Binomische Formeln einfach erklärt: Dein Schlüssel zu quadratischen Gleichungen

Stell dir vor, du planst eine quadratische Terrasse für deinen Garten. Die Seitenlänge soll 5 Meter betragen, aber du überlegst, sie um 2 Meter zu verlängern. Wie gross wird die neue Fläche? Klar, du könntest einfach $7 \cdot 7 = 49$ rechnen. Doch was, wenn die genauen Masse noch nicht feststehen? Was, wenn du mit unbekannten Grössen arbeiten musst – wie zum Beispiel “die alte Länge plus ein Stück mehr”? Genau hier kommen die binomischen Formeln ins Spiel. Sie sind wie ein Schweizer Taschenmesser der Algebra: kompakt, vielseitig und unglaublich nützlich, um Ausdrücke wie $(a + b)^2$ blitzschnell zu berechnen.

Von der Terrasse zur Formel

Bleiben wir bei unserer Terrasse. Die ursprüngliche Seitenlänge nennen wir $a$, die Verlängerung $b$. Die neue Seitenlänge ist also $(a + b)$. Um die Fläche eines Quadrats zu berechnen, multiplizierst du die Seitenlänge mit sich selbst:

$$\text{Fläche} = (a + b) \cdot (a + b) = (a + b)^2$$

Aber was bedeutet das konkret? Lass uns das Quadrat zeichnerisch zerlegen. Wenn du ein Quadrat mit der Seitenlänge $(a + b)$ in vier Teile aufteilst, erhältst du:

• Ein grosses Quadrat mit der Fläche $a^2$
• Ein kleines Quadrat mit der Fläche $b^2$
• Zwei Rechtecke, die jeweils die Fläche $a \cdot b$ haben

Zählst du alle Teilflächen zusammen, ergibt sich:

$$(a + b)^2 = a^2 + a \cdot b + a \cdot b + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Das ist die erste binomische Formel. Sie funktioniert immer – egal welche Zahlen du für $a$ und $b$ einsetzt.

Die drei binomischen Formeln im Überblick

Es gibt nicht nur eine, sondern drei binomische Formeln. Jede davon ist ein Werkzeug für eine bestimmte Situation. Hier lernst du alle drei kennen.

Die erste binomische Formel: $(a + b)^2$

Diese Formel verwendest du, wenn zwei Grössen addiert und dann quadriert werden.

DEFINITION $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

• $a^2$: das Quadrat des ersten Gliedes
• $2ab$: das doppelte Produkt beider Glieder
• $b^2$: das Quadrat des zweiten Gliedes

Die zweite binomische Formel: $(a - b)^2$

Diese Formel nutzt du, wenn eine Grösse von einer anderen subtrahiert und das Ergebnis quadriert wird.

DEFINITION $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Der Unterschied zur ersten Formel: Das mittlere Glied $2ab$ wird subtrahiert, weil ein Minuszeichen in der Klammer steht.

Die dritte binomische Formel: $(a + b)(a - b)$

Diese Formel ist besonders elegant. Sie beschreibt das Produkt aus einer Summe und einer Differenz derselben Grössen.

DEFINITION $$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

Das Ergebnis ist immer eine Differenz zweier Quadrate. Die gemischten Glieder $+ab$ und $-ab$ heben sich gegenseitig auf.

So wendest du die Formeln an: Das Kochrezept

Um die binomischen Formeln sicher anzuwenden, befolge diese Schritte:

1. Erkenne das Muster: Liegt eine Summe oder Differenz vor, die quadriert wird? Oder ein Produkt aus Summe und Differenz?
2. Identifiziere $a$ und $b$: Was ist das erste Glied, was das zweite?
3. Setze in die passende Formel ein: Berechne $a^2$, $2ab$ (oder $-2ab$) und $b^2$.
4. Fasse zusammen: Schreibe das Ergebnis übersichtlich auf.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Das doppelte Produkt vergessen

Viele Schüler schreiben $(a + b)^2 = a^2 + b^2$. Das ist falsch! Der mittlere Term $2ab$ fehlt. Denk immer an die vier Teilflächen des Quadrats.

Fehler 2: Vorzeichen verwechseln

Bei der zweiten Formel wird $2ab$ subtrahiert, nicht addiert. Achte genau darauf, ob in der Klammer ein Plus oder ein Minus steht.

Fehler 3: Koeffizienten ignorieren

Wenn vor $a$ oder $b$ eine Zahl steht (z.B. $3x$), musst du diese mitquadrieren. $(3x)^2 = 9x^2$, nicht $3x^2$.

Beispiele

Beispiel 1: Erste binomische Formel mit Zahlen

Berechne $(5 + 3)^2$ mit der ersten binomischen Formel.

Schritt 1: Identifiziere $a = 5$ und $b = 3$.

Schritt 2: Setze in die Formel ein:

$$(5 + 3)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 3 + 3^2$$

Schritt 3: Berechne die einzelnen Teile:

$$= 25 + 30 + 9$$

Schritt 4: Fasse zusammen:

$$= 64$$

Probe: $8^2 = 64$ ✓

Beispiel 2: Zweite binomische Formel mit Variablen

Vereinfache $(2x - 5)^2$.

