r$ ab. Das ist ein entscheidender Punkt.

Fall 1: $r > 0$ (zwei Lösungen)

Wenn $r$ positiv ist, hat die Gleichung zwei verschiedene Lösungen. Die Wurzel aus einer positiven Zahl existiert und ist ebenfalls positiv.

Beispiel: $(x - 2)^2 = 9$ hat die Lösungen $x_1 = 2 + 3 = 5$ und $x_2 = 2 - 3 = -1$.

Fall 2: $r = 0$ (eine Lösung)

Wenn $r$ gleich null ist, gibt es genau eine Lösung. Die Wurzel aus null ist null.

Beispiel: $(x - 2)^2 = 0$ hat nur die Lösung $x = 2$.

Fall 3: $r < 0$ (keine Lösung)

Wenn $r$ negativ ist, existiert keine reelle Lösung. Ein Quadrat kann niemals negativ sein.

Beispiel: $(x - 2)^2 = -4$ hat keine Lösung in den reellen Zahlen.

Häufige Fehler – und wie du sie vermeidest:

1. Das Plusminus-Zeichen vergessen: Beim Wurzelziehen entstehen immer zwei Lösungen (ausser bei $r = 0$). Viele Schüler notieren nur die positive Wurzel und übersehen die zweite Lösung.

2. Vorzeichen verwechseln: Bei $(x - 3)^2 = 4$ ist $d = 3$ (positiv). Die Lösungen sind $x = 3 + 2 = 5$ und $x = 3 - 2 = 1$. Bei $(x + 3)^2 = 4$ hingegen ist $d = -3$. Hier gilt $x = -3 \pm 2$.

3. Wurzel aus negativen Zahlen ziehen: Steht auf der rechten Seite eine negative Zahl, gibt es keine reelle Lösung. Das wird oft übersehen.

4. Die Klammer falsch auflösen: $(x - 3)^2$ ist nicht dasselbe wie $x^2 - 9$. Das Quadrat bezieht sich auf den gesamten Klammerinhalt.

Drei Beispiele mit steigendem Schwierigkeitsgrad

Jetzt wird gerechnet. Wir lösen drei Aufgaben – von einfach bis anspruchsvoll.

Beispiel 1: Grundaufgabe mit ganzen Zahlen

Beispiel 1: Die Basisaufgabe

Aufgabe: Löse die Gleichung $(x - 4)^2 = 25$.

Lösung:

Wir identifizieren zuerst die Werte: $d = 4$ und $r = 25$.

Da $r = 25 > 0$, erwarten wir zwei Lösungen.

Schritt 1: Wurzel ziehen auf beiden Seiten.

$$|x - 4| = \sqrt{25} = 5$$

Schritt 2: Zwei Fälle unterscheiden.

$$x - 4 = 5 \quad \text{oder} \quad x - 4 = -5$$

Schritt 3: Nach $x$ auflösen.

$$x_1 = 4 + 5 = 9$$$$x_2 = 4 - 5 = -1$$

Probe für $x_1 = 9$:

$$(9 - 4)^2 = 5^2 = 25 \quad \checkmark$$

Probe für $x_2 = -1$:

$$(-1 - 4)^2 = (-5)^2 = 25 \quad \checkmark$$

Ergebnis: Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{-1; 9\}$.

Beispiel 2: Mit Brüchen und irrationalen Zahlen

Beispiel 2: Wurzel bleibt stehen

Aufgabe: Löse die Gleichung $(x + 2)^2 = 12$.

Lösung:

Hier ist Vorsicht geboten. Die Gleichung $(x + 2)^2 = 12$ lässt sich schreiben als $(x - (-2))^2 = 12$.

Also: $d = -2$ und $r = 12$.

Schritt 1: Wurzel ziehen.

$$|x + 2| = \sqrt{12}$$

Wir vereinfachen die Wurzel: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

$$|x + 2| = 2\sqrt{3}$$

Schritt 2: Zwei Fälle aufstellen.

$$x + 2 = 2\sqrt{3} \quad \text{oder} \quad x + 2 = -2\sqrt{3}$$

Schritt 3: Nach $x$ auflösen.

$$x_1 = -2 + 2\sqrt{3}$$$$x_2 = -2 - 2\sqrt{3}$$

Dezimalwerte (zur Kontrolle): Da $\sqrt{3} \approx 1{,}732$:

• $x_1 \approx -2 + 3{,}464 \approx 1{,}46$
• $x_2 \approx -2 - 3{,}464 \approx -5{,}46$

Ergebnis: Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{-2 - 2\sqrt{3}; -2 + 2\sqrt{3}\}$.

Beispiel 3: Gleichung zuerst umformen

Beispiel 3: Die Textaufgabe

Aufgabe: Ein Quadrat hat einen Flächeninhalt von $81 \, \text{cm}^2$. Die Seitenlänge des Quadrats entspricht dem Term $(x - 5)$ in Zentimetern, wobei $x$ eine positive Zahl ist. Bestimme alle möglichen Werte für $x$.

Lösung:

Schritt 1: Gleichung aufstellen.

Der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet sich als Seitenlänge zum Quadrat:

$$\text{Fläche} = \text{Seitenlänge}^2$$

Mit unseren Angaben:

$$(x - 5)^2 = 81$$

Schritt 2: Wurzel ziehen.

$$|x - 5| = \sqrt{81} = 9$$

Schritt 3: Zwei Fälle unterscheiden.

$$x - 5 = 9 \quad \text{oder} \quad x - 5 = -9$$

Schritt 4: Nach $x$ auflösen.

$$x_1 = 5 + 9 = 14$$$$x_2 = 5 - 9 = -4$$

Schritt 5: Kontext beachten.

