Zinseszinsen einfach erklärt: So wächst dein Geld wie ein Schneeball

Stell dir vor, du baust im Winter einen Schneeball und rollst ihn einen Hügel hinunter. Am Anfang ist er klein. Doch mit jedem Meter nimmt er mehr Schnee auf. Und je grösser er wird, desto mehr Schnee bleibt an ihm haften. Nach kurzer Zeit hast du eine riesige Schneekugel – viel grösser, als wenn du den Schnee von Hand dazugepackt hättest.

Genau so funktioniert der Zinseszinseffekt bei deinem Geld. Deine Zinsen werden zum Kapital addiert. Im nächsten Jahr bekommst du dann Zinsen auf das grössere Kapital – inklusive der alten Zinsen. So wächst dein Geld immer schneller. Wir zeigen dir jetzt, wie du diesen mächtigen Effekt berechnest und für dich nutzt.

Einfache Zinsen vs. Zinseszinsen: Der entscheidende Unterschied

Bevor wir in die Zinseszinsrechnung einsteigen, musst du den Unterschied zu einfachen Zinsen verstehen. Bei einfachen Zinsen bekommst du jedes Jahr Zinsen nur auf dein ursprüngliches Kapital. Die Zinsen werden nicht wieder angelegt.

Bei Zinseszinsen ist das anders: Die Zinsen eines Jahres werden zum Kapital addiert. Im Folgejahr berechnen sich die neuen Zinsen auf diesem erhöhten Betrag. So entsteht ein exponentielles Wachstum.

Ein Zahlenbeispiel macht den Unterschied deutlich:

Du legst $1000 \, \text{CHF}$ zu $5 \, \%$ Zinsen für 3 Jahre an.

Mit einfachen Zinsen:

• Jedes Jahr: $1000 \cdot 0{,}05 = 50 \, \text{CHF}$
• Nach 3 Jahren: $1000 + 3 \cdot 50 = 1150 \, \text{CHF}$

Mit Zinseszinsen:

• Jahr 1: $1000 \cdot 1{,}05 = 1050 \, \text{CHF}$
• Jahr 2: $1050 \cdot 1{,}05 = 1102{,}50 \, \text{CHF}$
• Jahr 3: $1102{,}50 \cdot 1{,}05 = 1157{,}63 \, \text{CHF}$

Der Unterschied von $7{,}63 \, \text{CHF}$ mag klein wirken. Bei längeren Laufzeiten oder höheren Beträgen wird er jedoch enorm.

Die Zinseszinsformel: Dein wichtigstes Werkzeug

Das schrittweise Berechnen von Jahr zu Jahr ist mühsam. Deshalb gibt es eine Formel, die alles auf einmal erledigt.

DEFINITION $$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$$

Dabei bedeuten:

• $K_n$ = Endkapital nach $n$ Jahren (das, was du am Ende hast)
• $K_0$ = Anfangskapital (das, was du zu Beginn einzahlst)
• $p$ = Zinssatz in Prozent pro Jahr
• $n$ = Anzahl der Jahre (Laufzeit)

Der Ausdruck $\left(1 + \frac{p}{100}\right)$ heisst Zinsfaktor oder Wachstumsfaktor. Bei $5 \, \%$ Zinsen ist er $1{,}05$. Du multiplizierst dein Kapital also jedes Jahr mit diesem Faktor.

So wendest du die Formel an

1. Schreibe alle gegebenen Werte auf: Anfangskapital $K_0$, Zinssatz $p$, Laufzeit $n$.
2. Berechne den Zinsfaktor: $q = 1 + \frac{p}{100}$
3. Setze in die Formel ein: $K_n = K_0 \cdot q^n$
4. Runde kaufmännisch: Geldbeträge auf 2 Dezimalstellen (Rappen).