Schritt 1: Identifiziere $a = 2x$ und $b = 5$.

Schritt 2: Setze in die zweite binomische Formel ein:

$$(2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2$$

Schritt 3: Berechne jeden Term:

• $(2x)^2 = 4x^2$
• $2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$
• $5^2 = 25$

Schritt 4: Ergebnis:

$$(2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25$$

Beispiel 3: Dritte binomische Formel

Berechne $(7 + 4)(7 - 4)$.

Schritt 1: Erkenne das Muster: Summe mal Differenz derselben Zahlen.

Schritt 2: Identifiziere $a = 7$ und $b = 4$.

Schritt 3: Wende die dritte binomische Formel an:

$$(7 + 4)(7 - 4) = 7^2 - 4^2$$

Schritt 4: Berechne:

$$= 49 - 16 = 33$$

Probe: $11 \cdot 3 = 33$ ✓

Beispiel 4: Komplexere Anwendung mit Variablen

Vereinfache $(3a + 2b)(3a - 2b)$.

Schritt 1: Erkenne das Muster der dritten binomischen Formel.

Schritt 2: Hier ist das erste Glied $3a$ und das zweite Glied $2b$.

Schritt 3: Wende die Formel an:

$$(3a + 2b)(3a - 2b) = (3a)^2 - (2b)^2$$

Schritt 4: Berechne die Quadrate:

• $(3a)^2 = 9a^2$
• $(2b)^2 = 4b^2$

Ergebnis:

$$(3a + 2b)(3a - 2b) = 9a^2 - 4b^2$$

Beispiel 5: Rückwärts anwenden – Faktorisieren

Schreibe $x^2 - 16$ als Produkt.

Schritt 1: Erkenne das Muster: eine Differenz zweier Quadrate.

Schritt 2: Zerlege in Quadrate:

• $x^2 = x^2$
• $16 = 4^2$

Schritt 3: Wende die dritte binomische Formel rückwärts an:

$$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x + 4)(x - 4)$$

Diese Technik nennt man Faktorisieren. Sie ist sehr nützlich beim Lösen quadratischer Gleichungen.

Beispiel 6: Textaufgabe mit praktischem Bezug

Ein quadratisches Blumenbeet hat eine Seitenlänge von $x$ Metern. Es soll um 3 Meter verlängert werden. Stelle einen vereinfachten Term für die neue Fläche auf.

Schritt 1: Die neue Seitenlänge beträgt $(x + 3)$ Meter.

Schritt 2: Die neue Fläche ist das Quadrat der Seitenlänge:

$$\text{Fläche} = (x + 3)^2$$

Schritt 3: Wende die erste binomische Formel an:

$$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2$$$$= x^2 + 6x + 9$$

Ergebnis: Die neue Fläche beträgt $(x^2 + 6x + 9)$ Quadratmeter.

Interpretation: Die Fläche setzt sich zusammen aus der ursprünglichen Fläche $x^2$, zwei Rechtecken mit je $3x$ Quadratmetern und einem kleinen Quadrat von $9$ Quadratmetern.

Das Wichtigste in Kürze

• Erste binomische Formel: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ – für die Summe zweier Grössen im Quadrat.
• Zweite binomische Formel: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ – für die Differenz zweier Grössen im Quadrat.
• Dritte binomische Formel: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ – für das Produkt aus Summe und Differenz.
• Merkhilfe: Vergiss niemals das doppelte Produkt $2ab$ bei den ersten beiden Formeln. Koeffizienten werden mitquadriert.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Berechne $(x + 7)^2$ mit der binomischen Formel.

Lösung anzeigen

$$(x + 7)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49$$

❓ Frage: Welche binomische Formel passt zu $(5 - y)(5 + y)$? Wie lautet das Ergebnis?

Lösung anzeigen

Es passt die dritte binomische Formel, da Summe und Differenz derselben Grössen multipliziert werden.

$$(5 - y)(5 + y) = (5 + y)(5 - y) = 5^2 - y^2 = 25 - y^2$$

❓ Frage: Faktorisiere den Term $9x^2 - 25$.

Lösung anzeigen

Erkenne die Differenz zweier Quadrate:

• $9x^2 = (3x)^2$
• $25 = 5^2$

Wende die dritte binomische Formel rückwärts an:

$$9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x + 5)(3x - 5)$$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Die binomischen Formeln sind ein wichtiges Werkzeug, das du in vielen weiteren Themen brauchst. Im nächsten Schritt lernst du, quadratische Gleichungen zu lösen. Dabei helfen dir die binomischen Formeln beim Faktorisieren von Termen wie $x^2 + 6x + 9 = 0$. Du wirst sehen, dass sich dieser Term als $(x + 3)^2 = 0$ schreiben lässt, was die Lösung viel einfacher macht. Ausserdem begegnen dir die Formeln später bei der quadratischen Ergänzung und bei der Arbeit mit der berühmten Mitternachtsformel (auch bekannt als abc-Formel oder Lösungsformel für quadratische Gleichungen). Wenn du die binomischen Formeln sicher beherrschst, hast du eine solide Grundlage für all diese Themen.