Die Seitenlänge eines Quadrats muss positiv sein. Wir prüfen:

• Für $x_1 = 14$: Seitenlänge $= 14 - 5 = 9 \, \text{cm}$ (positiv, gültig)
• Für $x_2 = -4$: Seitenlänge $= -4 - 5 = -9 \, \text{cm}$ (negativ, ungültig)

Ergebnis: Im Kontext der Aufgabe ist nur $x = 14$ sinnvoll.

Die Seitenlänge des Quadrats beträgt $9 \, \text{cm}$.

Zusammenhang mit der Parabel

Die Gleichung $(x - d)^2 = r$ hat eine geometrische Bedeutung. Sie beschreibt die Schnittpunkte einer Parabel mit einer horizontalen Geraden.

Die Normalparabel und ihre Verschiebung

Die Funktion $f(x) = (x - d)^2$ beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel. Der Scheitelpunkt liegt bei $(d \,|\, 0)$.

Wenn wir $(x - d)^2 = r$ lösen, suchen wir die $x$-Werte, bei denen der Funktionswert gleich $r$ ist. Grafisch bedeutet das: Wo schneidet die Parabel die horizontale Gerade $y = r$?

• Bei $r > 0$: Zwei Schnittpunkte
• Bei $r = 0$: Ein Berührpunkt (der Scheitelpunkt)
• Bei $r < 0$: Kein Schnittpunkt

Symmetrie der Lösungen

Die beiden Lösungen $x_1 = d + \sqrt{r}$ und $x_2 = d - \sqrt{r}$ liegen symmetrisch zum Scheitelpunkt $d$. Der Abstand jeder Lösung vom Scheitelpunkt beträgt $\sqrt{r}$.

Diese Symmetrie ist kein Zufall. Sie folgt aus der Symmetrie der Parabel zur Achse $x = d$.

Das Wichtigste in Kürze

Hier sind die zentralen Erkenntnisse zum Mitnehmen:

• Die Gleichung $(x - d)^2 = r$ löst du durch Wurzelziehen. Das liefert $x = d \pm \sqrt{r}$.
• Achte auf das Plusminus-Zeichen. Es entstehen in der Regel zwei Lösungen.
• Die Anzahl der Lösungen hängt von $r$ ab: zwei Lösungen für $r > 0$, eine für $r = 0$, keine für $r < 0$.
• Kontrolliere immer mit einer Probe, ob deine Lösungen stimmen.
• Bei Sachaufgaben musst du prüfen, welche mathematischen Lösungen im Kontext sinnvoll sind.

Dein Wissen im Test

Prüfe jetzt, ob du alles verstanden hast.

❓ Frage: Löse die Gleichung $(x - 7)^2 = 49$. Gib beide Lösungen an.

Lösung anzeigen

Wir ziehen die Wurzel: $|x - 7| = 7$.

Das ergibt zwei Gleichungen:

• $x - 7 = 7 \Rightarrow x_1 = 14$
• $x - 7 = -7 \Rightarrow x_2 = 0$

Antwort: Die Lösungen sind $x_1 = 14$ und $x_2 = 0$.

❓ Frage: Die Gleichung $(x + 1)^2 = 9$ hat die Lösungen $x_1 = 2$ und $x_2 = -4$. Verdopple jetzt die rechte Seite auf $18$. Wie verändern sich die Lösungen?

Lösung anzeigen

Neue Gleichung: $(x + 1)^2 = 18$.

Wurzel ziehen: $|x + 1| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24$.

Lösungen:

• $x_1 = -1 + 3\sqrt{2} \approx 3{,}24$
• $x_2 = -1 - 3\sqrt{2} \approx -5{,}24$

Antwort: Die Lösungen liegen weiter auseinander. Sie haben sich vom Scheitelpunkt $x = -1$ weiter entfernt, weil $\sqrt{18} > \sqrt{9}$.

❓ Frage: Ein Schüler löst $(x - 3)^2 = 16$ und erhält als einzige Lösung $x = 7$. Was hat er falsch gemacht?

Lösung anzeigen

Der Schüler hat das Plusminus-Zeichen vergessen. Er hat nur den Fall $x - 3 = 4$ betrachtet.

Die vollständige Lösung:

• $x - 3 = 4 \Rightarrow x_1 = 7$
• $x - 3 = -4 \Rightarrow x_2 = -1$

Antwort: Es fehlt die zweite Lösung $x_2 = -1$. Beim Wurzelziehen muss immer das Plusminus-Zeichen berücksichtigt werden.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt gelernt, Gleichungen der Form $(x - d)^2 = r$ zu lösen. Aber was, wenn die Gleichung komplizierter aussieht?

Im nächsten Schritt lernst du die quadratische Ergänzung. Mit dieser Technik kannst du jede quadratische Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$ in die Scheitelpunktform umwandeln. Dann kannst du sie genauso lösen wie heute.

Ausserdem wirst du die Lösungsformel (auch “Mitternachtsformel” oder “abc-Formel” genannt) kennenlernen. Sie liefert dir die Lösungen direkt – ohne Umformung. Beide Methoden bauen auf dem auf, was du heute gelernt hast.

Das Verständnis von $(x - d)^2 = r$ ist also die Grundlage für alles, was noch kommt. Du bist jetzt bereit für den nächsten Schritt.