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Prozent und Dezimalzahl verwechseln $5 \, \%$ sind nicht $5$, sondern $0{,}05$. In der Formel steht daher $\frac{p}{100}$. Alternativ kannst du direkt mit dem Zinsfaktor $1{,}05$ rechnen.

Fehler 2: Den Exponenten vergessen oder falsch setzen Bei Zinseszinsen steht die Laufzeit $n$ im Exponenten. Schreibst du $K_0 \cdot q \cdot n$ statt $K_0 \cdot q^n$, rechnest du einfache Zinsen.

Fehler 3: Laufzeit und Zinszeitraum nicht abgleichen Ist der Zinssatz pro Jahr angegeben, muss $n$ in Jahren sein. Hast du Monate, musst du umrechnen: 18 Monate = 1,5 Jahre.

Fehler 4: Das Anfangskapital vom Endkapital abziehen vergessen Wenn die Aufgabe nach dem Zinsertrag fragt, musst du $K_n - K_0$ berechnen. Das Endkapital allein ist nicht der Gewinn.

3 Beispiele für Zinseszinsen

Beispiel 1: Das Sparkonto

Beispiel 1: Das Sparkonto

Du zahlst $2000 \, \text{CHF}$ auf ein Sparkonto ein. Der Zinssatz beträgt $3 \, \%$ pro Jahr. Wie viel Geld hast du nach 4 Jahren?

Gegeben:

• $K_0 = 2000 \, \text{CHF}$
• $p = 3 \, \%$
• $n = 4$ Jahre

Lösung:

Zuerst berechnen wir den Zinsfaktor:

$$q = 1 + \frac{3}{100} = 1{,}03$$

Jetzt setzen wir in die Zinseszinsformel ein:

$$K_4 = 2000 \cdot 1{,}03^4$$

Wir berechnen $1{,}03^4$:

$$1{,}03^4 = 1{,}12550881$$

Damit ergibt sich:

$$K_4 = 2000 \cdot 1{,}12550881 = 2251{,}02 \, \text{CHF}$$

Antwort: Nach 4 Jahren hast du $2251{,}02 \, \text{CHF}$ auf dem Konto.

Beispiel 2: Zinseszinsen über längere Zeit

Beispiel 2: Die Geldanlage für die Ausbildung

Deine Grosseltern legen zur Geburt $5000 \, \text{CHF}$ für dich an. Der jährliche Zinssatz beträgt $4 \, \%$. Wie viel ist das Geld wert, wenn du 18 Jahre alt wirst?

Gegeben:

• $K_0 = 5000 \, \text{CHF}$
• $p = 4 \, \%$
• $n = 18$ Jahre

Lösung:

Der Zinsfaktor ist:

$$q = 1 + \frac{4}{100} = 1{,}04$$

Einsetzen in die Formel:

$$K_{18} = 5000 \cdot 1{,}04^{18}$$

Wir berechnen $1{,}04^{18}$:

$$1{,}04^{18} \approx 2{,}02582$$

Damit:

$$K_{18} = 5000 \cdot 2{,}02582 = 10129{,}10 \, \text{CHF}$$

Antwort: Das Geld hat sich auf $10129{,}10 \, \text{CHF}$ mehr als verdoppelt.

Zusatzfrage: Wie hoch ist der reine Zinsertrag?

$$\text{Zinsertrag} = K_{18} - K_0 = 10129{,}10 - 5000 = 5129{,}10 \, \text{CHF}$$

Beispiel 3: Rückwärts rechnen – das Anfangskapital gesucht

Beispiel 3: Wie viel muss ich heute anlegen?

Du möchtest in 6 Jahren $8000 \, \text{CHF}$ für ein Auto haben. Deine Bank bietet $2{,}5 \, \%$ Zinsen pro Jahr. Wie viel musst du heute einzahlen?

Gegeben:

• $K_6 = 8000 \, \text{CHF}$ (das Endkapital ist bekannt)
• $p = 2{,}5 \, \%$
• $n = 6$ Jahre
• $K_0 = \, ?$ (das Anfangskapital ist gesucht)

Lösung:

Wir stellen die Zinseszinsformel nach $K_0$ um:

$$K_0 = \frac{K_n}{q^n}$$

Der Zinsfaktor ist:

$$q = 1 + \frac{2{,}5}{100} = 1{,}025$$

Berechnung von $q^6$:

$$1{,}025^6 \approx 1{,}15969$$

Einsetzen:

$$K_0 = \frac{8000}{1{,}15969} = 6898{,}03 \, \text{CHF}$$

Antwort: Du musst heute $6898{,}03 \, \text{CHF}$ einzahlen, um in 6 Jahren $8000 \, \text{CHF}$ zu haben.

Das Wichtigste in Kürze

• Zinseszinsen bedeuten: Du bekommst Zinsen auf Zinsen. Dein Kapital wächst exponentiell.
• Die Zinseszinsformel lautet: $K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$
• Der Zinsfaktor $q = 1 + \frac{p}{100}$ gibt an, mit welchem Faktor dein Kapital jedes Jahr multipliziert wird.
• Je länger die Laufzeit und je höher der Zinssatz, desto stärker wirkt der Zinseszinseffekt.
• Beim Rückwärtsrechnen (Anfangskapital gesucht) teilst du: $K_0 = \frac{K_n}{q^n}$

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Du legst $3000 \, \text{CHF}$ zu $2 \, \%$ Zinsen für 5 Jahre an. Wie hoch ist das Endkapital?

Lösung anzeigen

Lösung:

Zinsfaktor: $q = 1{,}02$

$$K_5 = 3000 \cdot 1{,}02^5 = 3000 \cdot 1{,}10408 = 3312{,}24 \, \text{CHF}$$

❓ Frage: Der Zinssatz wird von $4 \, \%$ auf $8 \, \%$ verdoppelt. Verdoppelt sich auch das Endkapital nach 10 Jahren?

Lösung anzeigen

Nein, das Endkapital verdoppelt sich nicht.

• Bei $4 \, \%$: $K_{10} = K_0 \cdot 1{,}04^{10} = K_0 \cdot 1{,}48$
• Bei $8 \, \%$: $K_{10} = K_0 \cdot 1{,}08^{10} = K_0 \cdot 2{,}16$

Das Endkapital ist bei $8 \, \%$ etwa $2{,}16 / 1{,}48 \approx 1{,}46$ mal so gross – also deutlich mehr als das Doppelte des Zuwachses. Der Zinseszinseffekt verstärkt den Unterschied.

❓ Frage: Jemand rechnet: $1000 \cdot 1{,}05 \cdot 3 = 1150 \, \text{CHF}$ für 3 Jahre bei $5 \, \%$ Zinsen. Was ist der Fehler?

Lösung anzeigen

Der Fehler: Die Person hat einfache Zinsen statt Zinseszinsen berechnet.

Bei Zinseszinsen muss die Laufzeit im Exponenten stehen:

$$K_3 = 1000 \cdot 1{,}05^3 = 1157{,}63 \, \text{CHF}$$

Die Multiplikation $\cdot 3$ statt des Exponenten $^3$ ist einer der häufigsten Fehler.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt verstanden, wie Zinseszinsen bei jährlicher Verzinsung funktionieren. In vielen realen Situationen werden Zinsen aber nicht nur einmal pro Jahr gutgeschrieben. Banken berechnen oft monatliche oder vierteljährliche Zinsen. Dann spricht man von unterjähriger Verzinsung.

Ausserdem wirst du lernen, wie du die Formel umstellst, um die Laufzeit oder den Zinssatz zu berechnen. Dafür brauchst du Logarithmen – ein Thema, das in den kommenden Schuljahren auf dich wartet. Mit dem Wissen aus dieser Lektion hast du die perfekte Grundlage dafür gelegt.